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福建省莆田二十五中2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试卷


2015-2016 学年福建省莆田二十五中高一(上)第二次月考数学 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} )

2.函数 f(x)=

r />的定义域为( B. (1,+∞)
x

) C.[1,2) D.[1,+∞) )

A.[1,2)∪(2,+∞)

3.若指数函数 y=(2a﹣3) 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2) B. (﹣∞,2] C. (2,+∞) D.[2,+∞) 4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )

A.16π B.16

C.

D.

5.f(x)=﹣ +log2x 的一个零点落在下列哪个区间( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)



6.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原 △ ABO 的面积是( )

A.

B.

C.

D.2

7.三个数 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 大小的顺序是( A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 8.幂函数 f(x)的图象过点 A. B.64 C. D.

0.3

7



,那么 f(8)的值为(



9.长方体 ABCD﹣A′B′C′D′的顶点均在球面上,且 AB=1,AC=2,AA′=3,则该球的表面 积为( ) A.7π B.14π C. D.

10.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,d 为直线,下列推理错误的是( A.A∈d,A∈β,B∈d,B∈β?d?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合



11.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为(



A.2

B.4

C.

D.16

12.已知偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]单调减小,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值 范围是( )

A. ( , ) B.[ , ) C. ( , ) D.[ , )

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向,抽样调查了 500 户居民,调 查的结果显示:订阅晨报的有 334 户,订阅晚报的有 297 户,其中两种都订的有 150 户,则 两种都不订的有 户.

14.如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= .

15.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1,BC 的中点,则 图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积为 .

16.如图,给出奇函数 f(x)的局部图象,则使 f(x)<0 的 x 的集合是



三、解答题(17、18、19、20 题每题 12 分,21、22 题每题 14 分) 17.已知 f(x)= 的定义域为集合 A.关于 的解集为 B. (1)求集合 A 和 B; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5] (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数. (3)求函数 f(x)的最小值 g(a) ,并求 g(a)的最大值.
2

19.铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行李质量不超过 50kg,按 0.25 元/kg 计算;超过 50kg 而不超过 100kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg 计算, 超过 100kg 时,其超过部分按 0.45 元/kg 计算.设行李质量为 xkg,托运费用为 y 元. (Ⅰ)写出函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)若行李质量为 56kg,托运费用为多少? 20.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆 心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ ABC 绕直 线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

21.设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心. (1)求∠D1B1C 的大小. (2)证明:PQ∥平面 AA1B1B. (3)求异面直线 PQ 和 B1C 所成的角.

22.在对数函数 y=log

x 的图象上(如图) ,有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 t、

t+2、t+4,其中 t≥1, (1)设△ ABC 的面积为 S,求 S=f(t) ; (2)判断函数 S=f(t)的单调性; (3)求 S=f(t)的最大值.

2015-2016 学年福建省莆田二十五中高一(上)第二次月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】找出全集 U 中不属于 A 的元素,求出 A 的补集,找出既属于 A 补集又属于 B 的 元素,确定出所求的集合. 【解答】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3}, ∴CUA={0,4},又 B={2,4}, 则(CUA)∪B={0,2,4}. 故选 C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关 键.

2.函数 f(x)=

的定义域为(



A.[1,2)∪(2,+∞) B. (1,+∞) C.[1,2) D.[1,+∞) 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】利用分式分母不为零,偶次方根非负,得到不等式组,求解即可. 【解答】解:由题意 解得 x∈[1,2)∪(2,+∝)

故选 A 【点评】本题是基础题,考查函数定义域的求法,注意分母不为零,偶次方根非负,是解题 的关键. 3.若指数函数 y=(2a﹣3) 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2) B. (﹣∞,2] C. (2,+∞) D.[2,+∞) 【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用底数大于 1 时指数函数为增函数,直接求 a 的取值范围. x 【解答】解:∵指数函数 y=(2a﹣3) 在 R 上是增函数 ∴2a﹣3>1. 解得 a>2, 故选:C.
x



【点评】本题考查指数函数的单调性.指数函数的单调性与底数的取值有关,当底数大于 1 时指数函数为增函数,当底数大于 0 小于 1 时指数函数为减函数. 4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )

A.16π B.16

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是圆锥,求出它的体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面直径为 4,高为 4 的圆锥, 它的体积为 V= ?π ?4= .

故选:C. 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题时应根据三视图得出几何体是什 么图形,从而解得结果,是基础题.

5.f(x)=﹣ +log2x 的一个零点落在下列哪个区间(



A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】根据函数的实根存在定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在区间的两个 端点上的函数值,得到结果. 【解答】解:根据函数的实根存在定理得到 f(1)?f(2)<0. 故选 B. 【点评】本题考查函数零点的判定定理,本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值, 本题是一个基础题. 6.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原 △ ABO 的面积是( )

A.

