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解三角形之 综合之 难度中上


目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

解三角形之 综合之 难度中上
1.在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 ,b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为
2 2 2 2.在 ? ABC 中, a ? b ? c ? bc ,则角

A 为 (

.



A. 30

?

B.

45?

C.

120?

D. 150

?

3.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 S ?ABC ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,那么 ?C ? 4



b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? 4.在斜三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a, b, c ,且 . ac sin A cos A
(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若

sin B ? 2 ,求角 C 的取值范围. cos C

5.三角形 ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对的三边;能得出三角形 ABC 一定是锐角三角形的条件是____(只写序 ??? ? ??? ? 1 号)① sin A ? cos A ? ② AB ? BC ? 0 ③ b ? 3, c ? 3 3, B ? 30? ④ tan A ? tan B ? tan C ? 0 5 6. ?ABC 为钝角三角形, a ? 3 , b ? 4 , c ? x ,角 C 为钝角,则 x 的取值范围为________ 7.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. (3)求 sin B ? sin C 的最大值. 8.设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅰ) 求 sinA 的值; (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A 1 3 12.在 △ ABC 中, tan A ? , tan B ? . 4 5
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 13.已知△ABC 的面积 S ?

?

?

? ???? 1 ??? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2
,b 满足 a ? b ?

14.已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a

a b ? ,求内角 C . tan A tan B
2

15.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7,且 4sin (1)求角 C 的大小;(2)求△ABC 的面积. 16.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?

A+B 7 -cos 2C= . 2 2

? . 3

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为
2 2 2

第 - 1 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

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A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

2 26.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b ,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值;

(Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

30.在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? =_________。 a b tan A tan B

???? ??? ? 31.如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则 AD?BC ? __________ .

A B

D

C

32.已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

33.已知Δ ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1)若 AB?AC ? 0 ,求 c 的值;

??? ? ??? ?

(2)若 c ? 5 ,求sin∠A的值

34.在 ?ABC 中,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的长等于 35.锐角 ?ABC 中,若 a ? 3, b ? 4, ?ABC 的面积为 3 3 ,则 c ? 36. 设△ABC 的内角 A、B 的对边分别为 a、b,且 a=4,b= 4 3 ,A= 30? ,则 B= 37.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? 38.在锐角△ABC 中,若 a ? 4, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 ▲ .

sin C ? cos 39.在 ? ABC 中,若 sin B?
A.等边三角 B.等腰三角形

2

A ,则此三角形为( 2
C.直角三角形

) D.等腰直角三角形

40.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; 41. ? ABC 中, AB ? 1, A. ? 0, 42. (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

BC ? 2 ,则内角 C 的取值范围是(
B. ?



? ?? ? 6? ?

?? ? ? , ? ? 6 3?

C. (

?
3

,

?
2

)

D. (

?
2

, ?)

43.观察下列等式:
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① cos2a=2 cos 2 a -1; ② cos4a=8 cos 4 a - 8 cos 2 a + 1; ③ cos6a=32 cos6 a - 48 cos 4 a + 18 cos 2 a - 1; ④ cos8a=128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos 4 a - 32 cos 2 a + 1; ⑤ cos10a= m cos10 a - 1280 cos8 a + 1120 cos6 a + n cos 4 a + p cos 2 a - 1. 可以推测,m – n + p = .

57. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 A ? C ? 90 , a ? c ? 2b ,求 C . 59.在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 64.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c . (1)若 sin( A ? .

?

?
6

) ? 2 cos A ,求 A 的值; (2)若 cos A ?

1 , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

本类题特征是:___________________________________________________________________________________ 本类题做法是:___________________________________________________________________________________

答案
? i n2 B 1? , 1. 【解析】 由 sin B ? cos B ? 2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 , 即s 因为 0<B<? , 所以 B=45 , 又因为 a ?

2,

b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:

1 2 2 ? ? ,解得 sin A ? ,又 a <b ,所以 A<B=45 ,所以 A=30 。 = ? 2 sin A sin 45

【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力, 属于中档题。 2.C 3.

? 4

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) 2cos B ? ?2cos B, ?? , ,………………… 2 分 sin A cos A sin 2 A ac b2 ? a2 ? c2 cos( A ? C ) ?2cos B 又∵ ,∴ ?2cos B ? ? , 而 ?ABC 为斜三角形, sin 2 A ac sin A cos A
4. 解: (Ⅰ) ∵ ∵ cosB ? 0 ,∴ sin2A=1 . ∵ A ? (0, ? ) ,∴ 2 A ? …………………………………… 4 分

?
2

,A?

?
4

.

……………………………… 6 分()

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sin ? ? C ? sin cos C ? cos sin C 3π 2 2 ?? 4 4 (Ⅱ)∵ B ? C ? ,∴ sin B ? ? 4 ? ? tan C ? 2 4 cos C cos C cos C 2 2

? 3π

?





即 tan C ? 1 . ∵0?C ? 5. ④ 6. 5 ? x ? 7 ;
3? π π ,∴ ? C ? . 4 4 2

………………………… 10 分() ……………………………… 12 分

7.解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , A ? 120 ? 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 (3)由(Ⅰ)得:

1 2

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 8.

第 - 4 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

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12.本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 3 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 .又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 1 3 4 1? ? 4 5 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边.

? ?

?? ??

