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新疆乌鲁木齐市2017届高三下学期第三次诊断性测验(三模)数学文 Word版


新疆乌鲁木齐市 2017 届高三下学期第三次诊断性测验(三 模) 数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x 1 ? x ? 3? ,则( A. A ? B 2.若复数 A. ?1 B. A ? B C. A ? B

?

?



D. A ? B ? ? )

m?i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 m 等于( 1? i
B. ?

1 2

C.

1 2

D.1 )

3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? ( A.4 B.6 C.8 D.10
a

?1? ?1? 4.已知 a ? 0, b ? 0 ,则“ log2 a ? log2 b ”是“ ? ? ? ? ? ”的( ? 3? ? 3?

b



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》: 三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数 n 被 3 除余 2,被 5 除余 3,被 7 除余 4,求 n 的最小值.按此歌诀得算法如图,则输出 n 的结果为 ( )

A.53

B.54

C.158

D.263 )

6.下列函数中,以

? 为最小正周期的偶函数是( 2

?? ? A. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ?
C. y ? sin 2 x ? cos 2 x

B. y ? sin 2 2x ? cos2 2x D. y ? sin 2 x cos 2 x

? 2 x ? y ? 5 ? 0, ? 7.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ,则 z ? ?3x ? y 的最大值为( ? y ? x, ?



A. ? 19

B. ?7

C. ?5

D. ?4 )

8.已知 x, y ? R , x2 ? y 2 ? xy ? 315 ,则 x 2 ? y 2 ? xy 的最小值是( A.35 B.105 C.140 D.210 )

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

1 ? ? 2 2

B. 1 ?

?
2

C. 1 ? ?

D. 2 ? ?

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上,且 a2 b2

AF2 ? x 轴,若 ?AF1 F2 的内切圆半价为

?

3 ? 1 a ,则其离心率为(

?



A. 3

B.2

C. 3+1

D. 2 3

11.球 O 与棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各个面都相切,点 M 为棱 DD1 的中点,则 平面 ACM 截球 O 所得截面的面积为( A. ) D.

4? 3

B. ?

C.

2? 3

? 3


12.已知 k ? Z ,关于 x 的不等式 k ? x ? 1? ? A.0 B.1 C.2

2x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,则 k 的最小值为( ex

D.3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 不透明盒子里装有大小, 质量完全相同的 2 个黑球, 3 个红球, 从盒子里随机摸取两球, 颜色相同的概率为 . .

? ? ? ? ? ? 14. 若单位向量 a, b 满足 2a ? b ? 2 ,则向量 a, b 的夹角的余弦值为

15. 若 P 是抛物线 y 2 ? 8 x 上的动点,点 Q 在以点 C ? 2,0 ? 为圆心,半径长等于 1 的圆上运 动.则 PQ ? PC 的最小值为 .

?3 ? 16. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ?2 ? ? ?3 , Sn 为数列 ?an ? 的前 ?2 ?

n 项和,且 Sn ? 2an ? n ,则 f ? a5 ? ? f ? a6 ? ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,已知 ? 2a ? b ? sin A ? ? 2b ? a ? sin B ? 2c sin C . (Ⅰ)求 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值. 18. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC 是正三角形, E 是棱 BB1 的中点.

(Ⅰ)求证平面 AEC1 ? 平面 AA1C1C ; (Ⅱ)若 AA1 ? AB ? 1 ,求点 E 到平面 ABC1 的距离. 19. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据, 我们用两种模型① y ? bx ? a , ② y ? cedx 拟合, 得到回归方程分别为 ? y 身高 x ? cm? 体重 y ? kg ? 60 6 0.41 -0.36
?1?

? 0.24 x ? 8.81 , ? y
70 8 0.01 0.07

? 2?

? 1.70e0.022 x ,作残差分析,如表:
80 10 90 14 1.21 0.12 1.69 100 15 -0.19 -0.34 110 18 0.41 -1.12

? ?1? e

? ? 2? e

(Ⅰ)求表中空格内的值; (Ⅱ)根据残差比较模型①,②的拟合效果,决定选择哪个模型; (Ⅲ)残差大于 1kg 的样本点被认为是异常数据,应剔除,剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新 建立回归方程. (结果保留到小数点后两位) 附:对于一组数据 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,?? xn , yn ? ,其回归直线 y ? bx ? a 的斜率和截距的最小二

?? 乘法估计分别为 b

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y
i

??

