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2016年高三数学第一轮复习《期中考试》测试及解答


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高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.函数 y ? sin 4 x ? cos2 x , x ? [0, ( A. )

?
6

] 的最小值为

/>7 D.1 8 2.已知集合 M ? {x | x2 ? 1} ,集合 N ? {x | a | x |? 1} ,若 N ? M ,那么由 a 的值所组
B.

3 4

13 16

C.

成的 集合的子集个数 ( ) A.1

B.2

C .3
2 2

D.4

3 . 设 m>0 , 则 直 线 2 ( x+y ) +1+m=0 与 圆 x +y =m 的 位 置 关 系 为 ( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 4.若函数 f ( x) ?

1 3 x ? f '(?1) x 2 ? x ? 5 ,则 f '(1) 的值为 3

( ) A. 2 B. ? 2 C. 6 D. ? 6 5.在 Rt ?ABC 中, AB ? AC ? 1 ,如果一个椭圆通过 A 、 B 两点,它的一个焦点为 C , 另 一个焦点 F 在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 ( ) B. 2 ? 1 C.

A. 6 ? 3

6? 3 2

D. 3 ?
2

6 2

6.设奇函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1 ,若函数 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对所 有 的 x ?[?1,1] 都成立,当 a ?[?1,1] 时,则 t 的取值范围是 ( ) A. ?2 ? t ? 2 C. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0

1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? 或 t ? ? 或 t ? 0 2 2
B. ?

7.已知 A(0,7) 、B(0,-7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆 的 另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( )
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x2 =1(y≤-1) 48 x2 C.y2- =-1 48 8.设 x 、 y ? R ,且 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,则 ( ) 2 A. x ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0
A.y2- C. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0

x2 =1 48 y2 D.x2- =1 48
B.y2-

B. x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0

9.已知向量 OB = (2,0),向量 OC =(2,2),向量 CA =( 2 cos? , 2 sin ? ),则向量 OA 与 向量 OB 的夹角的取值范围是 ( )

? ? 5 ? 5 ? 5 ?] ?] ] B.[ , C .[ ? , ] D .[ , 4 4 12 12 2 12 12 10. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象与直线 y ? 1 的交点中距离最近的两点间
A.[0, 的距离为

? ,那么 ? 等于 3
( ) C .1 D. B.2

A.6

1 2

11. 已知数列 ?1 ,a1 ,a2 ,?4 成等差数列,?1 ,b1 ,b2 ,b3 ,?4 成等比数列, 则 的值是 ( ) C.

a2 ? a1 b2

1 A. 2

1 B. ? 2

1 1 或? 2 2

D.

1 4

12 . 已 知 x1 是 方 程 x lg x ? 2006的 根 , x2 是 方 程 x · 10x=2006 的根 , 则 x1 · x2 等 于 ( ) A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应的横线上)

?6 x ? 5 y ? 60 ?5 x ? 3 y ? 40 ? 13.设 x、y 满足约束条件 ? ,则 z=4x+3y 的最大值为_________. ? x ? 0, y ? 0 ? ? x, y ? N
14. (2 x ?

x )4 的展开式中 x3 的系数是________. ?? x ? 1(?1 ? x ? 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为________. ?? x ? 1(0 ? x ? 1)
16.与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.
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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分) 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关 于 x 的不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值;
2

(2)若 c ?

7 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. , ?ABC 的面积 S ? 2 2

18. (本小题满分 12 分) (理)设函数 f ( x ) 与数列{ an }满足关系:① a1 ? ? ,其中 ? 是 方 程 f ( x) ? x 的 实 数 根 ; ② an?1 ? f (an )(n ? N ? ) . 如 果 f ( x ) 的 导 数 满 足

0 ? f '( x) ? 1. (1)证明 an ? ? ;
(2)试判断 an 与 an ?1 的大小,并证明你的结论. (文)在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S n ? an ( S n ? ) .
2

1 2

(1)求 an ; (2)设,求数列 {bn } 的前项和 Tn .