B.

C.

D.2

【考点】斜二测法画直观图. 【专题】计算题;作图题. 【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解,也可作出原图,直接求面积. 【解答】解:由题意,直观图的面积为 ,

因为直观图和原图面积之间的关系为

,故原△ ABO 的面积是

故选 C 【点评】 本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系, 考查作图能力 和运算能力. 7.三个数 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 大小的顺序是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 【考点】一元二次不等式的应用;不等式比较大小. 【专题】计算题. 0.3 7 【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 和 0 和 1 的大小, 0.3 7 从而可以判断 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 的大小. 【解答】解:由指数函数和对数函数的图象可知: 0.3 7 7 >1,0<0.3 <1,ln0.3<0, 7 0.3 所以 ln0.3<0.3 <7 故选 A. 【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质,属基础知 识、基本题型的考查.
0.3 7

8.幂函数 f(x)的图象过点 A. B.64 C. D.

,那么 f(8)的值为(



【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 【专题】计算题. 【分析】先设出幂函数解析式,再通过经过点(4, ) ,解得参数 a 的值,从而求得其解析 式,再代入 8 求值. α 【解答】解:设幂函数为:y=x ∵幂函数的图象经过点(4, ) ,

∴ =4

α

∴α=﹣ ∴ ∴f(8)== 故选 A. 【点评】本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题.幂函数要求较低,但在构造函数和 幂的运算中应用较多.不能忽视. 9.长方体 ABCD﹣A′B′C′D′的顶点均在球面上,且 AB=1,AC=2,AA′=3,则该球的表面 积为( ) A.7π B.14π C. D.

【考点】球内接多面体. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】由长方体的对角线公式,算出长方体对角线 AC′= ,从而得到长方体外接球的 直径等于 ,可得半径 R= ,结合球的表面积公式即可得到该球的表面积.

【解答】解:∵长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=1,AC=2,AA′=3, ∴长方体的对角线 AC′= = , ∵长方体 ABCD﹣A′B′C′D′的顶点都在同一球面上, ∴球的一条直径为 AC′= ,可得半径 R=
2

因此,该球的表面积为 S=4πR =4π×(

) =14π

2

故选:B. 【点评】本题给出长方体的长、宽、高,求长方体外接球的表面积,着重考查了长方体的对 角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识,属于基础题. 10.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,d 为直线,下列推理错误的是( ) A.A∈d,A∈β,B∈d,B∈β?d?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】应用题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】一条直线的两个点在一个平面上,则直线在平面上,故 A 正确,两个平面有两个 交点,则有一条交线,故 B 正确,直线在平面外可能是相交的关系,根据不共线的三点确 定一个平面,故 D 正确. 【解答】解:在 A 中,∵直线 d 上有两个点 A,B 都在 β 内,

∴d?β,故 A 正确; 在 B 中,∵不同点 M、N 分别是两个不同平面 α,β 的公共点, ∴α∩β=直线 MN,故 B 正确; 在 C 中 A∈α,A∈β,面与面相交是一条直线,不是一个点,故 C 错误, 在 D 中,A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合,故 D 正确. 故选:C. 【点评】本题考查平面的基本性质及其推论,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进 行等价转化. 11.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为( )

A.2 B.4 C. D.16 【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 底面△ ABC 为等腰三角形, SC=4, △ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ ABC 为等腰三角形, 在△ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 , 故 BC=4, 在 Rt△ SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 , 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键. 12.已知偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]单调减小,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值 范围是( )

A. ( , ) B.[ , ) C. ( , ) D.[ , ) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数的奇偶性和单调性的性质,结合所给的条件可得 f(﹣ )=f( ) ,﹣ < 2x﹣1< ,由此解得 x 的取值范围.

【解答】解:由题意可得偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]单调减小,在[0,+∞)上单调增大, 且 f(﹣ )=f( ) ,故由 f(2x﹣1)<f( )可得﹣ <2x﹣1< ,解得 <x< , 故选 A. 【点评】 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用, 求得﹣ <2x﹣1< , 是解题的关键, 属于中档题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向,抽样调查了 500 户居民,调 查的结果显示:订阅晨报的有 334 户,订阅晚报的有 297 户,其中两种都订的有 150 户,则 两种都不订的有 19 户. 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】根据条件绘制 Venn 图,由图可知,151﹣(297+150﹣500)=19,问题得以解决. 【解答】解:绘制 Venn 图,由图可知,151﹣(297+150﹣500)=19, 故答案为:19.

【点评】本题考查的知识点是 Venn 图表达集合的关系及运算,属于基础题. 14.如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= 1:24 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】立体几何. 【分析】 由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值, 由题意棱柱 的高是棱锥的高的 2 倍,然后直接由体积公式可得比值. 【解答】解:因为 D,E,分别是 AB,AC 的中点,所以 S△ ADE:S△ ABC=1:4, 又 F 是 AA1 的中点,所以 A1 到底面的距离 H 为 F 到底面距离 h 的 2 倍. 即三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的高是三棱锥 F﹣ADE 高的 2 倍.