?

?? x
n i ?1

?x

?

2

? ? y ? bx ? . ,a

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 b b ? ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,过椭圆上一点 P 分别作斜率为 , ? 2 a a a 2 b2
2 2

的两条直线,这两条直线与 x 轴分别交于 M , N 两点,且 OM ? ON ? 8 . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 PM , PN 与椭圆 C 的另一个交点分别为 Q, R ,当点 P 的横坐标为 1 时, 求 ?PQR

的面积.
1? ? 21. 设函数 f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ln x ? ? a ? ? x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? a . 2? ?

(Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, ? ? ? ? ) ,以坐标原点为极点, x 轴 2 ? y ? 1 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? =2 cos ? . (Ⅰ)讨论直线 l 与圆 C 的公共点个数; (Ⅱ)过极点作直线 l 的垂线,垂足为 P ,求点 P 的轨迹与圆 C 相交所得弦长. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 y ? f ? x ? 图象与直线 y ? 3 围成区域的面积; (Ⅱ)若 f ? x ? 的最小值为 1,求 a 的值.

试卷答案 一、选择题
1-5:CDCCA 6-10:BCBDA 11、12:DB

1.选 C.【解析】∵集合 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?1,2? ,∴ A ? B .故选 C. 2.选 D.【解析】∵
m ? i ? m ? i ??1 ? i ? ? m ? 1? ? ? m ? 1? i ? ? 为纯虚数,∴ m ? 1 .故选 D. 1? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ?

?

?

3.选 C.【解析】∵ a1 ? a7 ? a3 ? a5 ,又 a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,所以 a7 ? 8 .故选 C.
?1? ?1? 4.选 C.【解析】∵ a ? 0, b ? 0 , log 2 a ? log 2 b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? .故选 C. ? 3? ? 3?
a b

5.选 A.【解析】按程序框图知 n 的初值为 263,代入循环结构得 n 的输出值为 53,故选 A. 6.选 B.【解析】∵ y ? sin 2 2x ? cos2 2 x ? ? cos 4 x ,是偶函数,且 T ?

?
2

,故选 B.

7.选 C. 【解析】 可行域如图所示, 当直线 z ? ?3x ? y 过点 A? 2, ?1? 时,z ? ?3x ? y 有最大值, 最大值为 ?5 .故选 C.

8.选 B.【解析】∵ x, y ? R , x2 ? y 2 ? xy ? 315 ,∴ 315 ? xy ? x2 ? y 2 ? 2xy ,∴ xy ? 105 . ∴ x2 ? y 2 ? xy ? 315 ? 2xy ? 315 ? 210 ? 105 .故选 B. 9.选 D.【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成,所以体积

1 V =1?1? 2+ ? ? ?12 ? 2? ? 2+? .故选 D. 2
10.选 A.【解析】∵由 AF1 ? AF2 ? 2a ,∴ Rt ?AF1 F2 内切圆半径为
AF2 ? F1 F2 ? AF1 2 ? 2c ? 2 a ?c?a? 2

?

3 ? 1 a ? c ? 3a ,∴离心率 e ? 3 ,故选 A.

?

11.选 D.【解析】设圆心到截面距离为 d ,截面半径为 r ,连结 OA, OC , OM ,由
1 2 3 6 S ?AOC ,∴ d ? VO ? ACM ? VM ? AOC ,即 S ?ACM ? d ? ,又 d 2 ? r 2 ? 1 ,∴ r ? ,所以截面 3 3 3 3

的面积为

? .故选 D. 3
2x ? x ? 0? . x ?1

12.选 B.【解析】k ? f ? x ? 对任意 x ? 0 恒成立 ? k ? f ? x ?max ,其中 f ? x ? ? e? x ?

f ?? x? ?

?2 ? x 2 ? x ? 1? e ? x ? 1?
x 2

.∴ f ? ? x ? ? 0 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 ? 0 ? x ?

