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高三数学第一轮复习章节测试9-1


第9章 第1节 一、选择题 1.(2011· 聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是( ) A.所有的直线都有倾斜角和斜率 B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角 [答案] B [解析] 所有的直线都一定有倾斜角,而倾斜角为 90°的直线不存在斜率. 2.已知直线的方程分别为 l1:x+a

y+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的关系如图所 示,则( )

A.b>0,d<0,a<c C.b<0,d>0,a>c [答案] C

B.b>0,d<0,a>c D.b<0,d>0,a<c

1 1 b d [解析] 由图像可知-a>-c >0,-a<0,- c >0,从而 c<a<0,b<0,d>0. 3.若直线 2ax+by+4=0(a、b∈R)始终平分圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的周长,则 ab 的取值 范围是( ) A.(-∞,1] B.(0,1] C.(0,1) D.(-∞,1) [答案] A [解析] 由题意知直线过圆心(-1,-2), ∴-2a-2b+4=0,∴a+b=2, a2+b2 + -2ab ∴ab≤ 2 = ,∴ab≤1. 2 π 4.已知直线 l1∶y=x,l2∶ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12)内变动 时,a 的取值范围是( 3 A.( 3 ,1)∪(1, 3) 3 C.( 3 ,1) [答案] A π π π π [解析] 因为 k1=1,k2=a,由数形结合知,直线 l2 的倾斜角 α∈(6,4)∪(4,3), 3 所以直线 l2 的斜率 a∈( 3 ,1)∪(1, 3). 5.过点 P(-1,2)且方向向量为 a=(-1,2)的直线方程为( ) ) 3 B.( 3 , 3) D.(1, 3)

A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.x+2y-5=0 [答案] A [解析] 因为方向向量 a=(-1,2), 所以直线的斜率 k=-2,又过点 P(-1,2), 所以由点斜式求得直线方程为 2x+y=0. 6.(2011· 山东济宁)已知点 A(1,3),B(-2,-1),若直线 l∶y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围( ) 1 A.k≥2 1 C.k≥2或 k≤-2 B.k≤-2 1 D.-2≤k≤2

[答案] D [解析] 如图,l 过 P(2,1),kPA≤k≤kPB,

3-1 1 kPA= =-2,而 kPB=2, 1-2 1 ∴-2≤k≤2. 7.过抛物线 y2=4 3x 的焦点,且与圆 x2+y2-2y=0 相切的直线方程是( A. 3x+y-3=0,y=0 B. 3x-y-3=0,y=0 C. 3x+y+3=0, 3x-y+3=0 D. 3x+3y-3=0, 3x-3y-3=0 [答案] A )

[解析] 抛物线焦点 F( 3,0),圆的方程 x2+(y-1)2=1,由图知过焦点 F 且与圆相切的直线 有两条,其中一条是 y=0 故排除 C、D.另一条斜率小于 0,故选 A.

8.已知 f(x)=log2(x+1),且 a>b>c>0,则 a , b , c 的大小关系是( A. a > b > c C. b > a > c [答案] B B. c > b > a D. a > c > b

)

[解析] 作函数 f(x)=log2(x+1)的图像,易知 x 表示直线的斜率.

∴ c > b > a ,故选 B. 二、填空题 9.一条直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴,y 轴的正半轴于 A、B 两点,O 为原点,则△AOB 的 面积最小时直线 l 的方程为________. [答案] 4x+y-8=0 x y [解析] 设 l:a+b=1(a,b>0). 因为点 P(1,4)在 l 上, 1 4 1 4 所以a+b=1.由 1=a+b≥2 1 所以 S△AOB=2ab≥8. 1 4 1 当a=b=2, 即 a=2,b=8 时取等号. 故直线 l 的方程为 4x+y-8=0. 10.(2009· 江西理)设直线系 M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A.M 中所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号). [答案] BC [解析] 考查直线系方程及直线恒过定点问题. 1 因为 xcosθ+(y-2)sinθ=1,所以点 P(0,2)到 M 中每条直线的距离 d= =1. cos2θ+sin2θ 即 M 为圆 C:x2+(y-2)2=1 的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线,所以 A 错误. 又因为点(0,2)不在任何直线上,所以 B 正确 对任意 n≥3,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C,故 C 正确 M 中的直线能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 11.已知 a∈R,直线(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0 过定点 P,点 Q 在曲线 x2-xy+1=0 上, 则 PQ 连线斜率的取值范围是________. [答案] [-3,+∞) 4 ab? ab≥16,

x2+1 y-4 ?1? ?1? ?1 ? [解析] P(0,4),设 Q(x,y),则 y= x (x≠0),k= x = x 2-4 x +1= x -2 2-3≥-3.

? ?

? ?

?

?