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 . 13.由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2 ??? ? ???? AB ? AC =bccosA=3>0

∴A∈(0,

? ),cosA=3sinA 2
第 - 5 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

又 sin2A+cos2A=1,∴sinA= 由题意,cosB=

10 3 10 ,cosA= 10 10

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 …………………………12 分 10

故 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 14.

15.解:

(1)∵A+B+C=180°, 7 2A+B 由 4sin -cos 2C= , 2 2 7 2C 得 4cos -cos 2C= , 2 2 1+cos C 7 2 ∴4· -(2cos C-1)= , 2 2 1 2 整理,得 4cos C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 ∵0°<C<180°,∴C=60°. 2 2 2 (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcos C, 2 2 2 即 7=a +b -ab,∴7=(a+b) -3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 【方法点评】求三角形的面积一般利用公式 S ? 16.

1 1 aha ? ab sin C 解答,注意灵活选用公式。 2 2

第 - 6 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

所以 △ ABC 的面积 S ? 18.

1 2 3 . ab sin C ? 2 3

26.【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。

2 5 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3
5 . 6

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1)
第 - 7 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

a c , ? sin A sin C

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

对角 A 运用余 弦定理:cosA=

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

解(1) (2 )得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S=
5 . 2

3 (舍去). 3

30.[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

b a a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 6 cos C ? 6 ab cos C ? a ? b ? a ?b ,a ?b ? (方法二) , 6ab ? a b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
31.【答案】 ?

8 3
AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 13 ? 可得 BC ? 7 , AD ? , 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD 3

【分析】法一:由余弦定理得 cos B ?

???? ??? ? BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 ?? ? ?? 又 AD, BC 夹角大小为 ?ADB , cos ?ADB ? , 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91
???? ??? ? AD ? BC ? cos ?ADB ? ? 所以 AD?BC ? 3.
法二:根据向量的加减法法则有: BC ? AC ? AB

8

??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? 2 ??? ? AD ? AB ? BD ? AB ? ( AC ? AB ) ? AC ? AB ,此时 3 3 3 ???? ??? ? 1 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? 1 ???? 2 2 ???? ??? ? 2 ??? ?2 AD · BC ? ( AC ? AB )( AC ? AB ) ? AC ? AC · AB ? AB 3 3 3 3 3 1 8 1 8 ? ? ? ?? . 3 3 3 3
32.解:(1)
??? ? AB ? (?3, ?4)

,

???? AC ? (c ? 3, ?4)

当c=5时,

???? AC ? (2, ?4)

???? ??? ? ?6 ? 16 1 cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而
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2 5 5

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25
(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0
2

解得c> 3

25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )
33.解: (1)

??? ? AB ? (?3, ?4)

??? ? AC ? (c ? 3, ?4)



??? ? ??? ? 25 AB?AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 得 c ? 3

(2)

??? ? ??? ? AB ? (?3, ?4) AC ? (2, ?4) ??? ? ???? AB?AC ?6 ? 16 1 cos ?A ? ??? ? ? ???? ? 5 20 5 AB ? AC
35. 13 36.【答案】 60? 或 120?

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
37. 120
0

2 5 5
39.B

34. 4 6

38.

?

7 ,5

?

40.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .

所以, b ?

7.
4 ? x2 ?1 1 3 3 ? ?? ,∴ C ? ? 0, ? ;<2> A 的轨迹是半圆,由右图即知 ? (x ? ) ? 4x 4 x 2 ? 6?

41. A <1>设 AC ? x, ? cos C ?

42.

43.【答案】962
9 1 3 5 7 【解析】因为 2 ? 2 , 8 ? 2 , 32 ? 2 , 128 ? 2 , 所以 m ? 2 ? 512 ;观察可得 n ? ?400 ,

p ? 50 ,所以 m – n + p =962。
第 - 9 - 页 共 10 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。

57.【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技 能的掌握情况. 【解析】由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得

sin A ? sin C ? 2 sin B ,又由 A ? C ? 90? , B ? 180 ? ( A ? C ) ,故

cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C) = 2 sin(90? ? 2C) = 2 cos 2C
?
因为

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , cos(45? ? C) ? cos 2C 2 2
0? ? C ? 90? ,所以 2C ? 45? ? C , C ? 15
?

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一 般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件, 灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.

59.【答案】 2 7 【解析】依题意知 A ? C ?

2? 2? 2? ? ? ,? C ? ? A? 0 ? A ? ? ,由正弦定理可得 3 3 3 ? ?

BC ? sin A

AB 3 ? 2? ? ? ? 2,? AB ? 2sin ? ? A ? , BC ? 2sin A ? ? 2? ? ? 3 ? sin ? ? A ? sin 3 ? 3 ?

? ? 2? ? ? AB ? 2 BC ? 2sin ? ? A ? ? 4sin A ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin ? A ? ? ? ? 2 7 ,当 A ? ? ? 时"="成立. 2 ? 3 ?
64.解: (1)由 sin( A ? 所以

?
6

) ? 2 cos A 得: sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

?

3 1 sin A ? cos A ? 2 cos A 2 2

? 3 3 sin A ? cos A ,则 tan A ? 3 ,而 0 ? A ? ? ,所以 A ? 3 2 2
b 2 ? c 2 ? a 2 9c 2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,所以 a 2 ? 8c 2 2bc 6c 2 3

(2)由余弦定理有: cos A ? 由余弦定理得: cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 8c 2 ? 9c 2 ? c 2 2 2 ? ? 2ab 3 2 ? 2 2c ? 3c 1 2 故 sin C ? 1 ? cos C ? 3
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