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19. (本小题满分 12 分) 已知 f(x)=loga 1 ? x (a>0,a≠1). x ?1 (1)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)当 x∈(r,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 与 r 的值; (3)若 f(x)≥loga2x,求 x 的取值范围.

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20. (本小题满分 12 分) 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a、b∈[-1,1] ,当 a+b ≠0 时,都有

f (a) ? f (b) >0. a?b
1 1 )<f(x- ) ; 2 4

(1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)解不等式 f(x-

(3)记 P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且 P∩Q= ? ,求 c 的取值范围.

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21. (本小题满分 12 分) (理)点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 短轴位于 x 轴下方的顶 a 2 b2 B 点在 y 轴上且 BP ∥ x 轴, 点, 过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点, 且 AB ? AP =9. (1)若 B(0,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B(0, t ) ,求 t 的取值范围.
(文)已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)(0<a<b) . (1)设曲线 y=f(x)在点 O(0,0)处的切线为 m,在点 B(b,0)处的切线为 n,试求 m∥n 的 充要条件; (2)若 f(x)在 x=s 及 x=t 处取得极值,其中 s<t。求证:0<s<a<t<b.

22. (本小题满分 14 分) ? ,Pn ,? , (理) 已知 x 轴上有一列点 P1 ,P 当 n ? 2 时,P 2 ,P 3, n 是把 P n ?1 P n ?1 段作 n 等分的分点中最靠近 Pn ?1 的点,设线段 PP 1 2 ,P 2P 3 ,? , P nP n?1 ,的长度分别 为

a1 , a2 , a3 , ? , an ,其中 a1 ? 1 . (1)写出 a2 , a3 和 an 的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 + ? + an ? 3 ;
(3)设点 M n (n, an ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数

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y?

k (k ? 0) 的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存 ( x ? 1)2

在,请说明理由. (文)点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 短轴位于 x 轴下方的顶点,过 A 作 a 2 b2 斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点, B 点在 y 轴上且 BP ∥ x 轴,且

AB ? AP ? 9 . (1)若 B(0,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B(0, t ) ,求 t 的取值范围.

参考答案
1.答案 C: y ? sin 4 x ? cos2 x = (

1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x ) ? = 2 2 3 1 1 ? cos 4 x 1 ? 2 cos 2 x ? cos2 2 x 1 ? cos 2 x 3 1 2 ? = ? cos 2 x = ? ? 4 4 4 4 2 4 2 ? ? 7 7 1 ? = ? cos 4 x ,∵ x ? [0, ] ,∴当 x ? ,即 4 x ? 时,函数有最小值 . 8 2 8 8 8 6
评析 三角变换中,三角函数的次数往往不一致,这时可从三角函数的次数入手,总 体原则是化高为低。本题所给函数中含有四次方与平方,故应降次,利用降幂公式即

] 及三角函数的有界性。 6 2. 答案 D: 由已知 N ? M , 有 N ? ? 和 N ? ? 两种情况: 若N ? ?, 那么方程 a | x |? 1 1 1 无解,此时 a ? 0 ;若 N ? ? ,则有 | x |? ? 0 ,故 ? 1 ,即 a ? 1 .所以由 a 的值 a a 所组成的集合为 {0,1} ,有 2 个元素.
故子集个数为 2 ? 4 个. 评析 解答集合问题,要正确理解所给各个集合及符号的含义。本题求解的关键是正 确理解 N ? M ,其中 N 可以是空集.
2

可解决问题。还应注意角的范围 x ? [0,

?

3.答案 C:解析:圆心到直线的距离为 d=

1? m 1? m 1 ,圆半径为 m .∵d-r= - m= 2 2 2

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(m-2 m +1)=

1 ( m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C 2

4 . 答 案 C : 由 f ( x) ?

