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高一巩固练习册


高一巩固练习册 专题一:集合 【知识回顾】
一、集合的概念、关系与运算
1.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 注:①给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了, 不能模棱两可。确定性常用来判断一组对象能否构成集合。 ②集合中含有参数的问题,解题时要用互异性对所求参数进行检验。 ③无序性常用来判断两个集合的关系。 2.集合的表示方法: 列

举法、 描述法、 自然语言法.有的集合还可用Venn图表示, 用专用符号表示,如N, N , N?, Z, R, Q,?等。 3.元素与集合的关系:我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做 集合,若元素x是集合A的元素,则x?A,否则x?A。 4.集合与集合之间的关系: ①子集:若x?A,则x?B,此时称集合A是集合B的子集,记作A??B(或B??A)。 ②真子集:若A?B,且存在元素x?B,且x?A,则称A是B的真子集。 ③相等:若A?B,且A?B,则称集合A与B相等,记作A=B。 5.集合的基本运算: ①交集:AB??x∣x?A且x?B?? ②并集:AUB?{x∣ x?A或x?B} ③补集:CU A?{x|x?U,且x ? A},其中U为全集,A?U。 6.集合运算中常用结论: ①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A,A∩B=A?A?? B ② AUA?A, AU??A, AUB?BUA,AUB?A?B?A。 ③ AU(CU A)?U,(CU A)I A??,CU(AI B)?(CU A)U(CUB),CU(AUB)?(CU A)I (CUB)。 ④由n个元素所组成的集合,其子集个数为2n个。 ⑤空集是任何集合的子集,即???A。在解题中要特别留意空集的特殊性,它往往 就是导致我们在解题中出现错误的一个对象,避免因忽视空集而出

【题型分析】
一.集合及其运算
【例 1】设集合 A={a+1,a-3,2a-1,a+1},若-3∈A,求实数 a 的值

【变式训练】若a、b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求a和b的值.

【题型二】 集合的基本运算 【例2】已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B?A,求实数

a

【变式训练】若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于() A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D. 选择题: 1.下列各式中,正确的个数是( )

(1) {0}{0,1,2}; (2){0,1,2}{2,1,0}; (3){0,1,2}; (4){0}; (5){0,1}={(0,1)}; (6)0={0}。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.已知集合 A={1,-1},B={x∣mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为() A.1 B.—1 C.1 或—1 D.1 或—1 或 0

3. 设集合 M={x∣?1≤x <2}, N={x∣x?k≤0 }, 若 MN=M, 则 k 的取值范围 () (A)(?1,2) (B)[2, +∞ ) (C)(2, +∞) (D) [?1,2]

4. 设 A={x∣2x2?px+q=0 }, B={x∣6x2+(p+2) x+5+q=0 }, 若 BA={1/2}, 则 BUA= () (A){?4,1/3,1/2}(B){?4,1/2}(C){1/3,1/2} (D){1/2}

5.已知 A={1,2,a2 -3a-1},B={1,3},AB{3,1},则 a 等于( ) (A)-4 或 1 (B)-1 或 4 (C)-1 (D)4 )

6.设 A={xZ∣x2- px +15=0}, B={xZ∣x2-5x+q=0},若 AB={2,3,5},A、 B 分别为 ( A{3,5}、{2,3} B{2,3}、{3,5}

C{2,5}、{3,5}

D{3,5}、{2,5}

7.已知全集 U=Z,集合 A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影 部分所表示的集合等于( )

A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1}

D.{1,2} )

8.已知集合 M={y|y=x2},N={y|x=y2},则 M∩N=( A {(0,0),(1,1)} 填空题: 1.已知{1,2}M{1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有个 B {0,1} C {y|y≥0}

D {y|0≤y≤1}

2.设集合 A={x∣x2+ 4x=0,xR},B={x∣x2+ 2(a + 1)x + a2- 1=0,xR },若 BA, 求实数 a=。 3.已知集合 A={x|x≥2},B={x|x≥m},且 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是 _______ 4.设 a、bR,集合{1,a+b,a}={0,b/a,b}, 则 b-a=? 简答题: 1. 已知 A={x︱x<-1 或 x>5},B={xR︱a<x<a + 4},若 AB,求实数 a 的取 值范围。

2. 已知集合 A={a,a + b,a + 2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求 c 的值。

3. 已知方程 x2+px+q=0 的两个不相等实根为。集合 A={}, B={2,4,5,6}, ?C ={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=,求 p,q 的值?