5 ?1 , 2

f ?? x? ? 0 ? x ?

? 5 ?1? 3 ? 5 5 ?1 3? 5 1 ,则 f ? x ?max ? f ? ,而 0 ? 5 ?1 ? ? 1. 5 ?1 ? 2 ? ?? 2 e ? ? e 2 e 2

又 k ? Z ,∴ kmin ? 1 ,故选 B.

二、填空题
13.填

2 .【解析】设黑球编号为 A1 , A2 ,红球编号为 B1 , B2 , B3 ,随机抽取两球的情况有 5

? A1 , A2 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? ,共 10
种,满足条件的有

? A1 , A2 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? 4 种,所以 P ?

4 2 ? . 10 5

14. 填

? ? ? ? 3 . 【解析】 ∵ 2a ? b ? 2 ,∴ 2a ? b 4

?

?

2

? ? ?? ?2 ? ? ?2 ? 2 ,a, b 为单位向量, 即 4a ? 4a ? b ? b ? 2 ,

则 4 ? 4 cos ? ? 1 ? 2 ,∴ cos? ?

3 . 4

15.填 3. 【解析】 由于点 C 为抛物线的焦点, 则 PC 等于点 P 到抛物线准线 x ? ?2 的距离 d . 又圆心 C 到抛物线准线的距离为 4, 则P Q ? P C 取等号.故 PQ ? PC 得最小值为 3.
?3 ? 16.填 3.【解析】∵ f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,又∵ f ? ? x ? ? f ? x ? ,∴ ?2 ? ?3 ? f ? ? x ? ? ? f ??x? . ?2 ?

? P Q d? ?

3 .当点 P 为原点,Q 为 ?1,0 ? 时

?3 ? 3 ?? ?3 ? ∴ f ? 3 ? x ? ? f ? ? ? ? ? x ?? ? ? f ? ? ? ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? f ? x ? . ?? ?2 ? ?2 ? 2

∴ f ? x ? 是以 3 为周期的周期函数. ∵数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且 Sn ? 2an ? n ,∴ a1 ? ?1 ,∴ a5 ? ?31, a6 ? ?63 . ∴ f ? a5 ? ? f ? a6 ? ? f ? ?31? ? f ? ?63? ? f ? 2? ? f ? 0? ? f ? 2? ? ? f ? ?2? ? 3 .

三、解答题
17.(Ⅰ)由已知,得 ? 2a ? b ? ? ∴ cos C ?

a b c ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?ab , ? ? 2b ? a ? ? ? 2c ? 2R 2R 2R

2? a 2 ? b2 ? c 2 1 ; ? ? ,∴ C ? 3 2ab 2
a b ? ? sin A sin B 3 3 2
,∴ a ? 2sin A, b ? 2sin B .

(Ⅱ)∵ c ? 3 ,∴

?? ? 设周长为 l ,则 l ? a ? b ? c ? 2sin A ? 2sin B ? 3 ? 2sin A ? 2sin ? ? A ? ? 3 ?3 ?

? 2sin A ? 2sin

?

cos A ? 2cos sin A ? 3 ? sin A ? 3 cos A ? 3 3 3

?

?? ? ? 2sin ? A ? ? ? 3 3? ?
∵0? A?

?

?? ? ,∴ 2 3 ? 2sin ? A ? ? ? 3 ? 2 ? 3 , 3? 3 ?

∴ ?ABC 周长的最大值为 2 ? 3 . 18. (Ⅰ)分别取 AC, AC1 的中点 O, F ,连结 OB, OF , EF ,则 OF ? BE ,∴ OB / / EF .
//

∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, ABC 是正三角形, O 是 AC 的中点, ∴ OB ? 面 ACC1 A1 ,∴ EF ? 平面 ACC1 A1 ,∴平面 AEC1 ? 平面 AA1C1C . (Ⅱ)已知 AA1 ? AB ? 1 ,设点 E 到面 ABC1 的距离为 h1 ,点 C1 到面 ABE 的距离为 h2 ,
1 1 1 1 3 3 ? ∴ VE ? ABC1 ? ? S?ABC1 ? h1 ? VC1 ? ABE ? ? S?ABE ? h2 ? ? ? . 3 3 3 4 2 24

又∵ BC1 ? AC1 ? 2, AB ? 1 ,∴ S ?ABC1 ? ∴点 E 到平面 ABC1 的距离为
21 . 14

7 21 ,∴ h1 ? . 4 14

?1? ?1? 19.(Ⅰ)根据残差分析,把 x ? 80 代入 ? y ? 0.24 x ? 8.81 得 ? y ? 10.39 .

