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一道高考题推广的简证与拓展


7 2  

数学通讯 ——2 O 1 1 年 第 5 6期 ( 上 半 月)  


?专 论 荟 萃 ?  



道 高考 题推 广 的 简证 与拓 展 
酋  曰   十  笮 

( 江 苏 南 通 高 等 师 范学 校 ,2 2 6 1 0 0

)  

2 0 1 0年高考 四川卷 文科 2 1 题:   已知定 点 A( 一1 , O ) , F( 2 , 0 ) , 定 直线 z :   一 
1 

所 以 筹=  ,  
由角 平 分 线 定 理 得 , F M 是  A F B 的 外 角 

÷, 不在z 轴上的动点P与点F的距离是它到定直 
厶 

线 Z 的距 离 的 2 倍. 设 点 P的轨迹为 E, 过点 F的直 

B FH 的平 分 线 , 同理 得 , F N 是  A FC 的外角  C F H 平 分线 , 所 以 MF上 NF, 故 以 MN 为直 径 
的 圆 C 总 经 过 右 焦 点 F( c , O ) .  
2   结 论 的 拓 展 

线 交 E于B、 C两点 , 直线 A B、 A C分别 交 z 于点M 、  
N.  

( I)求 E 的方程 ;   ( 1 1 ) 试判 断 以线 段 MN 为直 径 的圆是否过点  F, 并说 明理 由.   文 1 将这 道题 推广到一 般 的双曲线 、 椭 圆和抛  物线( 文 1 定理 1 、 定理 2 及定 理 3 ) , 并统 一成 圆锥  曲线 的一个美妙 性质 .  

拓展 1   设 双 曲线 E的方程 为  一  一 1 ( 口  
> 0 , b> 0 ) , 左 顶 点 A( 一口 , O ) , 定 点 F( t , O ) ( £ > 

n ) , 定 直线 z : X一  , 过 点 F且斜 率不 为零 的直线  交 E于 B、 C两点 , 直线 A B、 AC分别 交 Z于点 M 、  
N, 则:   ( 1 )当 口 <t <c 时, F在 以线段 MN 为直径 的 
圆内;  

性 质  设 圆锥 曲线 E的一 个焦 点为 F, 相应  的 准线为 z , 相对于 F的E的另 一顶点 为A, 过 F的  直线 与 曲线 E交于 B、 C两点 , 直线 A B、 A C分别交  z 于点 M 、 N, 则 以线 段 MN 为直 径 的圆过焦 点 F.   当曲线 E是双 曲线 和椭 圆时 , 关 于上 述 性质  的证 明 , 文 1是采用 代数 方法 , 通 过 联立 方 程组运  用 韦 达定理 获证 , 过 程 比较 繁琐 , 而 当 曲线 E是抛  物线 时 , 文l 却采 用几何方 法 , 巧 用抛物线 的定 义 ,   转 化证 明  MF N一9 0 。 , 过程简 洁 明快 . 既然统 一  成一 个性 质 , 却 用两种的不同证法 , 总感 觉 不 和  谐, 我们希 望 当曲线 E是 双 曲线 和椭 圆时 , 也能 借 
助 椭 圆和 双 曲线 的 定 义 , 用几 何 法证 明 , 经 过 探 究 

( 2 )当 t — c时 , F 在 以线 段 MN 为直 径 的 
圆上 ;  

( 3 )当 t > c时 , F 在 以 线 段 MN 为 直 径 的 
圆外 .  

证 明  ① 当直 线 B C 与 z轴 不垂 直 时 , 设 直  线 B C的方程 为 Y— k ( x一£ ) ( 最 ≠0 ) , 代 人 双曲线  方程 得 ( n   k   一b   ) z   一2 t a   k   X+ 口   t   k 。 +口 。 b   一 
0 , 由题 意 n   k   一b   ≠ 0 , 且 △> 0 ,   设 B ( x 1 , Y 。 ) , C ( x 2 , Y 2 ) , 则 有 
.  

发 现完全 可 以, 而且 继续 深入 研 究 下去 , 还 可 以将 
结 论拓展 , 现整 理成文 .   1 . 定 理 1和 定 理 2的 简 证 

z 1十 z2 : : =  

2t a   k  

’ z z2 一 — 

口   t   k  + 口   b  
二 

’  

所以 Y 1 Y 2= 忌 。 (  1 一£ ) ( z 2 一£ )  


以椭 圆为例 , 双 曲线类  似证 明.   证 明  如图 1 , 分别过  B、 C 作 右 准 线 z的 垂 线  BD 、 O G, D、 G为 垂 足 , 设 Z   与 z轴 的交点 为 H.   由椭 圆 定 义 得  一  
A、  

是   [ z 1  2 一t ( x 1 + 2 ) +t   ]  

J  

吖  B/   ’   一   口 

c  
k 。 6  ( 口  一 t   )  

一 菇 
. 



一  

G  
N 

5 1 . 直线 A B 的方 程 为 Y一 — 一 ( z+ 口 ) , 故 
1  1一 a 

图 1  

M c 譬 ,  
所 以商 一(  

,  
,   ) ,  

筹一  以 筹一 器,  
D 又 因为 B D/ / AH , 所以 ,   B 百
:= :   ,  

同 理 可 得 帝一 (   , 萼  

) ,  

?