所以 V1:V2=

=1:24.

故答案为 1:24. 【点评】 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式, 考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平 方,是基础的计算题. 15.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1,BC 的中点,则 图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积为 .

【考点】平行投影及平行投影作图法. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据正方体的性质,可以分别看出三个点在平面 ADD1A1 上的投影,有一个特殊 点 D,它的投影是它本身,另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的,连接三个投影点, 得到要求的图形,即可求出图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积. 【解答】解:由题意知 D 点在投影面上,它的投影就是它本身,N 在平面上的投影是 AD 棱的中点,M 在平面上的投影是 AA1 的中点, ∴图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积为 故答案为: . = .

【点评】本题考查平行投影及平行投影作图法,考查面面垂直的性质,考查正方体的特点, 是一个基础题,也是一个容易得分的题目. 16.如图,给出奇函数 f(x)的局部图象,则使 f(x)<0 的 x 的集合是 (﹣∞,﹣2) ∪(0,2) .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由题意,x>0 时 f(x)<0 可得 0<x<2;再由奇函数知 x<0 时,f(x)<0 可得 x<﹣2;从而得不等式的解集. 【解答】解:由题意可得,x>0 时 f(x)<0 可得 0<x<2; 再由奇函数知 x<0 时,f(x)<0 可得 x<﹣2; 故使 f(x)<0 的 x 的集合是(﹣∞,﹣2)∪(0,2) ; 故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(0,2) . 【点评】本题考查了函数的图象与函数的奇偶性的应用,属于基础题. 三、解答题(17、18、19、20 题每题 12 分,21、22 题每题 14 分) 17.已知 f(x)= 的定义域为集合 A.关于 的解集为 B. (1)求集合 A 和 B; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】指、对数不等式的解法;交集及其运算. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;集合;不等式. 【分析】 (1)求解函数的定义域化简 A,求解指数不等式可得 B; (2)由 A∩B=B,得 B?A,然后利用两集合端点值间的关系得答案. 【解答】解: (1)由﹣3﹣x≥0,得 x≤﹣3,∴A={x|x≤﹣3}, 由 ,得 ,即 2x<a+x,∴x<a.

∴B={x|x<a}; (2)∵A∩B=B,∴B?A, ∴a≤﹣3. 即 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3]. 【点评】本题考查指数不等式的解法,考查了交集及其运算,是基础题. 18.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5] (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数. (3)求函数 f(x)的最小值 g(a) ,并求 g(a)的最大值. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 2 【分析】 (1)当 a=﹣1 时,函数 f(x)=(x﹣1) +1,再利用二次函数的性质求得函数在[﹣ 5,5]上的最值.
2

(2)根据 y=f(x)的对称轴为 x=﹣a,且在区间[﹣5,5]上是单调函数,可得﹣a≤﹣5,或 ﹣a≥5,由此求得 a 的范围. (3)由于 y=f(x)=(x+a) +2﹣a 的对称轴为 x=﹣a,再根据对称轴和区间的关系分类 讨论,根据函数的单调性求得 g(a)的解析式,从而求得 g(a)的最大值. 2 2 2 【解答】解: (1)当 a=﹣1 时,函数 f(x)=x +2ax+2=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1, 再由 x∈[﹣5,5],可得当 x=1 时,函数取得最小值为 1,当 x=﹣5 时,函数取得最大值为 37. (2)∵y=f(x)=x +2ax+2=(x+a) +2﹣a 的对称轴为 x=﹣a, 且在区间[﹣5,5]上是单调函数,可得﹣a≤﹣5,或﹣a≥5. 解得 a≥5,或 a≤﹣5,故 a 的范围为[5,+∞)∪(﹣∞,﹣5]. 2 2 2 (3)由于 y=f(x)=x +2ax+2=(x+a) +2﹣a 的对称轴为 x=﹣a, 2 故当﹣5≤﹣a≤5 时,即﹣5≤a≤5 时,f(x)在区间[﹣5,5]上最小值 g(a)=2﹣a . 当﹣a<﹣5 时,即 a>5 时,由于 f(x)在区间[﹣5,5]上单调递增,g(a)=f(﹣5)=27 ﹣10a, 当﹣a>5 时,即 a<﹣5 时,由于 f(x)在区间[﹣5,5]上单调递减,g(a)=f(5)=27+10a.
2 2 2 2 2