4.已知集合 A={x︱37},B={x|2<x<10},C={x | x<a},全集为实数集 R. (1) 求 A∪B,(CRA)∩B; (2) 如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围。

专题二:函数的性质 【知识回顾】
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于 集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x的值相对应的y值叫做函数值, 函数值的集 合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.(一个自变量都只有唯一的因变量对应)。 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域 即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合 或区间的形式. 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义 域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称 这两个函数相等(或为同一函数)。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变 量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法: ①定义域一致; ②表达式相同(两 点必须同时具备) 定义域:

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小 于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大 于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.

那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不 可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 值域: (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都 应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域, 它是求解复杂函数值域的基础。 求值域方法: 待定系数法、 换元法、 观察法、 图像法、 反函数法等等 (逐一掌握) 。 函数单调性: 设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。 区间D称为y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为 y=f(x)的单调减区间。

注意: 1、 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 是函数的局部性质;
2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2)) 判断单调性方法:定义法、图像法。 函数的奇偶性: (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫 做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就 叫做奇函数.

注意:1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的 整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对定 义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称)。 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1、首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2、确定f(-x)与f(x)的关系; 3、作出相应结论:若f(-x) = f(x)或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) = -f(x)或f(-x)+f(x)= 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定 义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定 义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或 f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定.函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数 在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. ③若f (x)为偶函数,则f (?x) ???f (x) ??f (| x |) . ④若奇函数 f (x)定义域中含有0,则必有f (0) ??0. 函数的对称性: 偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f (?x) ??f (x) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f (x) ??f (?x) ?? 0 探讨:(1)函数y ??f (x)关于x ??a对称????f (a ??x) ??f (a ??x) f (a ??x) ??f (a ??x)也可以写成f (x) ???f (2a ??x)或f (?x) ???f (2a ??x) 简证: 设点(x1, y1)在y ??f (x)上, 通过f (x) ??f (2a ??x)可知, y1???f (x1) ??f (2a ??x1), 即点(2a ??x1, y1)也在y ??f (x)上,而点(x1, y1)与点(2a ??x1, y1)关于x=a对称。 得证。 若写成:f (a ??x) ??f (b ??x),函数y ??f (x)关于直线x=(a+x)+(b-x)/2=a+b/2对称. (2)函数y ??f (x)关于点(a,b)对称??????f (a ??x) ??f (a ??x) ??2b,上述关系也可以写 成f (2a ??x) ??f (?x) ??2b或f (2a ??x) ??f (x) ??2b 简证:设点(x1, y1)在y ???f (x)上,即y1 ???f (x1),通过f (2a ??x) ??f (x) ??2b可知, f (2a ??x1) ??f (x1) ??2b,

所以f (2a ??x1) ??2b??f (x1) ??2b??y1,所以点(2a ??x1,2b ??y1)也在y ???f (x)上,而 点(2a ??x1,2b ??y1)与(x1, y1)关于(a,b)对称。 函数的周期性: (1)对于函数y ???f (x),如果存在一个不为零的常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f (x ?T) ??f (x)都成立,那么就把函数y ??f (x)叫做 周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个 最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为T的区间上,函数的图形 有相同的形状。 (2)常见结论(约定a>0) ① f (x) ??f (x ??a),则 f (x)的周期 T=a

【题型解析】
(1)点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a??b),则在f作用下点(3,1)的原象为点 ________ (2)设f : x ?x2是集合A到集合B的映射,若B={1,2},则A??B一定是_____

【例2】:

(1) 函数 y=的定义域是: (2) 若函数y ??的定义域为R,则K?_______ (3) 设函数 f (x) ??lg(ax ?2x?1), ①若f (x)的定义域是R, 求实数a的取值范围; ②若f (x)的值域是 R,求实数a的取值范围.

求函数值域(最值)的方法:
1. 配方法――二次函数 (二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间[m,n] 上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最 值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的 相对位置关系) 【例】: 2 (1)求函数y ??x ?2x?5,x?[?1,2]的值域

(2)当x?(0,2]时,函数f (x) ??ax2??4(a ?1)x ?3在x ??2时取得最大值,则a的取值 范围是?

