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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用单元质检 文 北师大版


单元质检三

导数及其应用
单元质检卷第 6 页

(时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.一个物体的运动方程为 s=1-t+t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速 度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/

秒 D.8 米/秒 答案:C 解析:根据瞬时速度的意义,可得 3 s 末的瞬时速度是 v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5. 2.已知函数 f(x)=ln x-x,则函数 f(x)的递减区间是( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(-∞,0),(1,+∞) D.(1,+∞) 答案:D 解析:由 f(x)=ln x-x,得 f'(x)=-1. 令 f'(x)=-1<0,又 x>0,解得 x>1. 3.曲线 y=在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 答案:A 解析:∵y'=,∴曲线在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为 y'=2. ∴切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1. x 4.若函数 y=e +mx 有极值,则实数 m 的取值范围是( ) A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 答案:B x x x 解析:求导得 y'=e +m,由于 e >0,若 y=e +mx 有极值则必须使 y'的值有正有负,故 m<0. 2 5.函数 f(x)=x +x-ln x 的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 解析:由 f'(x)=2x+1-=0,得 x=或 x=-1(舍去).当 0<x<时,f'(x)<0,f(x)递减; 当 x>时,f'(x)>0,f(x)递增.则 f+ln 2>0 为 f(x)的最小值,所以无零点. 6.函数 y=f'(x)的图像如图所示,则关于函数 y=f(x)的说法正确的是( )

A.函数 y=f(x)有 3 个极值点 B.函数 y=f(x)在区间(-∞,-4)上是增加的 C.函数 y=f(x)在区间(-2,+∞)上是增加的 D.当 x=1 时,函数 y=f(x)取得极大值?导学号 32470578? 答案:C 解析:由 f'(x)的图像知,f(x)的极值点有两个,A 错误;f(x)在(-∞,-5)上递增,B 错误;x=1 不是极 值点,D 错误. 7.设 f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f'(x),若 f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 015,则不等式 x x e f(x)>e +2 014(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A.(2 014,+∞) B.(-∞,0)∪(2 014,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞)?导学号 32470579? 答案:D x x 解析:设 g(x)=e f(x)-e (x∈R), x x x x 则 g'(x)=e f(x)+e f'(x)-e =e [f(x)+f'(x)-1]. 1

∵f(x)+f'(x)>1, ∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上递增. ∵exf(x)>ex+2 014, ∴g(x)>2 014. 0 0 又∵g(0)=e f(0)-e =2 015-1=2 014, ∴g(x)>g(0),∴x>0. 8.(2015 太原一模)已知函数 f(x)=ln x+tan α 的导函数为 f'(x),若方程 f'(x)=f(x)的根 x0 小于
1,则 α 的取值范围为( ) A. B. C. D.?导学号 32470580? 答案:A 解析:∵f(x)=ln x+tan α , ∴f'(x)=,令 f(x)=f'(x), 得 ln x+tan α =,即 tan α =-ln x. 设 g(x)=-ln x,显然 g(x)在(0,+∞)上递减,而当 x→0 时,g(x)→+∞, ∴要使满足 f'(x)=f(x)的根 x0<1,只需 tan α >g(1)=1, 又∵0<α <,∴α ∈. 9.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且 g(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)?导学号 32470581? 答案:D 解析:∵当 x<0 时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0, 即[f(x)g(x)]'>0, ∴当 x<0 时,f(x)g(x)为增函数,又 g(x)是偶函数且 g(3)=0,∴g(-3)=0, ∴f(-3)g(-3)=0.故当 x<-3 时,f(x)g(x)<0; 由于 f(x)g(x)是奇函数,所以当 x>0 时,f(x)g(x)为增函数,且 f(3)g(3)=0,故当 0<x<3 时,f(x)g(x)<0. 10.(2015 浙江温州十校月考)已知 f(x)是可导的函数,且 f'(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则( ) 2 014 A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e f(0) 2 014 B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e f(0) 2 014 C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e f(0) 2 014 D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e f(0)?导学号 32470582? 答案:D 解析:令 g(x)=,则 g'(x)=' =<0, 所以函数 g(x)=在 R 上是减函数,所以 g(1)<g(0),g(2 014)<g(0), 即, 2 014 故 f(1)<ef(0),f(2 014)<e f(0). 2 11.(2015 福州质量检测)若函数 f(x)=x +x+1 在区间上有极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 2 解析:若 f(x)=x +x+1 在区间上有极值点, 2 则 f'(x)=x -ax+1 在区间内有零点,且零点不是 f'(x)的图像顶点的横坐标, 2 由 x -ax+1=0,得 a=x+,因为 x∈,y=x+的值域是, 2 2 当 a=2 时,f'(x)=x -2x+1=(x-1) ,不合题意. 所以实数 a 的取值范围是,故选 C. 2 12.已知函数 f(x)=ln x-x+-1,g(x)=x -2bx+4,若对任意 x1∈(0,2),存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2), 则实数 b 的取值范围是( ) A. B.[1,+∞) 2

