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三次函数的单调性和极值的研究(3+8=120份)


三次函数的单调性和极值的研究 定义:形如 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的函数称为三次函数. 三次函数时常会出现在高考导数题中,且这类题主要考察三次函数的单调性和极值问题.为了 便于大家解决这类题,笔者这里对三次函数作个比较详细的总结概括. 一、三次函数的单调性和极值
2 ( 2 ) a ? 0 , 由 f ?( x) ? 3a

x 的 图 像 可 知 , 当 x ? (??, x1 ) ( x2 , ??) , f ?( x) ? 0 ; 当 ? 2 bx ? c

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , f ?( x ) 是一个二次函数,对于二
次函数我们比较熟悉,容易着手,且要想了解 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的单调性和极值,我们
3 2

x ? ( x1 , x2 ) , f ?( x) ? 0 .

x
只需要考虑导函数 f ?( x ) 的正负性.
f ?( x )

(??, x1 )
?

x1
0 极小值

( x1 , x2 )

x2
0 极大值

( x2 , ??)
?

下面我们将来考察导函数 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的正负性,易知 ? ? 4b ? 12ac .
2
2

?

讨论: 1、当 ? ? 0 时, f ?( x) ? 0 无实根,? f ( x) 无极值. (1) a ? 0 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图像可知, f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调增. (2) a ? 0 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图像可知, f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调减. 2、 当 ? ? 0 时, f ?( x) ? 0 有两个相等的实根, 但是此根不是 f ( x) 的极值点 (下面的讨论会说明) ,
? f ( x) 无极值.

f ( x)

此时 f ( x) 的大致图像如下图所示

(1) a ? 0 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图像可知, f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调增. (2) a ? 0 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的图像可知, f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调减. 3、当 ? ? 0 时, f ?( x) ? 0 有两个不等的实根 x1 和 x2 ,两根均为 f ( x) 的极值点,且其中一个是极 大值点,一个是极小值点.不妨设 x1 ? x2 .
2 ( 1 ) a ? 0 , 由 f ?( x) ? 3ax 的 图 像 可 知 , 当 x ? (??, x1 ) ( x2 , ??) , f ?( x) ? 0 ; 当 ? 2 bx ? c

综上所述:

三次函数f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0)的单调性和极值 易求的:f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c, ? ? 4b 2 ? 12ac. ? ?当a ? 0时, f ?( x) ? 0恒成立, f ( x)在R上单调增. ?当? ? 0时, f ( x)无极值: ? ?当a ? 0时, f ?( x) ? 0恒成立, f ( x)在R上单调减. ? ? ? (??, x1 )和( x2 , ??); 单调减区间: ( x1 , x2 ). ?单调增区间: ? ?当a ? 0时: ? ? ? ?极大值点:x1;极小值点:x2 . ? 当 ? ? 0 时 , f ( x ) 有极值: ? ? ( x1 , x2 ); 单调减区间: (??, x1 )和( x2 , ??). ?单调增区间: ? ? 当a ? 0时: ? ? ? ?极大值点:x2;极小值点:x1. ? ? 注:其中x1 , x2为方程f ?( x) ? 0的两根,且x1 ? x2 .
二、例题讲解 例 1、 (2013 广东文)设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .
1

x ? ( x1 , x2 ) , f ?( x) ? 0 .

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
?

x2
0 极小值

( x2 , ??)

?

?

?k ? R ? .

此时 f ( x) 的大致图像如下图所示:

解析: f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 1 (1)当 k ? 1 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0 ,
? f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增.

? 2 ? x1 ? 3 或 2 ? x2 ? 3 ,?2 ? a ? a2 ?1 ? 3 或 2 ? a ? a2 ?1 ? 3 ,
解得: 练习
k 1? ,且过 ? 0, 3

5 5 ?a? . 4 3

(2)当 k ? 0 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 1 ,其开口向上,对称轴 x ?
2 (i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3 k ? 3 ? 0 ,即 ? 3 ? k ? 0 时,

1、 (2010·重庆)已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a, b ? R ) , gx () f ?x () f x () ? ? 数. (1)求 f ( x) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值.

为奇函

?

??

?

f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ( x) 取得最小值 m ? f (k ) ? k ,
3 3 3 当 x ? ? k 时, f ( x) 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
2 (ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3 k ? 3 ? 0 ,即 k ? ? 3 时,令 f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 1 ? 0 ,

?

??

?

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 ,其中 x1 为极大值点, x2 为极小值点, , x2 ? 3 3

且易知: k ? x1 ? x2 ? 0 ? ?k ,?m ? min ? f (k ), f ( x2 )?, M ? max ? f (?k ), f ( x1 )? ,
3 2 2 f ? x2 ? ? f ? k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? k ? ? x2 ? k ? ? x2 ? 1? ? 0 ,

? f ( x) 的最小值 m ? f (k ) ? k ,
f ? x1 ? ? f ? ?k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x1 ? k ? [? x1 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 ,
2

2、(2013 大纲版.文)(12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)求当 a ? ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 x ?[2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? f ( x) 的最大值 M ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k ;

综上所述,当 k ? 0 时, f ( x) 的最小值 m ? f (k ) ? k ,最大值 M ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k . 例 2、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 ,设 f ( x) 在区间 (2,3) 中至少有一个极值点,求 a 的取值 范围. 分析: f ( x) 是三次函数,要想有极值必须导函数的 ? ? 0 . 解析:

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 ,? f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 , ? ? 36a2 ? 36 ? 36(a2 ? 1) ,

当 ? ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调增,? f ( x) 无极值. 当 ? ? 0 时,即 a ? ?1 或 a ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 , x1 ? a ? a 2 ? 1 , x2 ? a ? a 2 ? 1 , 则 x1 和 x2 都是极值点,由
f ( x) 在区间 (2,3) 中至少有一个极值点,

2


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