2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数 特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。 【例】:

(1)y ??2sin x?3cosx?1的值域为_____ (2)y ??2x ?1?的值域为_____ 3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性, 来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性. 【例】 :(1)求函数 y ??2sin???1/ sin???的值域。? ? ? ? (?)求函数y=3x/1+3x的值域。

4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单 调性。 例:求y=x-1/x (1??x ??9)的值域。

1.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=,当 0 (x)=2x,则 f (7.5) ___________

≤ x ≤ 1 , f

2. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f(x+2)=f(x-2) , f(1)=2 , 则 f(2)+f(7)=_____________ 3. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x ? 4) ? - f ( x )且 f (3) ? 5 ,则 f (-21) ? ______________, f (2005) ? ______________ 4. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (10 ? x) ? f (10 ? x) 且 f (20 ? x) ? ? f (20 ? x) , 则 f ( x)是 ( ) B. 周期为 20 的偶函数 D. 周期为 40 的偶函数

A. 周期为 20 的奇函数 C. 周期为 40 的奇函数

1.在统一平面直角坐标系中,函数 f(x)= ax 与 g(x)= ax 的图像可能是( )

2.

经典习题: 1.已知函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x), 且 f(0)=3, 则比较 f(bx)与 f(cx)的大小 关系。

1. 已知(a2+2a+5)3x>(a2+2a+5)1-x,则 x 的取值范围?

2. 求函数 y=的

定义域和值域。

3. 函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a1)在区间[-1,1]上有最大值 14,则 a 的值?

4. 解方程 3x+2-32-x=80

5. 为了得到函数 y=93x+5 的图象,可以把函数 y=3x 的图象( ) A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度

【例1】 (1) 求函数y = (2) 求函数y =

log 1
2

3x ? 2 的定义域. 2x ? 1

1 (a> 0,且a≠1) 的定义域. 1 ? log a ( x ? a )
3

(3) 已知函数f(x) 的定义域是[0,1],求函数y = f[log 1 (3-x)]的定义

10 x 【例2】 已知函数y = ,试求它的反函数,以及反函数的定义域和值域。 1 ? 10 x

例 3:作出下列函数的图像,并指出其单调区间 (1) y=lg(-x),(2)y=log2|x+1| (2) y=|log1/2(x-1)|,(4)y=log2(1-x)

1.函数 y1=2x 与 y2=x2 ,当 x>0 时,图像的交点个数是( ) A.0 B.1 C .2 D.3

2.已知函数 f(x)=3x,g(x)=2x,当 x∈R 时,( ) A.f(x)>g(x) B.g(x)>f(x) C.f(x)≥g(x) D.g(x)≥f(x)

3.方程 2x =2-x 的解的个数为___________ 4.已知 f(x)=loga(ax -1)(a>0 且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性.

?1? 6. 已知 f ( x) ? ? ? ?2?

x 2 ? 2 x ?3

,求使 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围

x 7. 函数 f ( x) ? 2

2

? x?2

, 2? 上的值域. ,求函数 f ( x) 在 ?1

?1? ?1? 8. 已知关于 x 的方程 f ( x) ? 3 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 5 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的最值. ? 3? ? 3?

2x

x

9. 求函数 f ( x) ? lg(? x2 ? 2 x ? 9) 的单调区间,并求其最值.

专题三:三角函数

一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ? 正切: tan ? ? 正割: sec ? ?
y x 余弦: cos ? ? r r y x 余切: cot? ? x y r x
x2 ? y2 ,

余割: csc? ?

r y

注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单 位圆有关的有向 线段 MP 、OM 、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线。 ..

二、同 sin ? ? csc ? ? 1 角三角函数的基本关系式
倒数关系: , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 。 商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? 。 cos ? sin ?

平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? 。

三、诱导公式
⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、 ? ? 、 ? ?? 、 ? ?? 、 2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的 同名函数值,前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名不 .. 变,符号看象限) ⑵

?
2

?? 、

?
2

?? 、

3? 3? ?? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值, 2 2

前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名改变,符号看象 .. 限)

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

tan( ? ? ?) ?
tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? (?)
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? sin 2? ? , sin 2 ? ? , tan ? ? 。 2 sin 2? 1 ? cos 2? 2

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
sin 2? ? 2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan2 ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin
sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

cos
sin

???
2

?⑴ ?⑵ ?⑶ ?⑷

???
2 2

???
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???

cos

???
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

???
2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

sin ? ? sin ? ? ?

