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2016高考数学理科二轮复习习题:专题1第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


专题一
第二讲

集合、常用逻辑用语、函数与导数
函数、基本初等函数的图象与性质

1.函数. (1)函数的概念. 函数实质上是从非空数集 A 到非空数集 B 的一个特殊映射,记 作 y=f(x),x∈A,其中 x 的取值范围 A 叫做这个函数的定义域,f(x) 的集合 C 叫函数的值域,B 与 C 的关系是 C?B,我

们将 f,A,C 叫 做函数的三要素,但要注意,函数定义中 A,B 是两个非空数集,而 映射中两个集合 A,B 是任意的非空集合. (2)函数的表示方法. 函数表示方法有图象法、列表法、解析法. 2.映射. 映射 A→B 中两集合的元素的关系是一对一或多对一, 但不可一 对多,且集合 B 中元素可以没有对应元素,但 A 中元素在 B 中必须 有唯一确定的对应元素.

1.函数的单调性与最值. (1)单调性.
1

对于定义域内某一区间 D 内任意的 x1,x2 且 x1<x2(或Δ x=x1 -x2<0): ①若 f(x1)<f(x2)[或Δ y=f(x1)-f(x2)<0]恒成立,则 f(x)在 D 上 单调递增; ②若 f(x1)>f(x2)[或Δ y=f(x1)-f(x2)>0]恒成立,则 f(x)在 D 上 单调递减. (2)最值. 设函数 y=f(x)的定义域为 I: ①如果存在实数 M 满足:对任意的 x∈I,都有 f(x)≤M 且存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大值; ②如果存在实数 M 满足:对任意 x∈I,都有 f(x)≥M 且存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最小值. 2.函数的奇偶性. (1)定义. 对于定义域内的任意 x 有: ①f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数; ②f(-x)=f(x)?f(x)为偶函数. (2)性质. ①函数 y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于 y 轴对称. 函数 y= f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称. ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相 同,且在 x=0 处有定义时必有 f(0)=0,即 f(x)的图象过原点. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相 反. 3.周期性.

2

(1)定义. 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域 内的任何值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 称 T 为这个函数的周期. (2)性质. 如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则: ①kT(k≠0,k∈Z)也是 y=f(x)的周期; ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出区间[m+kT,n +kT](k∈Z 且 k≠0)上的图象.

1.基本初等函数的图象. 基本初等函数包括:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函 数、对数函数、三角函数.对于这些函数的图象应非常清楚. 2.函数图象的画法. (1)描点法作图. 通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象. (2)图象变换法作图. ①平移变换. a.y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数 a.y=f(x +a)的图象. b. y=f(x-b)(b>0)的图象可由 y=f(x)的图象向 b.右平移 b 个单 位长度得到.

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对于左、 右平移变换, 往往容易出错, 在实际判断中可熟记口诀: 左加右减. 而对于上、 下平移变换, 相比较则容易掌握, 原则是: 上加下减, 但要注意的是加、减指的是在 f(x)整体上. ②对称变换(在 f(-x)有意义的前提下). a.y=f(-x)与 y=f(x)的图象 a.关于 y 轴对称; b.y=-f(x)与 y=f(x)的图象 b.关于 x 轴对称; c.y=-f(-x)与 y=f(x)的图象 c.关于原点对称; d. y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分 d.关于 x 轴旋转 180°,其余部分不变; e.y=f(|x|)的图象,可先作出 y=f(x)当 x≥0 时的图象,再利用 偶函数的图象关于 y 轴对称,作出 e.y=f(x)(x<0)的图象. ③伸缩变换. a.y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的③a. 纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变而得到; b.y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的 b.横坐 1 标变为原来的 倍,纵坐标不变而得到. a

4

5

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). x2 (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数.(×) x (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(×) (3)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数 f(2x-1)的定义域 为{x|1≤x<5}.(×) 1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×) x (5)对于函数 f(x), x∈D, 若 x1, x2∈D, 且(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0, 则函数 f(x)在 D 上是增函数.(√) (6)函数 y=|x|是 R 上的增函数.(×)

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1.下列说法中,不正确的是(B) A.函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 2.(2015· 北京卷)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(C)

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析:令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)图象如图.

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? ? ?x+y=2, ?x=1, ? 由 得? ? ?y=log2(x+1), ? ?y=1.

∴ 结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.

3.函数 y=f(x)(x∈R)的图象如下图所示,下列说法正确的是(C)

①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ C.①② B.②④ D.③④

解析: 由图象可看出, f(x)为周期为 4 的奇函数, ∴①②正确. 故 选 C. 4.(2015· 安徽卷)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示, 则下列结论成立的是(A)

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A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 解析:根据函数的图象可知,该函数先增再减,再增,且极值点 都大于 0,函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上. 解法一:由图象知 f(0)=d>0.因为 f′(x)=3ax2+2bx+c=0 有两 2b b 个不相等的正实根, 所以 a>0, - =- >0, 所以 b<0.又 f′(0)=c>0, 6a 3a 所以 a>0,b<0,c>0,d>0. 解法二:由图象知 f(0)=d>0,首先排除选项 D;f′(x)=3ax2+ 2bx+c=3a(x-x1)(x-x2)=3ax2-3a(x1+x2)x+3ax1x2, 令 x1<x2, 因 为 x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,所以 a>0,排除 C;又 c=3ax1x2 >0,2b=-3a(x1+x2)<0,所以 c>0,b<0,故选 A.

