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历届数学高考中的试题精选——导数及其应用


历届理科高考中的“导数及其应用”试题
一、选择题: 1. (2004 湖北理科)函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是( (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0 2. (2007 全国Ⅱ理) 已知曲线 y ? (A)3 (B) 2 )

1 x2 ? 3lnx的一条切线的斜率为 ,则

切点的横坐标为( 2 4
1 (D) 2
′ ′



(C) 1


3.(2005 湖南理)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0 (x),f2(x)=f1 (x),…,fn+1(x)=fn (x),n∈N, 则 f2005(x)=( ) A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx 4.(2008 广东理)设 a ? R ,若函数 y ? e

? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( 1 1 A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 3 3 3 5.(2001 江西、山西、天津理科)函数 y ? 1 ? 3x ? x 有( )
ax



(A)极小值-1,极大值 1 (B)极小值-2,极大值 3 (C)极小值-2,极大值 2 (D)极小值-1,极大值 3 6. (2004 湖南理科)设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) (A) (?3,0) ? (3,??) (C) (??,?3) ? (3,??)
1 x

(B) (?3,0) ? (0,3) (D) (??,?3) ? (0,3)
2

7.(2007 海南、 宁夏理)曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( A.



9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

8. (2008 湖北理)若 f(x)= ?

A.[-1,+∞] 9. (2005 江西理科)已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2 B.(-1,+∞) C. ?? ?,?1? D.(-∞,-1)


f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( y y y y
2 1 -2 -1 -2
o

y y=xf'(x)
1 -1
o

2 1
1 23 x

4
o

4 2 1

-1 -2
B

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

-1

A

C

D

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2007 湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ? —f ’(1)=______________. 12. (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x 3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是 .

1 x +2,f(1) 2

13.(2008 全国Ⅱ卷理)设曲线 y ? eax 在点 (0, 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _____ . 14. (2006 湖北文)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞) 1, 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数 上的变量,则 (? ? r 2 )? =2 ? r ○ ○
2

1 等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 2 的式子: ○ 2 式可以用语言叙述为: ○ 。

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分) 15.(2004 重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 1 p (元/吨)之间的关系式为:p ? 24200 ? x 2 ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x(元) 。 5
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)

16.(2008 重庆文) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a ? 0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与 直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.

17.(2008 全国Ⅰ卷文、理)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;
3 2

(Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

?x 18. (2004 浙江理)设曲线 y ? e ( x ≥0)在点 M(t, e )处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三 角形面积为 S(t) 。 (Ⅰ)求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S(t)的最大值。
?t

19.(2007 海南、宁夏文)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

20..(2007 安徽理)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.

历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科) 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号

1

2

3

4

5 D

6 D

7 D

8 C

9 C

10 C

答案 C A C B 二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)

? ?4 3? 2 11. 3 ; 12. ?16 ; 13. 2 ; 14. ? ?R ? ? 4?R ,球的体积函数的导数等于球的 ?3 ?
表面积函数

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分) 1 2 15. 解:每月生产 x 吨时的利润为 f ( x) ? (24200 ? x ) x ? (50000 ? 200 x) 5 1 3 ? ? x ? 24000x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 由f ?( x) ? ? x 2 ? 24000? 0解得x1 ? 200, x 2 ? ?200(舍去). 5 因f ( x)在[0,??)内只有一个点 x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大 1 3 值为: f (200 ) ? ? (200 ) ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 16. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x2 ? ax2 ? 9 x ? 1, 所以

a 2 a2 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 9 ? 3( x ? ) ? 9 ? . 3 3 a a2 . 即当 x ? ? 时,f ?( x)取得最小值 ? 9 ? 3 3 因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12,
2

a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. 3 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x ? 3x ? 9x ? 1, f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1) 令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ? 1)上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ? ?)上为增函数.
所以 ?9 ?

由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ? ?); 单调递减区间为( ? 1, 3) .
17.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 当a 当a
2

求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?

f ( x) 在 R 上递增

2

?a ? a 2 ? 3 3
? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ?? 递 ? ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, 即 f ( x ) 在 ? ??, ? ? ? 3 ? ? 增

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递减, ? ? 3 3 ? ?

(2)要使 f(x)在在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,当且仅当, f ?( x) ? 0 在 ? ? , ? ? 恒成立,

? 2 ? 3

1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

? ? 2? ? 7 4a ? f ?? ? 3 ? ? 0 ?3 ? 3 ? 0 ? ? ? ? 由 f ?( x) 的图像可知,只需 ? ,即 ? , 解得。a≥2。 4 2 a 1 ? ? ? ? ? f ?? ? ? ? 0 ?0 3 3 ? ? ? 3? ? ? 所以, a 的取值范围 ?2,??? 。
18.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (e ? x )? ? ?e ? x , 所以切线 l 的斜率为 ? e ? t , 故切线 l 的方程为 y ? e ?t ? ?e ?t ( x ? t ).即 e x ? y ? e (t ? 1) ? 0 。 (Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y ? e ?t (t ? 1)
?t ?t

1 1 (t ? 1) ? e ?t (t ? 1) = (t ? 1) 2 e ?t 2 2 1 ?t 从而 S ?(t ) ? e (1 ? t )(1 ? t ). 2 ∵当 t ?(0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ?(1,+∞)时, S ?(t ) <0, 2 所以 S(t)的最大值为 S(1)= 。 e
所以 S(t)=

? 3 ? ? 2 ? 2 2 4 x ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? (Ⅰ) f ?( x) ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 3 1 1 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1? ? 3 ? ? 1 ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ? 单调减少. 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? 3 1? ? 1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 ? 4 4? ? 2? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ? 4? ?4? 7 ?1? 1 ? 3 1? 所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 ? 16 ? 4 4?
19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? .

2 In x 2a ? , x ? 0. x x 2 x?2 , x ? 0. 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 In x ? 2a, x ? 0, 于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得 f ?( x) ? 1 ? 列表如下: x (0,2) 2 (2,+∞) 0 + F′(x) F(x) ↓ 极小值 F(2) ↑ 故知 F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在 x=2 处取得极小值 F(2)=2-2In2+2a. (Ⅱ)证明:由 a ? 0知,F ( x)的极小值 F (2) ? 2 ? 2 In 2 ? 2a ? 0.

于是由上表知,对一切 x ? (0,??), 恒有F ( x) ? xf ?( x) ? 0. 从而当 x ? 0时,恒有f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( 0,??)内单调增加 . 所以当 x ? 1 时,f ( x) ? f (1) ? 0,即x ? 1 ? In2 x ? 2a In x ? 0. 故当 x ? 1 时,恒有x ? In x ? 2a In x ? 1.
2


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