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ()

其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b 。 a

十、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十一、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ? 1 ? 底?高 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2

S ?ABC ?

S ?ABC ?
S ?ABC ?

abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R
a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2

S?ABC ?
y

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?海仑公式(其中 p ?
sin ? ? cos ?
y

a?b?c ) 2

sin ? ? cos ? ? 0

sin ? ? cos ?

sin ? ? cos ? ? 0

o
x? y ?0

x
sin ?)cos ? A (?? 2,2

sin ? ? cos ? ? 0 A(?2,2)
x? y ? 0

o

x

1.使得函数 y ? lg(sin ? cos ? ) 有意义的角在( 2.设θ 为第三象限的角,则必有( (A) tan )



(A)第一,四象限 (B)第一,三象限 (C)第一、二象限 (D)第二、四象限

?
2

? cot

?
2

(B) tan

?
2

? cot

?
2

(C) sin

?
2

? cos

?
2

(D) sin )

?
2

? cos

?
2

3.若 tan ? sin ? ? 0 且 0 ? sin ? ? cos ? ? 1 ,则θ 的终边在(

(A)第一象限 4.设 y ? sin x ?

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

1 , ( x ? k? , k ? Z ) 则 Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 sin x

5.已知 cosx-sinx<-1,则 x 是第▁▁▁象限角。 6.已知角 α 的终边在直线 y ? 3x 上,求 sinα 及 cot ? 的值。

7.已知 Cos(α+β)+1=0, 求证:sin(2α+β)+sinβ=0。

1. sin ?? ? 2 ? ? cos ? (A)0

?? ? ? 2 ? 化简结果是( ?2 ?



(B) ?1

(C)2 sin 2 ? D ? ? 2sin 2

2.若 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? ,则 tan ? 的值为( 5



? A? ? ? B ? ? ? C ? ? D ? ?
3. 已知 sin ? ?

4 3

3 4

3 4

4 3 或? 3 4


4 ,并且 ? 是第一象限角,则 tan ? 的值是( 5 3 4 4 3
2

? A? ? ? B ? ? ? C ? ? D ?

4 3

3 4

4.化简 1 ? sin ?? ? 2? ? sin ?? ? ? ? ? 2cos ? ?? ? ? ▁▁▁▁▁▁。 5.已知 tan ? ? ? 1 ,则 的值为▁▁▁▁▁▁。 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 3 6.若关于 x 的方程 (m ? 5) x ? (2m ? 5) x ? 4 ? 0 的两根是直角三角形两锐角的正弦值,则
2

1

m ? ▁▁▁▁。
7.已知: tan ? ? 3 ,求 ?1?

3 cos ? ? sin ? ; ? 2 ? 2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? 的值。 3 cos ? ? sin ?

8.若 sin ? cos ? ? 0,sin ? cot ? ? 0, 化简:

1 ? sin 1 ? sin

? ?
2 ? 2

1 ? sin 1 ? sin

? ?
2

2

1.已知 sin ? ?

5 10 ,sin ? ? , 且 ? , ? 为锐角,则 ? ? ? 为( ) 5 10

? A? ? B ?

? 4

? 4



3? 3? ?C ? 4 4

? D? 非以上答案
? 的值是( ) ? ?

3? 3? ? ,且 cot ? ? ? 3 , 则 ? 2.已知 ? ? ? , 2 ? cos ? ? ? ? ? 4 4 ? 2 ? ?

? A?

2 2 ? B? ? ?C ? 7 2 ? D? ? 7 2 10 10 10 10

1 1 3.已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 则 cos ?? ? ? ? ?___________________ 3 2
2 4.在 ?ABC 中, tan A, tan B 是方程 3x ? 8x ? 1 ? 0 的两根,则 tan C ?_________________

1. 求证:

tan A ? tan B tan B ? cot B ? cot A cot A

2. ?ABC 中 , BC=5 , BC 边 上 的 高 AD 把 ?ABC 面 积 分 为 S1 , S2 , 又 S1 , S2 是 方 程

x2 ? 15x ? 54? 0 的两根,求 ? A 的度数。

1. sin15 cos165 的值为(
1 ? A? ? B ? ? 4

?

?



1 1 ?C ? ? D ? ? 1 4 2 2


5? 7? ? , 则 2. 已知 ? ? ? , 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 的值为( ? ? 2 2 ? ?

