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一道高一不等式数学题


解:(1)证明:当 a=b=1/2 时,ab+1/(ab)=1/4+4=4+1/4 成立。当 a≠b 时,令 x=ab,则得到函 数 y=x+1/x-17/4 (0<x≤1/4)。根据函数单调性判别法易知,在(0,1/4)上函数 y=x+1/x-17/4 单调递减,即函数 y 在 x=1/4 时取得最小值。也就是说,当 a=b=1/2 时,函数 y 在 x=1/4 时取 得最小值

0,当 a≠b 时,y=x+1/x-17/4>0,即 ab+1/(ab)>17/4=4+1/4. (2)由(1)证明可知,a^2*b^2+1/(a^2*b^2)≥16+1/16。 a^3*b^3+1/(a^3*b^3)≥64+1/64. (3)一般结论:a^n*b^n+1/(a^n*b^n)≥4^n+1/(4^n)
追问

但是为什么这题不可以用不等式的性质做呢?为什么不可以直接 ab×1/ab>=2 呢?a.d. 都为正的,都符合条件啊~为什么会不对咧?
回答:

因 ab+1/ab≥2 等号成立的条件是 ab=1/ab, 由题设可知 ab 是一个小于 1 的分数, 所以 ab≠1/ab,
所以 ab+1/ab>2。经分析,ab+1/ab≥4+1/4>2。


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