tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2009年数学联赛模拟试题


数 学 联 赛 模 拟 试 题
一 试
一、填空题 1.已知 x ?

1 2? 5

,则 x 3 ? 3x 2 ? 5x ? 1 ?



2. 设实系数一元二次方程 x2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间

/>
(1, 2) 内,则

b?4 的取值范围是 a ?1

. .

3 、四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则 CD ?
4、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题: (甲). 7n ? 13 必为合数; (乙). 8 17 n ? 3n 必为两个平方数的和.你的判断是
2

?

?



A.甲对乙错;

B. 甲错乙对;

C.甲乙都对;
2

D.甲乙都不一定对.

* 5、数列 ? an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N , an , an ?1 是方程 x ? 3nx ? bn ? 0 的两根,



?b
k ?1

20

k

?



6.已知 ? , ? ? R ,直线

x y x y ? ?1与 ? ? 1 的交点在直线 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?
. .种.

y ? ?x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

7.把 2008 表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有

,, 15 a a 8.设集合 S ? ?1 2 ?, ? , A ? ?a1, 2, 3 ? 是 S 的子集,且 ? a1,a2,a3 ? 满足: 1 ? a1 < a2 < a3 ? 15 ,

a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的子集的个数为
二、解答题 9.设实数 a, b ? ?? , ? ? ,求证:



b a ? ? ? ? ? .其中等号当且仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立, a b ? ?

? , ? 为正实数.
10. A、B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9

(Ⅰ)求证:

1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.
1

11.在数列 ?an ? 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an ? 2 ? an ?1 ? an . (1)若 a15 ? 2 , a16 ? ?1 ,求 a2008 ; (2)证明:从 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.

二试
一、 (本大题 50 分) ( , AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, AB ? AC ) I1 , I 2 分别是 ?ABD, ?ACD 的内心,?AI1I 2 的外接圆 ? O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线 EF , BC 交于点 M ;证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁 心. 二、 (本大题 50 分) 已知 1 ? ai ?

7 , i ? 1,2,?, n ,其中正整数 n ? 2 .

(1)求证:对于一切的正整数 i ,都有
n

1 1 2 ? ? ; 2 3 a ? 1 7 ? ai
2 i

(2)求 S ?

?
i ?1

1 (a ? 1)( 7 ? a i2?1 )
2 i

的最小值,其中约定 a n ?1 ? a1 .

三、 (本大题 50 分) 设 ?1 , ? 2 ,? , ? 2008 为 2008 个整数,且 1 ? ? i ? 9 ( i ? 1, 2,?, 2008 ) 。如果存在某个

k ?{1, 2,?, 2008} ,使得 2008 位数 ? k? k ?1 ?? 2008?1 ?? k ?1 被 101 整除,试证明:
对一切 i ?{1, 2,?, 2008} ,2008 位数 ? i? i ?1 ?? 2008?1 ?? i ?1 均能被 101 整除. 四、 (本大题 50 分) 将 3k(k 为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子,而最后取完,则 称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明.

数 学 联 赛 模 拟 试 题 及 答 案 一 试
一、填空题 1.已知 x ?

1 2? 5

,则 x ? 3x ? 5x ? 1 ?
3 2



解:? x ? ?2 ? 5 得 ( x ? 2) ? 5 ? x ? 4 x ? 1 ? 0 ,
2 2

而 x ? 3x ? 5 x ? 1 ? ( x ? 1) ? ( x ? 4 x ? 1) ? 0 .
3 2 2

2

2. 设实系数一元二次方程 x2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间

(1, 2) 内,则

b?4 的取值范围是 a ?1



解 : 根 据 题 意 , 设 两 个 相 异 的 实 根 为 x1 , x2 , 且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 则 1 ? x1 ? x2 ? ?a ? 3 ,

0 ? x1 x2 ? 2b ? 2 ? 2 .于是有 ?3 ? a ? ?1,1 ? b ? 2 ,也即有 ?
故有

1 1 1 ? ?? , 2 a ?1 4

? 3 ? b ? 4 ? ?2 .

1 b?4 3 ?1 3? ? ? ,即取值范围为 ? , ? . 2 a ?1 2 ?2 2?
.

3 、四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则 CD ?

解: 答案为 13.四面体中, CD 外, 除 其余的棱皆与 AB 相邻接, 若长 13 的棱与 AB 相邻, 不妨设 BC ? 13 , 据构成三角形条件,可知 AC ? ?7,18, 27? , ? AC ? 36, ? BD ? 7 , ? ? AD, CD? ? ?18, 27? ,于是

?ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾.
因此只有 CD ? 13 .另一方面,使 AB ? 41, CD ? 13 的四面体 ABCD 可作出,例如 取 BC ? 7, AC ? 36, BD ? 18, AD ? 27 . 4、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题: (甲). 7n ? 13 必为合数; (乙). 8 17 n ? 3n 必为两个平方数的和.你的判断是
2

?

