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2016高考数学理科二轮复习习题:专题1第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


专题一
第二讲

集合、常用逻辑用语、函数与导数
函数、基本初等函数的图象与性质

1.函数. (1)函数的概念. 函数实质上是从非空数集 A 到非空数集 B 的一个特殊映射,记 作 y=f(x),x∈A,其中 x 的取值范围 A 叫做这个函数的定义域,f(x) 的集合 C 叫函数的值域,B 与 C 的关系是 C?B,我

们将 f,A,C 叫 做函数的三要素,但要注意,函数定义中 A,B 是两个非空数集,而 映射中两个集合 A,B 是任意的非空集合. (2)函数的表示方法. 函数表示方法有图象法、列表法、解析法. 2.映射. 映射 A→B 中两集合的元素的关系是一对一或多对一, 但不可一 对多,且集合 B 中元素可以没有对应元素,但 A 中元素在 B 中必须 有唯一确定的对应元素.

1.函数的单调性与最值. (1)单调性.
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对于定义域内某一区间 D 内任意的 x1,x2 且 x1<x2(或Δ x=x1 -x2<0): ①若 f(x1)<f(x2)[或Δ y=f(x1)-f(x2)<0]恒成立,则 f(x)在 D 上 单调递增; ②若 f(x1)>f(x2)[或Δ y=f(x1)-f(x2)>0]恒成立,则 f(x)在 D 上 单调递减. (2)最值. 设函数 y=f(x)的定义域为 I: ①如果存在实数 M 满足:对任意的 x∈I,都有 f(x)≤M 且存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大值; ②如果存在实数 M 满足:对任意 x∈I,都有 f(x)≥M 且存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最小值. 2.函数的奇偶性. (1)定义. 对于定义域内的任意 x 有: ①f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数; ②f(-x)=f(x)?f(x)为偶函数. (2)性质. ①函数 y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于 y 轴对称. 函数 y= f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称. ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相 同,且在 x=0 处有定义时必有 f(0)=0,即 f(x)的图象过原点. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相 反. 3.周期性.

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(1)定义. 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域 内的任何值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 称 T 为这个函数的周期. (2)性质. 如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则: ①kT(k≠0,k∈Z)也是 y=f(x)的周期; ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出区间[m+kT,n +kT](k∈Z 且 k≠0)上的图象.

1.基本初等函数的图象. 基本初等函数包括:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函 数、对数函数、三角函数.对于这些函数的图象应非常清楚. 2.函数图象的画法. (1)描点法作图. 通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象. (2)图象变换法作图. ①平移变换. a.y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数 a.y=f(x +a)的图象. b. y=f(x-b)(b>0)的图象可由 y=f(x)的图象向 b.右平移 b 个单 位长度得到.

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对于左、 右平移变换, 往往容易出错, 在实际判断中可熟记口诀: 左加右减. 而对于上、 下平移变换, 相比较则容易掌握, 原则是: 上加下减, 但要注意的是加、减指的是在 f(x)整体上. ②对称变换(在 f(-x)有意义的前提下). a.y=f(-x)与 y=f(x)的图象 a.关于 y 轴对称; b.y=-f(x)与 y=f(x)的图象 b.关于 x 轴对称; c.y=-f(-x)与 y=f(x)的图象 c.关于原点对称; d. y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分 d.关于 x 轴旋转 180°,其余部分不变; e.y=f(|x|)的图象,可先作出 y=f(x)当 x≥0 时的图象,再利用 偶函数的图象关于 y 轴对称,作出 e.y=f(x)(x<0)的图象. ③伸缩变换. a.y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的③a. 纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变而得到; b.y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的 b.横坐 1 标变为原来的 倍,纵坐标不变而得到. a

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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). x2 (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数.(×) x (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(×) (3)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数 f(2x-1)的定义域 为{x|1≤x<5}.(×) 1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×) x (5)对于函数 f(x), x∈D, 若 x1, x2∈D, 且(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0, 则函数 f(x)在 D 上是增函数.(√) (6)函数 y=|x|是 R 上的增函数.(×)

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1.下列说法中,不正确的是(B) A.函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 2.(2015· 北京卷)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(C)

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析:令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)图象如图.

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? ? ?x+y=2, ?x=1, ? 由 得? ? ?y=log2(x+1), ? ?y=1.

∴ 结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.

3.函数 y=f(x)(x∈R)的图象如下图所示,下列说法正确的是(C)

①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ C.①② B.②④ D.③④

解析: 由图象可看出, f(x)为周期为 4 的奇函数, ∴①②正确. 故 选 C. 4.(2015· 安徽卷)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示, 则下列结论成立的是(A)

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A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 解析:根据函数的图象可知,该函数先增再减,再增,且极值点 都大于 0,函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上. 解法一:由图象知 f(0)=d>0.因为 f′(x)=3ax2+2bx+c=0 有两 2b b 个不相等的正实根, 所以 a>0, - =- >0, 所以 b<0.又 f′(0)=c>0, 6a 3a 所以 a>0,b<0,c>0,d>0. 解法二:由图象知 f(0)=d>0,首先排除选项 D;f′(x)=3ax2+ 2bx+c=3a(x-x1)(x-x2)=3ax2-3a(x1+x2)x+3ax1x2, 令 x1<x2, 因 为 x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,所以 a>0,排除 C;又 c=3ax1x2 >0,2b=-3a(x1+x2)<0,所以 c>0,b<0,故选 A.

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一、选择题 1.(2015· 北京卷)下列函数中为偶函数的是(B) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析:因为 y=x2 是偶函数,y=sin x 是奇函数,y=cos x 是偶 函数,所以 A 选项为奇函数,B 选项为偶函数;C 选项中函数图象是 把对数函数 y=ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方,其余部
?1?x 分的图象保持不变,故为非奇非偶函数;D 选项为指数函数 y=?2? , ? ?

是非奇非偶函数. 2.函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 (B) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:∵f(a)=2?a3+sin a+1=2, ∴a3+sin a=1. ∴f(-a)=-a3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0.
? ?1- x,x≥0, 3.(2015· 陕西卷)设 f(x)