C. D.[2,+∞)?导学号 32470583? 答案:C 解析:f'(x)=, 令 f'(x)=0 得 x1=1,x2=3?(0,2). 当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数 f(x)递减; 当 x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数 f(x)递增, 所以 f(x)在(0,2)上的最小值为 f(1)=-. 由于“对任意 x1∈(0,2),存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值 不大于 f(x)在(0,2)上的最小值-”.(*) 2 2 又 g(x)=(x-b) +4-b ,x∈[1,2],所以 ①当 b<1 时,因为[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾; ②当 b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4-b2≥0,此时与(*)矛盾; ③当 b∈(2,+∞)时, 因为[g(x)]min=g(2)=8-4b, 解不等式 8-4b≤-,可得 b≥. 综上,b 的取值范围是. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 3 2 13.曲线 y=x +3x +6x-1 的切线中,斜率最小的切线方程为 . 答案:3x-y-2=0 2 2 解析:y'=3x +6x+6=3(x+1) +3≥3.当 x=-1 时,y'min=3;当 x=-1 时,y=-5. ∴切线方程为 y+5=3(x+1),即 3x-y-2=0. 3 2 14.已知函数 f(x)=ax +3x -x+1 在区间(-∞,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 . ?导学号 32470584? 答案:(-∞,-3] 2 解析:依题意,f'(x)=3ax +6x-1≤0 在 R 上恒成立, 则∴a≤-3. 15.已知 a≤+ln x 对于 x∈恒成立,则 a 的最大值为 .?导学号 32470585? 答案:0 解析:设 f(x)=+ln x,则 f'(x)=, 当 x∈时,f'(x)<0,故函数 f(x)在上递减; 当 x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]上递增, ∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 3 2 2 16.已知 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值为 10,则 a+b= . 答案:-7 2 解析:f'(x)=3x +2ax+b,由 x=1 时,函数取得极值 10, 得 联立①②得 2 当 a=4,b=-11 时,f'(x)=3x +8x-11=(3x+11)(x-1)在 x=1 两侧的符号相反,符合题意;当 a=2 3,b=3 时,f'(x)=3(x-1) 在 x=1 两侧的符号相同, 所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. ∴a+b=-7. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 3 2 17.(14 分)设函数 f(x)=6x +3(a+2)x +2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 2 解:(1)f'(x)=18x +6(a+2)x+2a. 由已知有 f'(x1)=f'(x2)=0, 从而 x1x2==1,所以 a=9. 2 2 (2)由于 Δ =36(a+2) -4×18×2a=36(a +4)>0, 所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 18.(14 分)(2015 安徽,文 21)已知函数 f(x)=(a>0,r>0). 3

(1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性; (2)若=400,求 f(x)在(0,+∞)内的极值. 解:(1)由题意知 x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞). f(x)=, f'(x)= =, 所以当 x<-r 或 x>r 时,f'(x)<0. 当-r<x<r 时,f'(x)>0. 因此,f(x)的递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的递增区间为(-r,r). (2)由(1)的解答可知 f'(r)=0,f(x)在(0,r)上递增,在(r,+∞)上递减.因此,x=r 是 f(x)的极大 值点.所以 f(x)在(0,+∞)内的极大值为 f(r)==100.?导学号 32470586? 19.(14 分)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax++b(a>0). (1)求 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=x,求 a,b 的值. 解:(1)f(x)的导数 f'(x)=a-, 当 x>时,f'(x)>0,f(x)在上递增; 当 0<x<时,f'(x)<0,f(x)在上递减. 所以当 x=时,f(x)取最小值为 2+b. (2)f'(x)=a-. 由题设知,f'(1)=a-, 解得 a=2 或 a=-(不合题意,舍去). 将 a=2 代入 f(1)=a++b=,解得 b=-1. 所以 a=2,b=-1. x 2 20.(14 分)已知函数 f(x)=e -x +a,x∈R 的图像在点 x=0 处的切线为 y=bx.(e≈2.718 28) (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈R 时,求证:f(x)≥-x +x; (3)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k 的取值范围. x 2 (1)解:∵f(x)=e -x +a, x ∴f'(x)=e -2x. 由已知 解得 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=ex-x2-1. 2 x x (2)证明:令 φ (x)=f(x)+x -x=e -x-1,φ '(x)=e -1. 由 φ '(x)=0,得 x=0. 当 x∈(-∞,0)时,φ '(x)<0,φ (x)递减; 当 x∈(0,+∞)时,φ '(x)>0,φ (x)递增. ∴φ (x)min=φ (0)=0, 2 从而 f(x)≥-x +x. (3)解:f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立?>k 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立, 令 g(x)=,x>0, 则 g'(0)=

= =.
由(2)可知当 x∈(0,+∞)时,e -x-1>0 恒成立, 由 g'(x)>0,得 x>1;由 g'(x)<0,得 0<x<1. 故 g(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1), 即 g(x)min=g(1)=e-2. ∴k<g(x)min=g(1)=e-2,即实数 k 的取值范围为(-∞,e-2).?导学号 32470587? x-m 21.(14 分)(2015 南京调研)已知函数 f(x)=e -x,其中 m 为常数. (1)若对任意 x∈R,有 f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. 4
x

解:(1)依题意,可知 f'(x)=e -1, 令 f'(x)=0,得 x=m. x-m 故当 x∈(-∞,m)时,e <1,f'(x)<0,f(x)递减; x-m 当 x∈(m,+∞)时,e >1,f'(x)>0,f(x)递增. 故当 x=m 时,f(m)为极小值也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即对任意 x∈R,f(x)≥0 恒成立时,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)当 m>1 时,f(m)=1-m<0. ∵f(0)=e-m>0,f(0)·f(m)<0,且 f(x)在(0,m)上递减. ∴f(x)在(0,m)上有一个零点. m m 又 f(2m)=e -2m,令 g(m)=e -2m, m 则 g'(m)=e -2, ∵当 m>1 时,g'(m)=em-2>0, ∴g(m)在(1,+∞)上递增. ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)·f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故 f(x)在[0,2m]上有两个零点

x-m

5


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