?

A.甲对乙错;

B. 甲错乙对;
2 2

C.甲乙都对;

D.甲乙都不一定对.

解:答案为 C .设 3n ? 1 ? a , 5n ? 1 ? b , a, b 为正整数;则

7n ? 13 ? 9 ? 3n ? 1? ? 4 ? 5n ? 1? ? ? 3a ? ? ? 2b ? ? ? 3a ? 2b ?? 3a ? 2b ? …○,由此知, 3a ? 2b 为正整数, 1
2 2

且 3a ? 2b ? 1,因为若 3a ? 2b ? 1 ,则 27 n ? 9 ? ? 3a ? ? ? 2b ? 1? ? 4b ? 4b ? 1 ,
2 2 2

即 27n ? 4 n ? n ? 2 ,则 4 n ,记 n ? 4k ,得 5n ? 1 ? 20k ? 1 不为平方数,矛盾!所以 3a ? 2b ? 2 ,
2

?

?

故由○得, 7n ? 13 为合数;又因为 8 17 n ? 3n ? ?? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? ? 4 ? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? 1 ? ?? ?
2

?

?

? ?a2 ? b2 ? ?? 2a ? ? b2 ? ? ? 2a 2 ? b2 ? ? ? ab ? ,故选 C .(例如 65 是上述 n 之一). ? ?? ?
2 2 2
* 5、 数列 ? an ? 满足:a1 ? 1 , 且对每个 n ? N ,an , an ?1 是方程 x ? 3nx ? bn ? 0 的两根, 则
2

?b
k ?1

20

k

?

.

* 解:对每个 n ? N , an ? an ?1 ? ?3n ……○, an an?1 ? bn ……○,将○写作 1 2 1

an ?1 ?

3 ? n ? 1? 2

?

3 3n 3 ? 3n 3 ? ? ? ? ? ? an ? ? ? ,因此 ?an ? ? ? 是一个公比为 ?1 的等比数列, 4 2 4? 2 4? ? ?

3

故 an ?

3 ? 2n ? 1? 3 ? 2n ? 1? 3n 3 n ?1 7 n 7 n ?1 7 ,即 an ? ? ? ? ?1? ? , an ?1 ? ? ? ? ?1? ? , ? ? ? ?1? 4 4 4 4 2 4 4
20 9 2 29 n 21 n ? ? ? ?1? ? ; ? bk ? 6385 . 4 8 8 k ?1

于是 bn ? an an ?1 ?

6.已知 ? , ? ? R ,直线

x y x y ? ?1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?
__ 。

的交点在直线 y ? ?x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程
2

x0 ? x0 ? ?1 t ? sin ? t ? cos ?

的两个根,即为方程 t ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0 的两个根。因此

sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。
7.把 2008 表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有
2 2

种.

解:设 x ? y ? 2008 ,即 ( x ? y)( x ? y) ? 2008 .2008 有 8 个正因数,分别为 1,2,4,8,251, 502,1004,2008.而且 ( x ? y) 与 ( x ? y) 只能同为偶数,因此对应的方程组为

?2 ?4 ?502 ?1004 2 4 502 1004 ?x ? y ? y ,故 ? x, ? 共有 8 组不同的值: ? ?2 1004 502 4 2 ? x ? y ? ?1004 ?502 ?4

(503,501), (?503, ?501), (?503,501), (503, ?501)
共 8 种,

(253, 249), (?253, ?249), (?253, 249), (253, ?249)

,, 15 a a 8.设集合 S ? ?1 2 ?, ? , A ? ?a1, 2, 3 ? 是 S 的子集,且 ? a1,a2,a3 ? 满足: 1 ? a1 < a2 < a3 ? 15 ,

a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的子集的个数为
2



解: 当 2 ? a2 ? 9 时, ? a1 , a2 ? 有 C9 种选择方法, a3 有 6 种选择方法,所以 ? a1 , a2 , a3 ? 共有

6 ? C92 ? 216种选择方法;当 10 ? a2 ? 14 时,一旦 a2 取定, a1 有 a2 ? 1 种选择方法, a3 有 15 ? a2 种选择
方法, 所以选择 ? a1 , a2 , a3 ? 的方法有

a2 ?10

? ?a

14

2

? 1??15 ? a2 ? ? 9 ? 5 ? 10 ? 4 ? 11? 3 ? 12 ? 2 ? 13 ?1 ? 155 种.