10 ? 10.39 ? ?0.39 .所以表中空格内的值为 ?0.39 .

(Ⅱ)模型①残差的绝对值和为 0.41+0.01+0.39+1.21+0.19 ? 0.41 ? 2.62 , 模型②残差的绝对值和为 0.36+0.07+0.12+1.69+0.34 ? 1.12 ? 3.7 .
2.62 ? 3.7 ,所以模型①的拟合效果比较好,选择模型①.

(Ⅲ)残差大于 1kg 的样本点被剔除后,剩余的数据如表

?? 由公式: b

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y
i

??

?

?? x
n i ?1

?x

?

2

? ? y ? bx ? .得回归方程为 y ? 0.24 x ? 8.76 . ,a

20.(Ⅰ)∵ e ?

b 3 c2 1 b2 c2 3 c 1 . ? ,∴ 2 ? ,∴ 2 ? 1 ? 2 ? ,∴ ? a 2 a 2 a 4 a a 4

设 P ? m, n ? ,直线 PM : y ? n ?

? ? 3 2 3 m? n,0 ? ? x ? m ? ,令 y ? 0 ,得 M ? ? ? 2 3 ? ?

直线 PN : y ? n ? ?

? ? 3 2 3 m? n,0 ? ? x ? m ? ,令 y ? 0 ,得 N ? ? ?. 2 3 ? ?
2 2

???? ? 2 ???? 2 ? 2 3 ? ? 2 3 ? 8n2 m2 n2 2 ∴ OM ? ON ? ? m ? n ? m ? n ? 2 m ? ? 8 ? ? ?1. ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 4 3 ? ? ? ?

x2 y 2 ? ?1; 4 3 x2 y 2 3 ? 3? (Ⅱ)当 x ? 1 时,代入 ? ? 1 ? y ? ? ,不妨设 P ? 1, ? ,直线 PM 的方程为 4 3 2 ? 2?
∴曲线 C 的方程是
y? 3 3 3 x? ? , 2 2 2 3 3 3 x? ? , 2 2 2

直线 PN 的方程为 y ? ?

? x2 y 2 ?x ? ? 3 ? ?1 ?x ? 1 ? ? ? 3? ?4 ? 3 由? ,解得 ? ,又∵ P ? 1, ? , 3 或? 3 y? ? 2? ?y ? ? ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 2

? ? 3? 3? 1 QR 的方程为 y ? x , ∴ Q? ,同理 ? 3, ? R 3, ? ? ? ? ? ? ? ,∴ QR ? 15 ,直线 2 2 2 ? ? ? ?

∴点 P 到直线 QR 的距离为

1 2 5 2 5 ? 3. ,于是 S ?PQR ? ? 15 ? 2 5 5

21. (Ⅰ) f ? ? x ? ? 2 ? x ? 1?? ln x ? a ?? x ? 0? . ①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 2 ? x ? 1? ln x ,当 0 ? x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 , 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .∴ f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增 ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 1, x2 ? e? a ,此时 e? a ? 1 . 易知 f ? x ? 在 0, e?a 递增, e?a ,1 递减, ?1, ?? ? 递增 ③当 a ? 0 时, e? a ? 1 .易知 f ? x ? 在 ? 0,1? 递增, 1, e?a 递减, e?a , ?? 递增

?

?

?

?

?

?

?

?