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一、选择题 1.(2015· 北京卷)下列函数中为偶函数的是(B) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析:因为 y=x2 是偶函数,y=sin x 是奇函数,y=cos x 是偶 函数,所以 A 选项为奇函数,B 选项为偶函数;C 选项中函数图象是 把对数函数 y=ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方,其余部
?1?x 分的图象保持不变,故为非奇非偶函数;D 选项为指数函数 y=?2? , ? ?

是非奇非偶函数. 2.函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 (B) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:∵f(a)=2?a3+sin a+1=2, ∴a3+sin a=1. ∴f(-a)=-a3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0.
? ?1- x,x≥0, 3.(2015· 陕西卷)设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=(C) ?2 ,x<0, ?

A.-1 B. 1 3 C. D. 2 2

1 4

?1? 1 解析: 因为-2<0, 所以 f(-2)=2-2= >0, 所以 f?4?=1- 4 ? ?
10

1 4

1 1 =1- = . 2 2 3 4.函数 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是(D) A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R) 3 3 解析:由已知函数可得 x+1=ey(y∈R),即 x=ey-1,所以 x =(ey-1)3,x,y 对调即得原函数的反函数为 y=(ex-1)3(x∈R).故 选 D.
? ?1+log2(2-x),x<1, 5.(2015· 新课标Ⅱ卷)设函数 f(x)=? x-1 ?2 ,x≥1, ?

则 f(-2)+f(log212)=(C) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:∵ -2<1, ∴ f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3. 12 ∵ log212>1,∴ f(log212)=2log212-1= =6. 2 ∴ f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选 C. 6.(2015· 新课标Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x. 将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图 象大致为(B)

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π 解析:当 x∈[0, ]时,f(x)=tan x+ 4+tan x,图象不会是 4 直线段,从而排除 A,C. π 3π π 3π π 当 x∈[ , ]时, f( )=f( )=1+ 5, f( )=2 2.∵ 2 2< 4 4 4 4 2 π π 3π 1+ 5,∴ f( )<f( )=f( ),从而排除 D,故选 B. 2 4 4 二、填空题 7.若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析
?x(1-x),0≤x≤1, ? ?29? ?41? 5 式为 f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?= . ? ? ? ? 16 ? ?sin π x,1<x≤2, ?29? ?41? ? 13? ? 17? 解析:f? 4 ?+f? 6 ?=f?4+ 4 ?+f?4+ 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?13? ?17? =f? 4 ?+f? 6 ? ? ? ? ?
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? 3? ? 7? =f?4-4?+f?4-6? ? ? ? ? ? ? 3? ? 7? =f?-4?+f?-6? ? ? ? ?3? ?7? =-f?4?-f?6? ? ? ? ?

3 ? 3? 7 =- ×?1-4?-sin π 4 ? 6 ? 3 1 5 =- + = . 16 2 16 8. (2015· 福建卷)若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x), 且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 1. 解析: 因为 f(x)=2|x-a|, 所以 f(x)的图象关于 x=a 对称. 又由 f(1 +x)=f(1-x),知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故 a=1,且 f(x) 的增区间是[1,+∞),由函数 f(x)在[m,+∞)上单调递增,知[m, +∞)?[1,+∞),所以 m≥1,故 m 的最小值为 1. 三、解答题 a 9.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)解法一 a a x1-x2 2 设 x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=x2 1+ - x2- = x1 x2 x1x2

[x1x2(x1+x2)-a], 由 x2>x1≥2, 得 x1x2(x1+x2)>16, x1-x2<0, x1x2 >0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需 f(x1)-f(x2)<0,

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即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 故 a 的取值范围是(-∞,16]. 解法二 a f′(x)=2x- 2,要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, x

a 只需当 x≥2 时,f′(x)≥0 恒成立,即 2x- 2≥0,则 a≤2x3∈[16, x +∞)恒成立,故当 a≤16 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.故 a 的取值范围是(-∞,16]. 10.f(x)的定义域为 R,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)证明:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 解析:(1)函数 f(x)的定义域 R 关于原点对称,又由 f(x+y)=f(x) +f(y), 得 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=f(0). 又 f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.从而有 f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x).由于 x∈R, ∴f(x)是奇函数. (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=- f(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴f(x2-x1)<0.

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∴-f(x2-x1)>0,即 f(x1)>f(x2),从而 f(x)在 R 上是减函数. (3)由于 f(x)在 R 上是减函数, 故 f(x)在[-3, 3]上的最大值是 f(- 3),最小值是 f(3),由 f(1)=-2,得 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6.从而 f(x)在区间[-3,3]上的最大值是 6,最小 值是-6. 11.已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R,且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性. (2)是否存在实数 t, 使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成 立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由.
?1?x 解析:(1)∵f(x)=ex-?e? ,且 y=ex 是增函数, ? ? ?1?x y=-?e ? 是增函数,∴f(x)是增函数. ? ?

∵f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 由 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对 x∈R 恒成立, 则 f(x-t)≥f(t2-x2).
? 1?2 ? 1?2 ∴t2-x2≤x-t?x2+x≥t2+t 对 x∈R 恒成立??t+2? ≤?x+2? ? ? ? ? ? 1?2 1 ?t+ ? ≤0?t=- . 对一切 x ∈ R 恒成立 ? min 2 ? 2?

1 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都 2 成立.

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