综上,满足条件的子集共有 371 个. 二、解答题 9. (本小题满分 14 分) 设实数 a, b ? ?? , ? ? ,求证:

b a ? ? ? ? ? .其中等号当且仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立, a b ? ?
4

? , ? 为正实数.
证:由对称性,不妨设 a ? b ,令

? a ? a ? t ,则因 ? ? a ? b ? ? ,可得 ? t ? ? . ? b ? b
? ,1? 时, f ?(t ) ? 0 , ? ?

设 f (t ) ? t ?

?? ?? 1 ?? 1 ? ? t ? ? ,则对 t 求导,得 f ?(t ) ? 1 ? 2 .易知,当 t ? ? ?? ? ?? t ? t ??

? ? ? ?? f (t ) 单调递减;当 t ? ?1, ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增.故 f (t ) 在 t ? 或 t ? 处有最大值 ? ? ? ??
且 f ? ? ? ? 及 f ? ? ? ? 两者相等.故 f (t ) 的最大值为 ? ,即 f (t ) ? t ? ? ? . ?? ? ? ? ? ? t ? ? ?? ? ? ? ? ? 由

?? ?

?

?

?? ?

?

?

?

?

1

?

?

b a ? ? a ? t ,得 ? ? ? ,其中等号仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立. a b ? ? b x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9

10. A、B 为双曲线

(Ⅰ)求证:

1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证: (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) ,则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r ? ? 4 ? 9 ?
2

? 1 cos2 ? sin 2 ? ? ? 1.所以 2 ? ? .由 OA ? OB ? 0 得 ? 4 9 r ?

OA ? OB ,所以 cos2 ? ? ? sin 2 ? , cos2 ? ? sin 2 ? ? .同理,
所以

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 ? 2 ? ? ? . 2 4 9 36 r r'

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 ? 1 1 ? 36 2 ?1 1? ? 5 ? ? 即 OP ? ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 .于是, OP ? .即 P 在以 O 为圆心、 2 2 5 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

6 5 为半径的定圆上. 5
5

11.在数列 ?an ? 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an ? 2 ? an ?1 ? an . (1)若 a15 ? 2 , a16 ? ?1 ,求 a2008 ; (2)证明:从 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列. 解: (1)∵ a15 ? 2 , a16 ? ?1 , a17 ? 3 , a18 ? 4 , a19 ? 1 , a20 ? 3 , a21 ? 2 , a22 ? 1 , a23 ? 1 ,

a24 ? 0 , 25 ? 1 , 26 ? 1 , 27 ? 0 , a ……∴自第 22 项起, 每三个相邻的项周期地取值 1, 0, a2008 =1. 1, 故 a a
(2)首先证明数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.假设 ?an ? 中没有零项,由于 an ? 2 ? an ?1 ? an ,所 以. n ? 3 时,都有 an ? 1 .

1 当 an ?1 ? an 时 , an ? 2 ? an ?1 ? an ? an?1 ? ( n ? 3 ) 当 an ?1 ? an 时 , an ? 2 ? an ? an ?1 ? an ? 1 ;
(n ? 3) ,即 an ? 2 的值要么比 an ?1 至少小 1,要么比 an 至少小 1.令 bn ? ?

? a2 n ?1 ?a2 n +2

(a2n ? 1 ? a 2n ? 2 ) (a 2n? 1 ? a 2n? 2 )



n ? 1, 2,... ,则 0 ? bn?1 ? bn ? 1 .由于 b1 是确定的正整数,这样下去,必然存在某项 bk ? 0 ,这与 bk ? 0
矛盾,从而 ?an ? 中必有零项. 若第一次出现的零项为 an ,记 an ?1 ? M ( M ? 0) ,则自第 n 项开始,每三个相邻的项周期地取值

? an ?3k ? 0 ? 0, M , M ,即 ? an ?3k ?1 ? M , k ? 0,1, 2... ?a ? n ?3k ? 2 ? M
所以数列 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.