综上,g(a)=



当 a<﹣5 时,g(a)<﹣23; 当﹣5≤a≤5 时,﹣23≤g(a)≤2;当 a>5 时,g(a)<﹣23. 综合可得,g(a)的最大值为 2,此时,a=0. 【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质应用,体现了分类讨 论的数学思想,属于中档题. 19.铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行李质量不超过 50kg,按 0.25 元/kg 计算;超过 50kg 而不超过 100kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg 计算, 超过 100kg 时,其超过部分按 0.45 元/kg 计算.设行李质量为 xkg,托运费用为 y 元. (Ⅰ)写出函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)若行李质量为 56kg,托运费用为多少? 【考点】分段函数的应用. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)对 x 讨论,若 0<x≤50,若 50<x≤100,若 x>100,求得 f(x)的解析式; (Ⅱ)对自变量的范围考虑,选择第二段,代入计算即可得到托运费. 【解答】解: (Ⅰ) (1)若 0<x≤50, 则 y=0.25x; (2)若 50<x≤100,则 y=12.5+0.35(x﹣50)=0.35x﹣5; (3) ,则 y=30+0.45(x﹣100)=0.45x﹣15.

综上可得,y=



(Ⅱ)因为 50kg<56kg≤100kg, 所以 y=12.5+6×0.35=14.6(元) . 则托运费为 14.6 元.

【点评】 本题考查分段函数及运用, 主要考查分段函数的解析式的求法和运用, 属于基础题. 20.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆 心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ ABC 绕直 线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据旋转体的轴截面图,利用平面几何知识求得球的半径与 AC 长,再利用面积公 式与体积公式计算即可. 【解答】解: (1)连接 OM,则 OM⊥AB

设 OM=r,OB= ∴S=4πr = π.
2

﹣r,在△ BMO 中,sin∠ABC=

= ?r=

(2)∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ∴V=V 圆锥﹣V 球= π×AC ×BC﹣ πr = π×
2 3

,∴AC=1. =
2

﹣ π×

π.
3

【点评】本题考查旋转体的表面积与体积的计算.S 球=4πr ;V 圆锥= πr .

21.设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心. (1)求∠D1B1C 的大小. (2)证明:PQ∥平面 AA1B1B. (3)求异面直线 PQ 和 B1C 所成的角.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】数形结合;转化法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)连接 CD1,由等边三角形得出∠D1B1C 的大小; (2)连接 AD1,AB1,证明 PQ∥AB1 即可; (3)连接 AC,找出异面直线 PQ 和 B1C 所成的角,求出即可.

【解答】解: (1)如图所示; 连接 CD1,则△ D1B1C 是等边三角形, ∴∠D1B1C=60°; (2)证明:连接 AD1,AB1,则 P、Q 分别 AD1、B1D1 的中点, ∴PQ∥AB1, 又 PQ?平面 AA1B1B,AB1?平面 AA1B1B, ∴PQ∥平面 AA1B1B; (3)连接 AC,∵PQ∥AB1, ∠AB1C 为异面直线 PQ 和 B1C 所成的角或补角, ∵△AB1C 为等边三角形,∴∠AB1C=60°, ∴异面直线 PQ 和 B1C 所成的角为 60°. 【点评】 本题考查了空间中的线线平行与线面平行问题, 也考查了空间角的定义与计算问题, 是综合性题目. 22.在对数函数 y=log x 的图象上(如图) ,有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 t、

t+2、t+4,其中 t≥1, (1)设△ ABC 的面积为 S,求 S=f(t) ; (2)判断函数 S=f(t)的单调性; (3)求 S=f(t)的最大值.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题. 【分析】根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(t,log log (t+4) ) ,

t) , (t+2,log

(t+2) ) , (t+4,

对于(1)由图形得 SABC=S 梯形 ABFE+S 梯形 BCNF﹣S 梯形 ACNE,根据面积公式代入相关数据即 可得到三角形面积的表达式 (2)根据(1)中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可 (3)由(2)所求的单调性求出三角形面积的最大值. 【解答】解: (1)A、B、C 三点坐标分别为(t,log t) , (t+2,log (t+2) ) , (t+4,log (t+4) ) ,由图形,当妨令三点 A,B,C 在 x 轴上的垂足为 E,F,N,则△ ABC 的面积为 SABC=S 梯形 ABFE+S 梯形 BCNF﹣S 梯形 ACNE =﹣[log t+log (t+2)]﹣[log (t+2)+log (t+4) )]+2[log t+log (t+4) )]

=[log

t+log

(t+4)﹣2log

(t+2)]=

=

即△ ABC 的面积为 S=f(t)=

(t≥1)

(2)f(t)=

(t≥1)是复合函数,其外层是一个递增的函数,t≥1 时,

内层是一个递减的函数,故复合函数是一个减函数, (3)由(2)的结论知,函数在 t=1 时取到最大值,故三角形面积的最大值是 S=f(1)= =

【点评】本题考查对数函数的图象和性质的综合运算,解题时要结合图象进行分析求解,注 意计算能力的培养.


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