专论 荟 萃 ?  

数学通讯 —— 2 O 1 1 年第 5 、 6期 ( 上半 月 )  

7 3  

从 而 

( 1 ) 当0 <£ <要时, F 在以 线段MN为直径  

葡. 雨:  
+ 
=  
—  

十 老等 
( a   2-  ̄ -   a t )   Z y l y 2    


的圆 内 ;  

十  

) +。   ]  

( 2 ) 当t =要时, F 在以 线段M N为直径的圆  
上 ;  

==

——— —— ——— —— ——— ——— 一

( 口  一 t   )  
t 2  
 

( 3 ) 当t >要时, F 在以 线I f  ̄ . MN为直径的圆  
外.  
口   志 。一 6 0   .   五 。— —b 。 a     …  
 

+ 

]  

( £  一 a   ) ( £   一 C   )  
— — —   — 一



当 直 线 B C 与 z 轴 垂 直 时, B( t ,  

证 明  ① 当直线 B C 与 z轴不 垂直 时 , 设 直  线t 3 C的方程 为 Y= 志 (  —t ) ( 矗 ≠0 ) , 与Y 。 =2 p x   联立 , 消 去  得 点   。 一2 p y一2 p k t = = = 0 , 由题意 △>  0 , 设 B( x l , Y 1 ) , C ( x 2 ,  ) , 则有 Y l Y 2=一 2 p t ,   XR  ̄ O B方 程 为  ;   _ Y L 故 M( 一£ ,   ) ,  


生 

) , C ( t , 一

一 b  

) , M(   ,  

。  

手  
葡 贰

, N ( 譬 , 一   b   _) , 所 以  
一(   :(   , 鱼  , 一  ) ,   ) ,  

直 线 ∞ 方程 为  = 
.  

, 故 N( -£ ,   ) ,  
, . ‘2  

所 以 
从 而 

一( 一2 t ,   ) ,  
山 l  

=( 一2 t ,   ) ,  
山 2  

蔚 . 帝 :4 £ z +芏   丝 
X l2 2  

从而痢 . 肃 一  

;  
.  

— 4 £  + 
2  

t  ̄   一 4 £  + — 4 p Z


综合①②, 得葡 . 肃 :  三 一 二 = 二 _  

丛 .丝  
2 p 

Y l Y z  

所以, 当日 <t <f 时, 葡 ? 菌 <0 , F在以  
线段 MN 为直 径 的圆内 ;  

=4 卧

 

一 4   一 

当t =   时, 葡
MN 为直 径的 圆上 ;  

. 雨 =0 , 所 以 F在 以线段 
. 贰 >0 , 所 以 F在 以线 段 
1 ( a>  

② 当直线 B C与 z轴 垂直时 , B ( t ,  ̄ / 2  ) ,  
C ( t , 一 ̄ /  一 ) , M( 一t , 一4 — 2 p — t ) , N( -t ,  ̄ / — 2 p — t ) ,  
所 以葡   一 ( 一2 t , 一 


当t >c 时, 商
MN 为直 径的 圆外 .  

) ,  

= ( 一2 £ ,  

y  Z 拓展 2   设椭 圆 E的方 程 为x   z   T  

从 而 葡 . 雨 =4 t ( t 一要) ;  



b > 0 ) , 左 顶点 A( ~a , O ) , 定 点 F( t , O ) ( 0< t < 

综合①②, 得葡 . 贰 =4 t ( t 一要) .  
所以, 当0 <£ <要时, 痢 . 帝 <0 , F在以  
线 段 MN 为直径 的 圆内 ;  

n ) , 定直 线 z :  =a - = - - , 过点 F且 斜率 不为零 的直线  交 E于 B、 C两 点 , 直线 A B、 A C分 别交 l 于点M 、  
N, 则:  

当£ =要时, 葡 . 商 =0 , F 在以线段MN  
为直径 的圆上 ;  

( 1 )当 0 <t <C 时, F在 以线段 MN 为 直径 的 
圆外 ;   ( 2 )当 t= C时 , F 在 以 线 段 MN 为 直 径 的 
圆上 ;  

当£ >要时, 葡 . 贰 >0 , F 在以线段MN  
为直径 的圆外 .   参 考文献 :  

( 3 )当 c <t <a 时, F在以线 段MN 为 直径 的 
圆 内.   证 明过 程与 拓展 1 类似, 读 者可 自行完 成.  

拓展 3   设 抛物线 E的方程 为Y  = 2 p x(  >  0 ) , 顶 点 为 0( o , 0 ) , 定点 F( t , 0 ) (   >0 ) , 定 直线 z :  
z一一t , 过点 F的直线 交 E于 B、 C两点 , 直线 O B、   ∞ 分别交 z于点 M 、 N, 则:  

[ 1 ]   王 国涛 , 殷 金俊 . 一道 高 考题 的赏 析 和推 广  I - j ] . 数学通 讯 ( 上 半月 ) , 2 0 1 0 ( 1 1 , 1 2 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 0 —1 2 一O 1 )  


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