三、解答题 12.过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1∶2x-y-2=0 与 l2∶x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程. [分析] 设点 A(x,y)在 l1 上,则点 A 关于点 P 的对称点 B(6-x,-y)在 l2 上,代入 l2 的方程, 联立求得交点,从而求得直线方程. [解析] 方法一 设点 A(x,y)在 l1 上, x+xB ? ? 2 =3 由题意知? y+yB ? ? 2 =0 ∴点 B(6-x,-y),
?2x-y-2=0 ? 解方程组? ? - + - +3=0 ?



?x= 3 得? 16 ? y= 3
11

16 3 -0 ,k=11 =8. 3 -3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 方法二 设所求的直线方程 y=k(x-3),则
? - ?y= ? ,解得 ?2x-y-2=0 ?

3k-2 ? ?xA= k-2 ? 4k ?yA=k-2 ?

?y= - ? 由? ? ?x+y+3=0

3k-3 xB= ? ? k+1 ,解得? -6k ? ?yB=k+1

∵P(3,0)是线段 AB 的中点, 4k -6k ∴yA+yB=0,即 + =0, k-2 k+1 ∴k2-8k=0,解得 k=0 或 k=8. 又∵当 k=0 时,xA=1,xB=-3, xA+xB 1-3 此时 2 = 2 ≠3,∴k=0 舍去, ∴所求的直线方程为 y=8(x-3), 即 8x-y-24=0. 方法三 设点 A(x1,y1)在 l1 上,点 B(x2,y2)在 l2 上,则

2x1-y1-2=0 ? ?x2+y2+3=0 ?x1+x2=6 ? ?y1+y2=0

?x1= 3 ,解得? 16 ?y1= 3
11

?x2=3 或? 16 ?y2=- 3
7

16 16 -3-3 ∴k=kAB= 7 11 =8, 3- 3 ∴所求的直线方程为 8x-y-24=0. 13.已知 i=(1,0),j=(0,1),经过原点 O 以 u=i+mj 为方向向量的直线与经过定点 A(0,1),以 v=mi-j 为方向向量的直线相交于点 P,其中 m∈R,当点 P 变动时,试问是否存在一个定点 Q,使得|PQ|为定值?若存在,求出 Q 的坐标,若不存在,说明理由. [解析] u=i+mj=(1,0)+m(0,1)=(1,m), v=mi-j=m(1,0)-(0,1)=(m,-1), → → 设 P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x,y-1). → → ∵OP∥u,AP∥v,∴mx-y=0,m(y-1)+x=0,

? 1? 1 消去 m 得 x2+ y-2 2=4,即 ? ?

1 ? 1? 1 ? 1? x2+ y-2 2=2,故存在一点 Q 0,2 ,使得|PQ|为定值2. ? ? ? ?

14.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 作两条相互垂直的弦 AB、CD,设弦 AB、CD 的中点 分别为 M、N.求证:直线 MN 必过一定点. [解析] 由题设知 F(1,0),直线 AB 的斜率存在且不为零,设 lAB∶y=k(x-1)(k≠0),代入 y2= 4x, 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0, xA+xB k2+2 k2+2 2 2 得 xM= 2 = k2 ,又 yM=k(xM-1)=k ,故 M( k2 ,k ). 1 因为 CD⊥AB,所以 kCD=-k,同理可得 N(2k2+1,-2k). k2+2 2 所以直线 MN 的方程为(2k2+1- k2 )(y+2k)=(-2k-k )(x-2k2-1), y=0 ? ? 整理得 yk2+(x-3)k-y=0,因为该方程对任意的 k(k≠0)恒成立,故?x-3=0, 解得 x=3, ? ?-y=0, y=0. 故直线 MN 恒过定点(3,0). [点评] 有些题目在解答时要引入参数,参数的个数可以是一个,也可以是多个,基本的原则 是在便于解答问题的前提下,参数的个数越少越好. 15.有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始 10 分 钟内只进水,不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x(分)与水量 y(升)之间的 关系如图所示,若 40 分钟后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

[分析] 本题是一个实际应用问题,综合性较强,通过分析题意可知是一个分段函数问题,每 一段都是一次函数,即直线的方程.因此,由直线的点斜式方程即可求出. [解析] 当 0≤x<10 时,直线段过点 O(0,0),A(10, 20 20),所以 kOA=10=2,可得点斜式方程为 y=2x. 30-20 1 当 10≤x<40 时,直线段过点 A(10,20),B(40,30),所以 kAB= = ,可得点斜式方程为 y 40-10 3 1 1 50 -20=3(x-10),即 y=3x+ 3 . 当 0≤x<10 或 x>40 时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应注水或放水的速度.设注水的速 度为 V1,放水的速度为 V2,在第①段中,是只注水,所以 V1=2,在第②段中,是既注水又 1 5 5 放水的“合成”,所以此时的速度为 V1+V2=3,所以 V2=-3.所以当 x>40 时,k=-3,又过 5 5 290 点 B(40,30),可得点斜式方程为 y-30=-3(x-40),即 y=-3x+ 3 .若 y=0,x=58,此时 到 C(58,0)为止.

?1x+50 3 综上所述,y=?3 290 x + ?-5 3 3




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