? A? 2 cos ? B ? ? 2 cos ? C ? 2sin ? ? D ? ? 2sin ? 2 2
2

?

?

2

3. 函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 的定义域是(



? A? ? x k? ? x ? k? ?
?

?

?

? ? ? ? ? .k ? Z ? ? B ? ? x k? ? ? x ? k? ? .k ? Z ? 12 4 3 ? ? ?

? C ? ? x k? ?
?
4.若

?

?
4

? x ? k? ?

? ? ? ? 11? ? .k ? Z ? ? D ? ? x k? ? ? x ? k? ? .k ? Z ? 6 2 12 ? ? ?

1 1 ? ? 1,则 sin 2? 的值为_______ cos ? sin ? 2sin ? ? cos ? ? ?5 ,则 3cos 2? ? 4sin 2? ? ______ sin ? ? 3cos ?

5.已知

1.化简

2 tan(

?

2 cos 2 ? ? 1 ? ? ) sin 2 (

?
4

4

??)

2.设 ? , ? 均为锐角,且

sin ? ? cos(? ? ? ) ,求 tan ? 的最大值。 sin ?

1. 在 ?ABC 中,若 sin B sin C ? cos

2

A ,则 ?ABC 的形状是( ) 2

? A? 等腰三角形
2. 设 A ? B ?

? B ? 直角三角形

? C ? 等边三角形

? D? 等腰直角三角形

?
3

, tan A ? tan B ? 3 ,则 cos A cos B 的值为( )

? A?

3 ?1 3 ?1 ? B? 4 4

?C ?

3 ? D? 2 3 6

2 3. 函数 y ? z sin x cos x ? 2sin x ? 1 的最小正周期 T ? ______

4. 若 sin x ? cos x ?

1 3 3 ,则 sin x ? cos x ? ______ 2 60 ? ? 且 ? ? ? ,求 sin ? 和 cos ? 的值 169 4 2

5.已知 sin ? cos ? ?

1.要得到 y ? sin

x 1 ? 的图象,只要将函数 y ? sin( x ? ) 的图象( ) 2 2 4

? A? 向左平移 4 单位
? 单位 2

?

? B ? 向右平移 4 单位

?

? C ? 向左平移 2 单位 ? D? 向右平移

?

2.以下给出的函数中,以 ? 为周期的偶函数是( )

? A? y ? cos2 x ? sin2 x ? B? y ? tan x ?C ? y ? sin x cos x ? D ? y ? cos 2
3. 三角函数式 ① y ? 3sin ? 2 x ?

x

? ?

5? ? 7? ? ? ? ② y ? 3sin ? 2 x ? ? 6 ? 6 ? ? 5? ? 2? ? ? ? ④ y ? 3sin ? 2 x ? ? 12 ? 3 ? ?


Y

3

③ y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

?
O

X

? ? 2? ? 其中在 ? , 上的图象如图所示的函数是( ?6 3 ? ?

2?

-3

? A? ③ ? B ? ①② ? C ? ①②④ ? D? ①②③④
4.把函数 y ? cos x ? sin x 的图象向左平移 m ? m ? 0? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则

m 的最小值是 ______
5.已知函数 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x( x ? R)
2 2

(1)求函数的最小正周期 (2)求函数的增区间 (3)函数的图象可由函数 y ? 2 sin 2x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得出?

6.已知函数图象 y= A sin(? x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 分别为 (

?
2

) 上相邻的最高点与最低点的坐标

5? 11? ,3), ( , ?3) ,求该函数的解析式. 12 12

1.下面函数的图象关于原点对称的是( )

( A) y ? ? sin x (B) y ? ?x sin x (C) y ? sin(? x ) (D) y ? sin x
2.函数 y ? sin x ? cos x 的取值范围是( )

? ? ? ( A) ? ?0, 2 ? ( A) ?0, 2? (C) ?1, 2? ( D) ?1, 2 ?

3.函数 y ? sin

x x ? cos , x ? ? ?2? , 2? ? 的增区间为 _____________________ 2 2
? 5 5? , ? 时, f ( x) ? x ? 2 2?