1 3 2 x ? f '(?1) x 2 ? x ? 5 , ∴ f ' ( x )? x ? 2 f '? ( 1) x? ,1∴ 3 f ' (? 1) ? ?( 21) ? f 2? ' (? 1) ?( ,解得 1) 1 f '(? 1) ? ? 2,∴ f '( x ) ? x2 ? 4x ? 1,∴ f '(1)? 6。

评析 本题主要考查多项式函数导数的求法及函数在某点处的导数值, B ?A C ? 1 ,?A ? 90? , 5. 答案 A: 设椭圆的长半轴为 a , 短半轴为 b , AF ? m , ∵A

2 2 2 ,1 ? m ? 2a ? 1 ? ,∴ m ? , 2 2 2 6 2 c 2 2 6 ? 2 ? 6? 3 由1 ? ( ,∴ e ? ) ? (2c)2 ,得 2c ? 2a 2 2 2 1? 2 评析 本题主要考查椭圆定义的应用, 先利用定义求出 2 a 的值, 再求 2c 的值, 即 FC 的长,需在 Rt ?AFC 中求解,因此设法求 AF 的长,利用第一定义,水到渠成,求出 AF 以后,利用勾股定理即可求出 2c 的长,从而获解。 ? 1 6.答案 C : 由 题 意 f (1) , f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 在 [?1,1] 上 恒 成 立 , 即
∴ BC ? 2 ,则 4a ? 2 ? 2 ,即 2a ? 1 ? 恒成 f ( x) ? f ( 1? ) ? 12 t ? a 2 t? 1 立 , 即 t 2 ? 2at ? 0 , 即 ?2at ? t 2 ? 0 , 又 ma x

?2t ? t 2 ? 0 ?t ? 0或t ? ?2 ? a ?[? 1, 1] ,∴ ? ,得 ? ,∴ t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0 。 2 ? ?t ? 2或t ? 0 ??2t ? t ? 0
评析 解决恒成立问题的主要手段是分离利用函数的思想,转化为函数的最值问题。 如本题先转化为 f ( x)max ? t 2 ? 2at ? 1 ,又转化为一次函数 f ( a) ? ?2at ? t2 ? 0 在

[?1,1] 上恒成立问题,利用一次函数图象的特殊性,只须两个端点值成立即可。
7.答案 A:解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC| =|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为 y2

x2 =1(y≤-1).答案:A 48 2 2 2 2 8.答案 B 由已知得 ( x ? 1) ? y ? 1 ,满足题设的点 P( x, y ) 必在圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的
- 内部。点 P( x, y ) 必在圆 ( x ? 1) ? y ? 3 的外部。故选 B 。 评析 本题初看是一个不等式问题,若利用不等式的 有关概念和性质处理,则不易求解。应利用线性规划的思想
2 2

把 x ? y ? 2 x ? 0 视为平面内满足条件的点,利用点在圆的 内、外部解决。
2 2

9.答案 D:由题意,得: OA = OC + CA =(2+ 2 cos? ,2+ 2 sin ? )所以点 A 的轨迹 是圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ,如图,当 A 位于使向量 OA 与圆相切时,向量 OA 与向
2 2

量 OB 的夹角分别达到最大、最小值,故选 D。
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评析 本题直接用向量夹角公式求解,运算量大。先确定点 A 的轨迹是圆,利用向量 与圆相切的极限位置定出夹角的范围,无须计算,解法优美。确定直线与圆锥曲线相 交的参数范围,这个方法非常有效。 10.答案 B:设函数图象与直线 y ? 1 的两个交点的坐标分别为 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 ,则

x2 ? x1 ?

?

3

,由题意 2sin(? x1 ? ? ) ? 1 , 2sin(? x2 ? ? ) ? 1 ,即 sin(? x1 ? ? ) ?

sin(? x2 ? ? ) ?

? ( x2 ? x1 ) ?

2? ,得 ? ? 2 。 3

1 ? , 则 ? x1 ? ? ? 2 6



? x2 ? ? ?

5? 6

1 , 2

②,② ? ①得

评析 本题实质是考查三角函数的周期问题,把交点问题转化为三角方程问题,利用 方程的思想求解即可。 11.答案 A:由 ?1 , a1 , a2 , ?4 成等差数列,则 a2 ? a1 =

(?4) ? (?1) = ?1 ,又 ?1 , b1 , 3 2 =(-1)·(-4)=4,∴ b2 ? ?2 ,又 ?1 , b2 , ?4 同号, b2 , b3 , ?4 成等比数列,则 b2 a ? a1 1 故 b2 ? ?2 ,∴ 2 = 2 b2
评析 本题根据等差、等比数列的性质设法求 出 a2 ? a1 及 b2 的值,即可解决问题,但应注意隐含 条件: ?1 , b2 , ?4 同号,否则易选 C。

12.答案 D:由已知得 lg x ?

