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2012年全国高中数学联赛安徽赛区预赛


3 6  

中 等 数 学 

2 0 1 2年全 国高中数学联赛安徽赛 区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 4— 0 0 3 6— 0 3  





填 空题 ( 每小题 8分 , 共6 4分 )  

( 1 ) 证明 : △A B C是 直角 三角形 ;   ( 2 ) 求△ A B C面积 的最 大值.   1 0 . ( 2 5分 ) 设 无穷 数列 { C t   } 满足 

1 . 已知 函数 


厂 ( C P ) :a r c s i n ( C O S  ) .  

则, (   ) ) ) 的最小正周期为  2 . 设实 数 、 Y满 足 


.  

1  

0l= 1, 口   =口  


l + —   ( n ≥2 ) .  
“ n


l  

8  +Y  一6 y+2 4=0.  

证 明: ( 1 ) 当n ≥ 2时, a   ≥ / 2 n ;  
.  
缸 

则  一 2 y的最大值 为 
7 c   3 7  

( 2 ) 不 存在 实数 c 使得 n  
有的 t t 都 成立.  

n+c 对所 

^ 咖 百  ∞百 + 咖 百  ∞   + 嘶 百 
=  

( 用 数字作答 ) .   ’  

1 1 . ( 1 8分 ) 设 n=2   ( m ∈ N+ ) . 求 所有  满足 
+1 ) = /   ( z )+1   的 n次实 系数 多项 式  ) .  

4 . 设 两点 C、 D在 以线 段 A B为直径 的半 

圆弧 上 , 线段 A C与 B D交 于点 E, A B=1 0 , A C  

= 8 , B D= 5 √ 2. 则△ A B E的面积为 
5 . 设 两个 椭 圆 
2   2  

.  

1 2 . ( 1 8分 ) 对平 面 上任意 的 凡 ( n >2 I ) 个  向量 t i t ' I ,   , …, 口   , 以  表 示 满 足  ?   <0  
2  


丁   +下 L :1   t   +2£一2 。t   +t+2 一  

( i <   ) 的实 数对 (   , J ) 的个 数. 证明 : M≤   .  

和 

+  

:  


参 考 答 案 


有公 共 的焦点. 则t =   6 .如 图 1 , 已  知正 四棱锥 P—  

1. 丌.  

由C O S   C为偶 函数 , P 知  ) 为偶 函数.  

A B C D 的体 积 为 1 ,  
E、 F、 G、 H 分 别 是 

而厂 (  + 丁 c ) : a r c s i n [ c o s ( x +  ) ]   = a r c s i n ( 一 c 0 s  ) =- a w s i n ( c  ̄  )  
C   E   B  

线段 A B、 C D、 P B、  
P C的中点. 则 多 面 

_ 厂 (  ) ,   故  + 丌 ) )=  一   ) )=  
= 一

) ) .  

从而 ,  厂 (  ) ) 的周期 为  .  
所以,  
2 .   一2.  

体 B E G —C F H 的 

图 1  

) ) ) 的最 小正 周期 为  .  

体积为  .   7 . 不超过 2   0 1 2且 与 2 1 0的最 大公 约数 
是 l的正整数 共有  个.  

南  一 8 x+ y   一 6 y+ 2 4= O . , 得  (  一 4 )  +( Y一 3 )  =1 .  

P( X< 0 ): P( Y> 口 ) , 贝 4   n:  

8 . 设随机变量  ~ Ⅳ ( 1 , 2 ) , Y ~ N ( 3 , 4 ) . 若  .  
二、 解答题 ( 共8 6分 )   9 . ( 2 5分 ) 已知△ A B C的周 长为 l , 且 
s i n   2, 4+s j n   2B =4s i n   A? s i n   B.  

当直线  一2 y= k与 圆相 切 时 , 即为所 求  最大值 .  
南 
√1+2‘  

:1  

j  k =一 2±  ( 负值舍去 ) .  

2 0 1 3年第 4期 

3 7  
3  
=  

3 专.  
注 意到 ,   ㈠ "' c o s  

1 V
面体  肋 一  一  ̄


,e s c n =  . ?  

7. 46 0 .  

由2   0 1 2=2 1 0×9+1 2 2, 且  ( 2 1 0 )=  

4 8 , 知 1~1 0 5中 与 2 1 0互 质 的 数 有 2 4个 ,  
=  

㈠  [ c o s   + c o s   ]  
” 。2 2  
… s  

1 0 6—1 2 2中与 2 1 0互 质 的数有 4个.  

故1 — 2   0 1 2中与 2 1 0互质的数有  4 8×9+ 2 4+ 4= 4 6 0 ( 个) .  
8 . 3+ 压 .   由题 设知 

) 丢 

4.  

.  


2  

州 0 , 1 ) ,  2 州 0 ’ 1 )  

如 图 2, 联 结 

A D、 B C .过 点 E 作 
E M上 A B于 点  .   由题 设得 
曰C =6.  
A  

哪  =   (  ) ,  
>  一 

( 字) =   ( 一 字) .  

故一   =一 a 丁 - 3  
网  
舀 口 :3 +   .  

又 A B 为 半 圆  直径 , 则 

R t △A C B∽ R t △A ME,   R t △ B ME∽ R t △ B D A  
.  

二、 9 . ( 1 ) 注 意到 ,  
0=s i n   2 A +s i n   2B 一4s i n   A? s i n   B 



AM  EM EM BM  AC —BC ’ DA —BD 
. .

: 2 s i n ( A+  ) . c o s ( A—B )一  

EM 

AM , EM =BM.  