1 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? x2 ? 2x ? ln x ? x2 ? 2x , 2 1 ①若 0 ? x ? 1时,可知 f ? x ? ? x ? x ? 2? ln x ? x ? 4 ? x ? ? 0 , 2
②若 x ? 1 时,由(Ⅰ)知 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,则有 f ? x ? ? f ?1? ?
+? ? , f ? x ? ? 0 ; 因此,当 a ? 0 时,对所有的 x ? ? 0,

3 ?0 2

当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知易知 f ? x ? 在 0, e?a 递增, e?a ,1 递减, ?1, ?? ? 递增,

?

?

?

?

且 f ?1? ? a ?

1 3 ? 2 ?1 ? a ? ? a ? ? 0 ,因此在 e?a , ?? 上均有 f ? x ? ? 0 . 2 2

?

?

下面考虑 x ? 0,e?a 时,此时 0 ? x ? 1
1? ? f ? x ? ? x ? x ? 2 ? ln x ? ? a ? ? x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,其中, x ? x ? 2 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1? . 2? ? 1? ? 设 h ? x ? ? ? a ? ? x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,则 h? ? x ? ? ? 2a ? 1? x ? 2 ? 2a ? ? 2a ? 1?? x ? 1? ? 1 2? ?

?

?

①若 0 ? a ? 1 ,则 0 ? 2 a ? 2 , ?1 ? 2a ? 1 ? 1 ,而 ?1 ? x ? 1 ? 0 ∴ ?1 ? ? 2a ? 1?? x ? 1? ? 1 ,∴ ? 2a ? 1?? x ? 1? ? 1 ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . 此时 h ? x ? 在 ? 0,1? 递增,故 h ? x ? ? h ? 0? ? a ? 0 ;
1? 1 2 ? ②若 a ? 1 ,则 h ? x ? ? ? a ? ? x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? ? a ? 1?? x ? 1? ? x 2 ? 1 ? 0 2? 2 ?

由①②可知,二次函数 h ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? . 因此在 x ? 0, e?a ? ? 0,1? 时,总有 f ? x ? ? 0 . 综上,当 a ? 0 时,对所有的 x ? ? 0, ?? ? , f ? x ? ? 0 .
?? ? 22. (Ⅰ)直线 l 式过定点 A ? 0,1? ,倾斜角在 ? , ? ? 内的一条直线, ?2 ?

?

?

圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1,∴当 ? ?
2

?
2

时,直线 l 与圆 C 有 1 个公共点;



?
2

? ? ? ? 时,直线 l 与圆 C 有 2 个公共点

?? ? (Ⅱ)依题意,点 P 在以 OA 为直径的圆上,可得轨迹极坐标方程为 ? ? sin ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?
? ? =2cos ? 2 5 ? 联立 ? . ? ?得? ? ? 5 ? ? ? sin ? ? 0 ? ? ? 2 ? ? ? ?

∴点 P 的轨迹与圆 C 相交所得弦长是

2 5 . 5

? ??3x ? x ? ?1? ? ? ? 23. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x ? ?1 ? x ? ? ? ? ? 1? ?3x ? x ? ? 2? ? ?

1? ?. 2?

其图象如图所示,

易知,围成区域的面积为

3 . 2

? 1? ? ??3x ? a ? 1? x ? 2 ? ? ? ? ? 1 1 ?1 ? (Ⅱ)当 ?a ? ,即 a ? ? 时, f ? x ? ? ? x ? a ? 1? ? x ? ?a ? . 2 2 ?2 ? ? ?3x ? a ? 1? x ? ?a ? ? ?

1 3 ?1? 1 ∴ f ? x ?min ? f ? ? ? ? a ? 1 ;又 f ? x ?min ? 1 ? ? a ? 1 ? 1 ? a ? ? 2 2 2 2 ? ?
? ??3x ? a ? 1? x ? ?a ? ? ? 1? 1 1 ? 当 ?a ? ,即 a ? ? 时, f ? x ? ? ?? x ? a ? 1? ?a ? x ? ? . 2? 2 2 ? ? ? 1? ? ?3x ? a ? 1? x ? ? 2? ? ?
1 1 ?1? 1 ∴ f ? x ?min ? f ? ? ? ? a ? ? a ? 1 ? a ? . 2 2 ?2? 2

3 1 ∴a ? ? 或a ? . 2 2


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