2006 ,令 y1 ? lg x , x

2006 。作出两个函数的图象,其交点横坐标为 x x1 。同理令 y3 ? 10x ,交 y2 的横坐标为 x2 。由对称 2006 性知 x2 ? y1 ? ,故 x1·x2=2006. x1 y2 ?
评析 本题主要考查数形结合的数学思想, 及函数图象的对称。首先把已知方程变形为容易做出函数图象的形式,利用对数函数 与指数函数的对称性解决问题。 13. 答案 36 : 作出可行域, 如图。 由?

?6 x ? 5 y ? 60 20 60 , 得 B( , ), 作直线 l: 4x+3y=t, 7 7 ?5 x ? 3 y ? 40 1 当直线经过点 B 时,z=4x+3y 取得最大值,即 4x+3y=37 7
由于 x、y 必须是整数,故 4x+3y 取得最大值可能是 37。

?4 x ? 3 y ? 37 ?4 x ? 3 y ? 37 5 25 及? ,得点 A1 ( ,9), A2 (3, ) 2 3 ?6 x ? 5 y ? 60 ?5 x ? 3 y ? 40 由 A1 、 A2 的横坐标知,线段 A1 A2 上没有整点,因此 4x+3y 取得最大值可能是 36,
由?
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20 22 ), 所以整点横坐标只能是 0、 1、 2、 3, 当 x=1 时, y= , 3 3 28 20 不合题意; 当 x=2 时, y= , 不合题意. 所以整点最优解为(0,12), (4, ), 使 z=4x+3y 3 3
同上求得 A3 (0,12)、A4 (4, 取得最大值 36。 评析 在线性规划问题中,常需求整点最优解,而对于整点最优解的寻找,教材中例 题一带而过,下面介绍一种简易方法—调整优值法。当使目标函数取得最大值的点不 是整点解时,求出经过该点的直线方程 l1 :Ax+By+C=0(C 不是整数) ,调整直线方 程为 l 2 :Ax+By+ C1 =0,其中 C1 为最接近 C 的整数,根据可行域的特点, C1 大于或 小于 C,求出 l 2 与可行域的交点 M、N,根据 M、N 的横坐标确定整点,求得的整点 即为整点最优解。
r r 14.答案 24: Tr ?1 ? C4 ? ( 2 x) 4 ? r ? x ? C 4 ? 2 4? r ? x r 4? r ? r 2 r ? C4 ? 2 4? r ? x 4? r ? r 2

AB ? AP =9,由题意 4 ?

r 2 ? 3 ,得 r ? 2 。∴ x3 的系数为 C4 ? 2 4?2 =24。 2

评析 高考对二项式主要有两个方面的考查:一、通项;二、赋值。本题正确写出二 3 项展开式的通项,然后令 x 的指数为 3,求得 r 的值,即可求出 x 的系数。 15. 答案

1 1 0 ? ?x ? 1, {x | ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1} : 当 ?1 ? x ? 0 时, 则 f( x) ?? x ?1 , 2 2 1 f (? x) ? x ? 1 , f ( x) ? f (? x) ? ?1 化为 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ,解得 ?1 ? x ? ? ,同 2 1 1 1 理可得 ? x ? 1 。故不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1} 。 2 2 2 评析 本题主要考查抽象函数解不等式的问题,关键是正确求出 f ( x ) 与 f (? x) ,然

后分段求解即可。 16.解析:若动圆在 y 轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线 x=-2 的距离相等, 其轨迹是抛物线;若动圆在 y 轴左侧,则动圆圆心轨迹是 x 负半轴.答案:y2=8x(x>0) 或 y=0(x<0) 17 .解 ( 1 )∵不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集。∴ ?
2