4.设 f ( x ) 是以 5 为周期的函数,且当 x ? ? ? 则 f (6.5) ? _________________ 5.已知函数 y ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x (1) 求函数的定义域和值域 (2) 用定义判定函数的奇偶性 (3) 作函数在 ? 0, ? ? 内的图象 (4) 求函数的最小正周期及单调区间

1.函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) 在区间 ? a, b? 上是增函数,且 f (a) ? ?2, f (b) ? 2 ,则

g ( x) ? 2 cos(3x ? ? )在区间 ? a, b? 上(
(A)是增函数 (B)是减函数

) (D)可取最小值 ?2

(C)可取最大值 2 )

2.函数 y ? sin x ? 2sin x 的值域为(

( A) ??3, ?1? ( B) ??1,3? (C ) ?0,3? ( D) ? ?3,0?
3.函数 y ? sin x ? cos x 的定义域为 _____________ 值域为 ______ 4.求下列函数的最值

(1) y ?

sin x , x ? ? 0, ? ? (2) y ? cos x , x ? R 2 ? sin x 2 ? sin x

经典例题:
1. 求函数 y ?

2 sin x ? 1 的定义域。

2.求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 sin 2 x (2) y ?

cos x

2

? 2 sin x ? 2

3.判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? x sin(? ? x)(2) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos2 x 1 ? sin x

4. 已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xR (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)在区 间上的最小值和最大值.

5. 已知 (1) 求 f(x)的最小周期 (2) 求 f(x)的值域 (3) 求 f(x)的单调区间

6. 已知 的最大值是 3,函数 f(x)的图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距 为 2. (1) 求 f(x)的解析式 (2) 求函数 f(x)的单调区间

专题四:平面向量
1、向量:既有大小,又有方向的量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向 量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量.

?

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?

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 4、向量数乘运算:

??? ?

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?

?a ? ? a ;
?
?

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

? ? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .

?

⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

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?

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b ? ? x2 , y2 ? , b b ?0 设 a ? ? x1, y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、
共线.

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作 为这一平面内所有向量的一组基底) 7、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 时, 点 ? 的坐标是 ? 8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

??

?? ?

?

?

? ?

? ? ?

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??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

? ?

? ?
?

??

? ?

?

?

a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

?

?

? ?
?2

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

?

?2

?

? ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则

? ? a?b ? x 1x 2 ? y 1 y 2 ?0 .
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2

一.选择题 1.以下说法错误的是( C.平行向量方向相同 2.下列四式不能化简为 AD 的是( A. (AB +CD )+BC ; C. MB +AD -BM ; ) B.零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量一定是共线向量 ) B. (AD +MB)+(BC +CM ); D. O C -O A +CD ; )

A.零向量与任一非零向量平行

3.已知 a =(3,4), b =(5,12), a 与 b 则夹角的余弦为(
63 13 B. 65 C. D. 13 65 5 4.已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+ 3b| =(

A.



A. 7

B. 10
? ??

C. 13
?

D.4
?

5.已知 ABCDEF 是正六边形,且 AB = a , AE = b ,则 BC =( (A)
? ?

? ??

? ??



1 2

( a ? b ) (B)

?

?

1 2

( b ? a ) (C) a + 1 2 b (D)
? ??
? ?

?

?

?

?

1 2
?

(a ? b)
? ??
? ?

?

?

6.设 a , b 为不共线向量, AB = a +2 b , BC =-4 a - b , CD =-5 a -3 b , 则下列关系式中正确的是
? ??

? ??

?


? ??


? ??

(A) AD = BC (B) AD =2 BC
? ?

? ??

(C) AD =- BC (D) AD =-2 BC
? ? ?

? ??

? ??

? ??

? ??

7. 设 e1 与 e2 是不共线的非零向量, 且 k e1 + e2 与 e1 +k e2 共线, 则 k 的值是 (

?



(A) 1

(B) -1
? ??

(C) ? 1 (D) 任意不为零的实数
? ?? ? ??
? ??

8.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC · BD =0,则四边形 ABCD 是( (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (D) 等腰梯形
? ??
? ??



9.已知 M(-2,7) 、N(10,-2) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 PN =-2 PM , 则 P 点的坐标为(
?


? ? ? ? ?