因为 A B:l 0, 所以, E M: 3 0 
.  

2 [ c o s ( A— B ) 一 c o s ( A+ B ) ]   2 s i n   C? c o s ( A一   )一   2 [ c o s ( A—B )+C O S   C]   =一 2 c o s ( A—B) ( 1 一s i n   C)一 2 c o s   C  


故s …
5. 3 .  

=  

? 删 =  

.  

由两个 椭 圆有公 共 的焦点 知 
t   +2 £ 一 2一( t  + t + 2 )  


2 t  一3 t 一5一( t  +t 一7 )  

t : 3或 2 ( 舍去) .  
所以 , t : 3 .  
6 ?   ?  

将多 面 体 B E G—C F H 补 全 为 i棱 柱 
E B G —Fc H   .  

贝 0  多 f   体  G — c   . H  
=V: 搬  R 【 ; c  一V: 梭l 懿  
一   -

o s (   ( ?  i n 詈 . c o s   卜   2 ( c o s 2 f  n  )   o s ( A  ( c o s 导 一 s i n 导 )   一   2 ( c o s 导 + s i n 导 ) ( c 。 s   C — s i n   C )   = 一 2 [ c o s ( 4  ( c o s 詈  n 詈 ) +   ( I   c e 。 o s   导 + s i m n   詈 ) J   】 J   ( I   c 。 o   s —   一 s i m n   詈 ) J ,   其 中 , c o s ( 4 — 8 ) ( c o s 詈   n 詈 ) + ( c o s   C   n 詈 )  
=  
=  

HCF  

≥ ( c o s   C + s i n 导 ) 一 { c o s   C — s i n 导 i > Q  

3 8  

中 等 数 学 

因 此 , c 。 s 詈 一 s i n 等 = 0 .  
由 0<   C<  


故  ) 是所求多项式中的一个解.   下面证明 : 所求多项式. 厂 (  ) 是唯一的.  
首先 , 设 a是  ) 的  项 系数.   则- 厂 (   +1 ) 、 f   (  )+1的 “ 项 系数 分  别是 a 、 口   , 得 a=1 .  

手 j   L   c =   2 .  

( 2 ) 设 R t △A B C的直角边 长为 口 、 b .   由题 设及 平均 不等式 得 

其次 , 假设  (  ) 、  (  ) 都满 足题设条 
件, 且  (  ) ≠  (  ) . 则  (   +1 )一  (   +1 )=   (  )一   (  )  


1 : 0+ b +  a —   ’ — + — — b —   ≥( 2+ 4 2 一 )  , 口 — 6 一   ,  

( 赤 
当0 : b = 七
最大值 
2+√ 2  

.  

(  (  )+  (  ) ) (  (  )- A(  ) ) . (  

因为  (  ) 、   (  ) 的  项 系数 都 是 1 ,   所以,  (  )+  (  ) 是 n次 多项式. 而  h (  )=  (  ) 一  ( z )   是后 ( k<n ) 次多项式 ,  

时, △A B C的面积取得  

.  

1 0 . ( 1 ) 当几 ≥2时 , 由 
0『   I  ̄a -   +   r t _ 1  

(  + 1 ) 一  (  + 1 ) = h ( x   + 1 )   是2   次多项式 , 与式①矛盾.  
2 _ I+

+  

。 n  

2   2  

+ 士  石


唯一性 得证.  

口   : 2 (   一 1 ) +  +  + … + 士 
= 争 Ⅱ : ≥ 2 ( 凡 一 1 ) + 口   +  = 2 n .  
( 2 ) 反证 法.  

1 2 . 假 设 在 向 量  , ,  2 , …,   中 存 在 
≠ai , A  t ?  i 10 > .  

设 Ⅳ。 是 满 足  ?   < 0 的 k的 个 数 , Ⅳ 2  

是满 足  ?   < 0 的 k的个 数.   当N   <Ⅳ 2 时, 把  换 成  ; 否则 , 把  恒 
换成  .  

假 设 存 在 常 数 c使 得 0  <  
成立.  

记替换后所得的向量为 . ,  , …,  , 厨  
是满 足 <   , 且  ?  < o 的实 数对 ( i ,  ) 的个 
数. 则  ≥  

不妨设 c = 2   ( m ∈ N+ ) .  

当 n= 2  +1 ( N是 充分 大的正 整数 ) 时,  
2   口

F } { 以上 过程 , 知 存 在  。 ,   , …,   使 得  ≥  , 且对于任意 l ≤   <   ≤n都有 
=  

2凡 + — 1  



+ 


+ …

+ —

} 
1  
.  

N  -I   2t +1

或  ?  < 0 .  

+  



由于两 两夹角 为钝角 的平 面 向量 至多 有  i个 , 不妨设 . ,  , …, &   由  个 , 、 Y 个 

¨

 
f :, , l t:2  + l 。   ‘  中 

和 个  组 成 , 其 中,  + ) , + z :, 1 .   结合 平均 不等式 得 
,   >2   ¨+  

¨+  

。 + , , 。 +   ≥ ÷ (   + , , + z )  n  
j  M ≤ 肘 =x y+y z+  
=  

与口 : < 2 n + c 矛盾.  
1 1 . 设g (  ) =   +1 ,   )=   : : :   (  ) …) ) ?  

(  + y +   )  一(  + ) ,   + z   ) ]  
2  

则  g ( x ) ) = g (   ) ) , 且 
多项 式 .  

) 是2  次 

≤ }.  
( 王建伟 提供 )  



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