?cos C ? 0 ,即 ?? ? 0

?cos C ? 0 ?cosC ? 0 1 ? ,即 ? 1 ,故 cos C ? ,∴角 C 的 ? 2 2 cos C ? ? 2或 cosC ? C? 0 ?16 sin C ? 24 cos ? ? 2 最大值为 60 ? 。 1 3 3 ab ? 3 ,∴ ab ? 6 ,由余弦定理得 (2)当 C = 60 ? 时, S?ABC ? ab sin C ? 2 4 2 , ∴ c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cos C 121 11 (a ? b) 2 ? c 2 ? 3ab ? ,∴ a ? b ? 。 4 2
评析 解有关三角形的问题,必须熟练掌握正、余弦定理,三角函数以及与三角形面
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积、周长、内切圆、外接圆等知识,通过理解这些知识掌握各知识点间的关系并能够 运用这些知识解决一些实际问题。本题(1)中结合不等式解集情况求出 cos C ?

1 , 2

进而得到角 C 的最大值。 (2)中熟练运用三角形面积公式及余弦定理,灵活变形,利 用方程的思想求解。 18.解 (理) (1)当 n ? 1 时,由题意知 a1 ? ? 成立, 假设当 n ? k 时, 由 f '( x) ? 0 , 知函数 f ( x ) 为增函数, ∴ f (ak ) ? f (? ) , ak ? ? 成立, 又 f (ak ) ? ak ?1 , f (? ) ? ? ,∴ ak ?1 ? ? ,即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。综上知对 任意正整数 n , an ? ? 恒成立。 (2) 令 g( x) ? x f?x( ) , 则 g('x ) 1? (? 'f) x , 由0 ? f 故 g ( x) (' ) x 1 ? 得 g '( x) ? 0 , 为 增 函 数 , 当 x ? ? 时 , 有 g ( x) ? g (? ) ? ? ? f (? ) ? 0 , ∴ g ( x) ? 0 , 即

x ? f ( x) ,由(1)知 an ? ? ,∴ an ? f (an ) ? an?1 ,故 an ? an?1 。 评析 本题第(1)问利用数学归纳法证明,思路自然,在证 n ? k ? 1 时,利用导数 与函数单调性关系巧妙论证;第(2)问实质是比较 an 与 f (an ) 的大小,因而构造函 数 g ( x) ? x ? f ( x) ,判断函数值的正负即可。 (文) (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 , 1 1 1 2 2 ∴ S n ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) ? S n ? S n ? S n S n ?1 ? S n ?1 ,∴ Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1 , 2 2 2 1 1 1 ∴ ? ? 2 , 即 数 列 { } 为 等 差 数 列 , S1 ? a1 ? 1 , ∴ Sn Sn?1 Sn 1 1 1 , ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,∴ Sn ? 2n ? 1 Sn S1 1 1 1 ? ?? 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? , 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1) ? (2n ? 3) ?1, n ? 1 ? ∴ an ? ? ,n ? 2 。 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) ? Sn 1 1 1 1 ? ( ? ), (2) bn ? = 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )] ? (1 ? )? ∴ Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 。 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 评析 高考文科对数列的考查主要在数列的基本运算、递推数列、同时含 an 与 Sn 的
关系式的运算、数列求和这四大块。本题(1)中灵活利用 an 与 Sn 的关系合理消元, 分类求解。 (2)中考查裂项相消法求和。 19.剖析:单调性只要用定义证明,可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调 性确定端点后再比较,化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分 a>1 与 0<a< 1 求解,同时要注意定义域. 解: (1)任取 1<x1<x2,则
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f(x2)-f(x1)=loga