(A) (-14,16) (B) (22,-11) (C) (6,1) (D) (2,4) 10.已知 a =(1,2) , b =(-2,3) ,且 k a + b 与 a -k b 垂直,则 k=( (A) ? 1 ? 2 (B) 2 ? 1 (C) 2 ? 3 (D) 3 ? 2 ? ? ? ? 11、 若平面向量 a ? (1, x) 和 b ? (2x ? 3, ? x) 互相平行, 其中 x ? R .则 a ? b ? ( A. ?2 或 0; B. 2 5 ; C. 2 或 2 5 ; D. 2 或 10 . 12、下面给出的关系式中正确的个数是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 0 ? a ? 0 ② a ? b ? b ? a ③ a 2 ? a ④ (a ? b )c ? a(b ? c ) ⑤ a ? b ? a ? b (A) 0 二. 填空题 13.若 AB ? (3,4), A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为. 14.已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a ? b ? . ? ? ? ? ? 15、已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a ? b ,则 a 的坐标是_________________。 16、Δ ABC 中,A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2),则 C 点坐标为________________。 17.如果向量 积” , |b|=3, 与 b 的夹角为θ ,那么我们称 ×b|=| ×b|=____________。 ×b 为向量 与 b 的“向量 |=4, ×b 是一个向量,它的长度 | ·b=-2,则| ||b|sinθ ,如果| (B) 1 (C) 2 (D) 3 )



三. 解答题 18、设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (1)试求向量 2 AB + AC 的模; (3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标. (2)试求向量 AB 与 AC 的夹角;

19. 已知向量

=

, 求向量 b, 使|b|=2|

|, 并且

与 b 的夹角为



1 3 20.已知平面向量 a ? ( 3,?1), b ? ( , ). 若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?k a ? tb, 且x ? y.
(1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

21.如图 且

=(6,1), 。



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积。

,求 x

22.已知向量 a、b 是两个非零向量,当 a+tb(t∈R)的模取最小值时, (1)求 t 的值 (2)已知 a、b 共线同向时,求证 b 与 a+tb 垂直

专题五 数列

一、重难点击
本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前 n 项和公式及运用,等差 数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、 待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与 讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络
通项公式 数列与正整数集关系 递推公式 等差数列 数列 等比数列 公式法 特殊数列求和方法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法

定义 通项公式 中项 前n项的和

1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为 等差数列,公差为 n 2 d ;

(3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(5)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负
分界项,

?an ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?an ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有 S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ) , an ? a1qn?1 . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列

· an ? a p · aq (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am
(2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 .

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2
1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2

① ②

1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 n ?1 a ? a ? 2 a ? 2 ,∴ ,∴ ? n?1 n n n 2n ?2 (n ? 2)

5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn , 代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 , S n ? 4n ∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1
3 a a 1 a a 1 2 n ?1 解 2· 3 …… n ? · …… ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式

由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, 3 ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)

,an ? 3 [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1
(4)等比型递推公式

n?1

? an?1 ? n ? 2? ,求 an



an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ? 列 ∴ an ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

d d ? n ?1 d ? n?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ? 由已知得:
2an ,求 an an ? 2

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ?
2 n ?1

a ? 附:公式法、利用 n
学归纳法、换元法。

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2) 、累加法、累乘法.构造等差或

等比 an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

1 k ?1 ak ak ?1

n

解:由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

∴?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ? n

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?
1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 n ?1

[练习]求和: 1 ?

an ? …… ? ……,Sn ? 2 ?

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列, 求数列 ?anbn ?(差比数列) 前 n 项和, 可由 Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比. 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
2 n?1 n ①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x ? ……? x ? nx

x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

S n ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… S n ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?

a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把 正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒 序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知 识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公式的推导, 用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和 公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公 式适用于这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限 项,从而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边 同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数 列的条件下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所 有的式子加到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将 这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将 其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项的特征, 构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。

1. 已知

?an ?数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70,则其公差 d 等于(
A. ? 1 C. 3 2 3 B. ? 1 3 2 D. 3

)

2.已知等差数列 A.15

?an ?中, a7 ? a9 ?? 16,a4 ? 1,则a12 等于(
C.31 D.64



B.30

3.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ?1) }中的一项( A 380 A 40 A 40 A 5 A 81 B 39 B 45 B 42 B 4 B 27 C 35 C 50 C 43 C 3 C 243 D 23

) ) ) )

4.在等差数列{an}中,公差 d ?1, a4 ??a17 ???8,则 a2 ??a4 ??a6 ????a20 的值为( D 55 a1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于( D 45 D 2 ) D3 5.在等差数列{a n}中,已知

6.已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为( 7.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 =(


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