一、 (本大题 50 分)



( , AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, AB ? AC ) I1 , I 2 分别是 ?ABD, ?ACD 的内心,?AI1I 2 外接圆 ? O 分别交 AB, AC 于 E , F , 直线 EF , BC 交于点 M ; 证明:I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心. 证:如图,连 DI1 , DI 2 , BI1 , AI 2 , I1F ,由 ?EAF ? 90 ,
0

A
F O E I1 M I2

则圆心 O 在 EF 上,设直径 EF 交 AD 于 O? ,并简记 ?ABC 的 B 1 三内角为 A, B, C ,由 ?I1 BD ? ? ?DAC 2 2

? ?I 2 AD, ?I1DB ? 450 ? ?I 2 DA , 所以 ?DBI1 ∽ ?DAI 2 , 得

B

D

C

6

DI1 DB B 0 ,且 ?I1DI 2 ? 90 ? ?BDA ,故 ?I1 DI 2 ∽ ?BDA ,而 ?DI1 I 2 ? B, ?AI1 D ? 900 ? , ? DI 2 DA 2
注意 ?AI1 D ? ?AI1F ? ?FI1I 2 ? ?DI1I 2 , ?AI1 F ? ?AEF , ?FI1 I 2 ? ?FAI 2 ?
0

B , 2

所以 ?AEF ? 90 ? B ? C ? ?DAB ,因此 O?E ? O?A ,同理得 O?F ? O?A ,故 O? 与 O 重合,即圆心 O 在 AD 上, ?EOD ? ?OEA ? ?OAE ? 2?OAE ? 2C ,?EOI1 ? 2?EAI1 ? ?BAD ? C , 而 所以 OI1 平 分 ?DOM ;同理得 OI 2 平分 ?DOF ,即 I1 是 ?ODM 的内心, I 2 是 ?ODM 的旁心. 证二: 如图, 因为 ?BAC ? 90? , ?AI1 I 2 的外接圆圆心 O 在 EF 上, OI1 , OI 2, I1 D, I 2 D , 故 连 则由 I1 , I 2 为内心知, ?I1 AI 2 ? 45? ,∴ ?I1OI 2 ? 2?I1 AI 2 ? 90? ? ?I1 DI 2 于是 O, I1 , D, I 2 四点共圆,所以 ?I 2 I1O ? ?I1 I 2O ? 45? , 又因 ?I 2 DO ? ?I 2 I1O ? 45? ? ?I 2 DA ,因此点 O 在 AD 上,
M E I1 H

A
F O I2

B

D

C

即 O 为 EF 与 AD 的交点.设 AD 与 ? O 交于另一点 H ,而由 ?EAI1 ? ?I1 AH 2 , ?HAI 2 ? ?FAI 2 ,

? ? 可知, I1 , I 2 分别为 EH , HF 的中点,所以 ?EOI1 ? ?DOI1 , ?DOI 2 ? ?FOI 2 .因此,点 I1 , I 2 分别为

?OMD 的内心与旁心.
二、 (本大题 50 分) 已知 1 ? ai ?

7 , i ? 1,2,?, n ,其中正整数 n ? 2 .

(1)求证:对于一切的正整数 i ,都有
n

1 1 2 ? ? ; 2 3 a ? 1 7 ? ai
2 i

(2)求 S ?

?
i ?1

1 (a ? 1)( 7 ? a i2?1 )
2 i

的最小值,其中约定 a n ?1 ? a1 .

证: (1)对于一切的正整数 i ,

6 1 1 6 ? ? ? 2 2 2 a ? 1 7 ? ai (ai ? 1)(7 ? ai ) ? a 2 ? 1 ? 7 ? a 2 i ? i ? 2 ?
2 i

? ? ? ?

2

?

2 . 3

(2)由 Cauchy不等式知 S ?

?
i ?1

n

1 (a i2 ? 1)( 7 ? a i2?1 )

?

n2

?
i ?1

n

(ai2 ? 1)(7 ? ai2?1 )

?

n2 ? n (ai2 ? 1) ? (7 ? ai2?1 ) ? 2 i ?1

n2 n ? .当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 时,等于成立,所以 S 有最 2 2 n 3 a ?a ( ? i 2 i ?1 ? 3) i ?1
7

小值

n . 3

三、 (本大题 50 分) 设 ?1 , ? 2 ,? , ? 2008 为 2008 个整数, 1 ? ? i ? 9 i ? 1, 2,?, 2008 )如果存在某个 k ?{1, 2,?, 2008} 且 ( 。 使得 2008 位数 ? k? k ?1 ?? 2008?1 ?? k ?1 被 101 整除,试证明:对一切 i ?{1, 2,?, 2008} ,2008 位数

? i? i ?1 ?? 2008?1 ?? i ?1 均能被 101 整除。
解:根据已知条件,不妨设 k=1,即 2008 位数 ?1? 2 ?? 2008 被 101 整除,只要能证明 2008 位 数 ? 2? 3 ?? 2008?1 能被 101 整除。 事实上, A ? ?1? 2 ?? 2008 ? 10
2007

?1 ? 102006 ? 2 ? ? ? 10? 2007 ? ? 2008 ,

B ? ? 2? 3 ?? 2008?1 ? 102007 ? 2 ? 102006 ? 3 ? ? ? 10? 2008 ? ?1
从而有 10 A ? B ? (10
2008