x2 ? 1 x ?1 -loga 1 x2 ? 1 x1 ? 1

(x ? 1 )(x1 ? 1 ) =loga 2 (x 2 ? 1 )(x1 ? 1 ) x x ? x1 ? x 2 ? 1 =loga 1 2 . x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1. ∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1. x x ? x1 ? x 2 ? 1 ∴0< 1 2 <1. x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 当 a>1 时,f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x)在(1,+∞)上是减函数; 当 0<a<1 时,f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. x ?1 (2)由 >0 得 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞). x ?1 x ?1 2 ∵ =1+ ≠1,∴f(x)≠0. x ?1 x ?1 当 a>1 时, ∵x>1 ? f(x)>0,x<-1 ? f(x)∈(0,1) , ∴要使 f(x)的值域是(1,+∞) ,只有 x>1. 又∵f(x)在(1,+∞)上是减函数, - ∴f 1(x)在(1,+∞)上也是减函数. a ?1 - ∴f(x)>1 ? 1<x<f 1(1)= . a ?1 ?r ? 1, ? ?r ? 1 ? ∴? a ?1 ∴ ? 3 . ?a ? 2 ? (负号不符合) ?a ? 2 ? a ? 1 . ? ? 当 0<a<1 时, ∵x>1 ? f(x)<0,x<1 ? f(x)>0, ∴要使值域是(1,+∞) ,只有 x<-1. 又∵f(x)在(-∞,-1)上是增函数, a ?1 - ∴f(x)>1 ? -1>x>f 1(1)= . a ?1 a ?1 ? , ?r ? ∴? a ? 1 无解. ?a ? 2 ? ?1, ?

综上,得 a=2+ 3 ,r=1. (3)由 f(x)≥loga2x 得 ?x ? 1 当 a>1 时, ? ) ? x ? 1 ? 2 x(x ? 1
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?

3 ? 17 3 ? 17 <x< 且 x>1. 4 4

3 ? 17 . 4 ? x ? 1, 当 0<a<1 时, ? ), ? x ? 1 ? 2 x(x-1

∴1<x<

20.解:设-1≤x1<x2≤1,则 x1-x2≠0, f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ∴ >0. x1 ? (? x 2 ) ∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0. ∴f(x1)<-f(-x2). 又 f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2). ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)是增函数. (1)∵a>b,∴f(a)>f(b). (2)由 f(x-

1 1 )<f(x- ) ,得 2 4

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 1 ? ?? 1 ? x ? ? 1, 4 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 4 , ?

∴-

1 5 ≤x≤ . 2 4

∴不等式的解集为{x|-

1 5 ≤x≤ }. 2 4

(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c, ∴P={x|-1+c≤x≤1+c}. 由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2, ∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}. ∵P∩Q= ? , ∴1+c<-1+c2 或-1+c>1+c2, 解得 c>2 或 c<-1. 21.解(理) (1)由题意 B(0,1) , A(0, ?b) , ?PAB ? 45? , ∴ AB · AP =| AB |·| AP |·cos45°=| AB |2=9,得 b ? 2 . ∴ P(3,1) ,代入椭

9 1 x2 y 2 2 ? ? 1。 圆方程得 2 ? ? 1 ,∴ a ? 12 。故所求椭圆的方程为 a 4 12 4 ?y ?1 另解 直线 AP 的方程为 y ? x ? b ,由 ? ,得 P(b ? 1,1) , ?y ? x ?b ∴ AB ? AP =(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上。
(2)由 AB ? AP =9,得 t ? b ? 3(t ? 0, b ? 0)
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①,将 P(3, t ) 代入椭圆方程得

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9 9 t2 9b 2 9b 2 2 2 2 ? ? 1 a ? ? b 2 ,即 2 2 ? 1 ②,由 a ? b ,即 ,∵ ,∴ 2 2 2 2 2 2 b ?t a b b ?t b ?t
① 得 b ? 3 ? t ,代入③得

3 9 6t ? 1 ? 0 ,∴ ? 0 ,解得 0 ? t ? 。 2 9 ? 6t 6t ? 9

评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值, 得到点 P 的坐标代入椭圆方程即可, 简化了运算。 又利用两条直线的交点解出点 P 的 坐标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异曲同工之妙。 (2)中利用向量关系得 到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a ? b 关系建立不等式,非常巧妙。 (文) f ' ( x) =3x2-2(a+b)x+ab(1)切线 m 的斜率 k 1 = f ' (0) =ab,切线 n 的斜率 直线 m∥n ? k 1 = k2 , ∴ ab=b(b-a) 即 b=2a 是 m∥n 的充要条件。 k2 = f ' (b) =b(b-a), ' ( 2 )由题意, s , t 是方程 f ( x) =3x2-2(a+b)x+ab=0 的两根,又∵ f ' (0) =ab>0 , f ' (a) =a(a-b)<0, f ' (b) =b(b-a)>0,∴ f ' ( x) 在区间(0,a),(a,b)上各有一个实根,又 s<t, ∴ 0<s<a<t<b. 评析 本题综合性较强,要学会用导数解决或证明一些问题,尤其要注意导函数为二 次函数的研究。 22.解 (理) (1)由已知 P n?1P n ? (n ? 1) P nP n ?1 ,令 n ? 2 , PP 1 2 ? P 2P 3 ,所以 a2 ? 1 ,

1 a 1 ,同理 n ? , 2 an?1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 a n?1 ? ? an?2 ? ? ? ? ? ?1 ? 所以 a n ? . n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 2 (n ? 1)! 1 1 1 1 ? ? ? n?2 (2)因为 (n ? 1)! 1? 2 ? 3 ??? (n ? 1) 2 ? 2 ? 2 ??? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 a1 + a2 + a3 + ? + an = 1 ? ? ? ? ? 1! 2! (n ? 1)! 2 2 2 1 1 ? ( ) n ?1 1 2 ? 1? ? 3 ? ( ) n ?2 ? 3; 1 2 1? 2 而 n ? 1 时,易知 a2 ? 1 ? 3 成立,所以 a1 + a2 + a3 + ? + an ? 3 。 k k (3) 假设有两个点 A( p, a p ) ,B(q, aq ) , 都在函数 y ? 上, 即 ap ? , 2 ( x ? 1) ( p ? 1)2 k aq ? (q ? 1) 2
令 n ? 3, P 2P 3 ? 2P 3P 4 ,所以 a3 ? 所以

( p ? 1)2 (q ? 1)2 ( p ? 1)2 (q ? 1)2 = ①,以下考查数列 ?k, ? k ,消去 k 得 ( p ? 1)! (q ? 1)! ( p ? 1)! (q ? 1)!
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bn ?

n2 的增减情况, n! n2 (n ? 1)2 n ? (n ? 1)2 n2 ? 3n ? 1 , bn ? bn?1 ? ? ? ?? n! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! 2 当 n ? 2 时, n ? 3n ? 1 ? 0 ,所以对于数列 {bn } 有 b2 ? b3 ? b4 ? ? ? bn ? ? ∴不可能存在 p , q 使得①式成立,因而不存在。

评析 数列的递推关系及增减情况,是近几年高考压轴题的着眼点。 (文) (1)由题意 B(0,1) , A(0, ?b) , ?PAB ? 45? , ∴ AB · AP =| AB |·| AP |·cos45°=| AB |2=(b+1)2=9,得 b ? 2 。∴ P(3,1) ,代入

9 1 x2 y 2 2 ? ? 1 ? ? 1。 a ? 12 ,∴ 。故所求椭圆的方程为 a2 4 12 4 ?y ?1 另解 直线 AP 的方程为 y ? x ? b ,由 ? ,得 P(b ? 1,1) , ?y ? x ?b
椭圆方程得 ∴ AB ? AP =(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上。 ( 2 ) 由 AB ? AP =9 , 得 t ? b ? 3( t ? 0, b ? 0) ① , 将 P(3,t )代 入 椭 圆 方 程 得

9 9 t2 9b 2 9b 2 2 2 2 ? ? 1 a ? ? b 2 ,即 2 2 ? 1 ②, a ? b ,即 ,∵ ,∴ 2 2 2 2 2 2 b ?t a b b ?t b ?t 3 9 6t ? 1 ? 0 ,∴ ? 0 ,解得 0 ? t ? 。 由①得 b ? 3 ? t ,代入③得 2 9 ? 6t 6t ? 9 评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值, 得到点 P 的坐标代入椭圆方程即可, 简化了运算。 又利用两条直线的交点解出点 P 的 坐标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异曲同工之妙。 (2)中利用向量关系得 到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a ? b 关系建立不等式,非常巧妙。

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