? 1)?1 ? [(104 )502 ? 1]?1 ? [(9999 ? 1)502 ? 1]?1 ? [9999 N ? 1 ? 1]?1 ,

即有 B ? 10 A ? 9999 N?1 。因为 101 A ,101 9999 ,所以 101 B 。 利用上述方法依次类推可以得到 对一切 i ?{1, 2,?, 2008} ,2008 位数 ? i? i ?1 ?? 2008?1 ?? i ?1 均能被 101 整除。 四、 (本大题 50 分) 将 3k(k 为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子,而最后取完,则 称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。 解:分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过 k。 下面设五堆石子的个数分别为 a,b,c,d,e(其中 a ? b ? c ? d ? e ) 。 “必要性”的证明: 若分法是和谐的,则把 a 所对应的石子取完至少要取 a 次,这 a 次每次都要取走 3 个石子。如果 a ? k ,则 3a ? 3k ,即把 a 所对应的一堆取完时,需取走的石子多于五堆石子的总数。矛 盾。因此最多一堆石子的个数不能超过 k。 “充分性”的证明: (数学归纳法) (1) 当 k ? 1 时,满足“ a ? k ” 的分法只能是 1,1,1,0,0。显然这样的分法是和谐的。 (2) 假设 k ? n 时,满足“ a ? k ” 的分法是和谐的。当 k ? n ? 1 时,若 a ? n ? 1 ,且分法 a,b,c,d,e 是 不和谐的,则分法 a-1,b-1,c-1, d, e 也是不和谐的。由(2)及必要性的证明,可知 ∵ ∴ max{a ? 1, b ? 1, c ? 1, d , e} ? n 。 a ? b ? c ? d ? e , max{a ? 1, b ? 1, c ? 1, d , e} ? max{a ?1, d} ? n 。 若 a ? 1 ? d ,则有 a ? 1 ? n 。这与 a ? n ? 1 矛盾。 若 a ? 1 ? d ,则有 n ? d ? c ? b ? a ? n ? 1 ,从而有 a ? b ? c ? d ? n ? 1 ,于是有

3(n ? 1) ? a ? b ? c ? d ? e ? 4(n ? 1) ? e ,这是不可能的。矛盾。因此当 a ? n ? 1 时,分法 a,b,c,d,e 是和
谐的。

8


推荐相关:

方廷刚2009年全国高中数学联赛模拟试题解答

方廷刚2009年全国高中数学联赛模拟试题解答方廷刚2009年全国高中数学联赛模拟试题解答隐藏>> 2009 年全国高中数学联赛模拟试题方廷刚 (四川省成都七中 610041) 一,填空...


2009年海南省初中数学竞赛选拔模拟试卷

竞赛类竞赛类隐藏>> 2009 年初中数学竞赛选拔模拟试卷(本卷满分:150 分题一号 考试编号 得分二 19 20 21 22 测试时间:120 分钟) 总分 积分人 (150 分) 24...


2009年广东省高州市初三学科竞赛数学科模拟试卷(四)

2009年广东省高州市初三学科竞赛数学模拟试卷(四)_学科竞赛_初中教育_教育专区。2009 年广东省高州市初三学科竞赛数学模拟试卷(四) ??? 密 ??? 封 ??? ...


2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)

2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。汇编...2015国考行测模拟试题及历年真题 2015国考申论押密试卷及答案 2015国考面试通关...


09年全国初中数学联赛试题及答案

09年全国初中数学联赛试题及答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。09 年全国初中数学...2015国考行测模拟试题及历年真题 2015国考申论押密试卷及答案 2015国考面试通关...


2009全国大学生数学建模竞赛A题

2009全国大学生数学建模竞赛A题_理学_高等教育_教育专区。本文利用博弈论来解决问题...器试验台电惯量模拟应用[J],虚拟仪 器技术,第31卷第10期:87-89页,2008年...


2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答

2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)》收录了当年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命...


2009-2013年全国初中数学竞赛(海南)试题及答案

2009 年全国初中数学竞赛(海南赛区) 初赛试卷 (本试卷共 4 页,满分 120 分,考试时间:3 月 22 日 8:30——10:30)一 题号 (1—10) 得分 一、选择题(...


2009年全国初中数学联合竞赛试题,含详细解析

2009年全国初中数学联合竞赛试题,含详细解析_学科竞赛_初中教育_教育专区。2009年全国初中数学联合竞赛试题最新版,附有详细答案解析。...


2009-2013年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)

2009-2013年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)_学科竞赛_小学教育_教育专区。2009-2013年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com