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必修2红对勾4-1-32


红对勾系列丛书

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

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4.1 第32课时

圆的方程 圆的标准方程

4.1 第32课时

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1.用定义推导圆的标准方程,并能表达

/>点与圆的位置关系.
2.掌握求圆的标准方程的不同方法.

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一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知以点A(2,-3)为圆心,半径长等于5的圆
O,则点M(5,-7)与圆O的位置关系是( A.在圆内 C.在圆外 B.在圆上 D.无法判断 )

4.1 第32课时

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解析:点M(5,-7)到圆心A(2,-3)的距离为5, 恰好等于半径长,故点在圆上.

答案:B

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2 .若直线 y = ax + b 通过第一、二、四象限,则 圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于( A.第一象限 )

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.1 第32课时

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解析: ( - a ,- b) 为圆的圆心,由直线经过一、 二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,

再由各象限内点的坐标的性质得解.
答案:D

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3.圆(x- 3)2+ (y+ 4)2=1关于直线 y= x对称的圆 的方程是( )

A.(x+3)2+(y+4)2=1

B.(x+4)2+(y-3)2=1
C.(x-4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=1

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解析:主要考查对对称性的理解,两个半径相等 的圆关于直线对称,只需要求出关于直线对称的圆心

即可, (3,- 4) 关于y= x的对称点为 ( - 4,3)即为圆心,
1仍为半径.即所求圆的方程为(x+4)2+(y-3)2=1. 答案:B

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4.方程 y= 9-x2表示的曲线是( A.一条射线 C.两条射线 B.一个圆 D.半个圆

)

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解析:由 y= 9-x2知,y≥0,两边平方移项, 得 x2+ y2=9.
2 2 ? x + y =9 ? ∴原方程等价于? ? ?y≥ 0



表示圆心在原点,半径为 3 的圆的上半部分.

答案:D

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5 .已知圆 C 与直线 x - y = 0 及 x - y - 4 = 0 都相切, 圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 )

B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

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解析: 由圆心在直线 x+ y= 0 上.不妨设为 C(a,- a). |a- ?- a? | |a-?- a?- 4| ∴ r= = ,解得 2 2 a= 1,r= 2. ∴ C:(x- 1)2+(y+1)2= 2.故选 B.

答案:B

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6.已知圆 C: x2+ y2= 1,点 A(- 2,0)及点 B(2, a),从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住,则 a 的取值范围是 ( )

A. (-∞,- 1)∪ (1,+∞ ) B. (-∞,- 2)∪(2,+∞) 4 3 4 3 C. (-∞,- )∪ ( ,+∞ ) 3 3 D. (-∞,- 4)∪ (4,+∞ )

答案:C
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二、填空题(每小题5分,共15分) 7.圆O的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点(2,3)到 圆上的最大距离为________.

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解析: 点 (2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点 到点 (2,3) 的距离最大,最大距离为点 (2,3) 到圆心 (3,4)的距离 2加上半径长 5,即为 5+ 2.

答案:5+ 2

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8. (2010· 课标全国,理)过点 A(4,1)的圆 C 与 直线 x- y-1= 0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程 为 ________.
解析: 设圆 C 方程:(x- a)2+(y- b)2= r2, 圆心 (a , b) 到直线 x - y- 1 = 0 的距离 d = |a- b- 1| = r,① 2

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又圆 C 过 A(4,1),B(2,1), ∴ (4-a)2+ (1- b)2=r2,② (2- a)2+ (1-b)2=r2,③ 由①②③,得 a=3,b= 0,r= 2, ∴圆的方程为 (x-3)2+ y2=2.
答案: (x- 3)2+ y2= 2

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9. 设 A= {(x, y)|(x-2)2+ (y+ 3)2≤4}, B={(x, 1 y)|(x - 1) +(y- a) ≤ }.若 A∩B= B,则实数 a 4
2 2

的取值范围是 ________.
- 6- 5 - 6+ 5 答案: [ , ] 2 2

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三、解答题(共45分)

10.(本小题15分)圆心为(2,-3),一条直径的两
个端点分别落在x轴、y轴上,求圆的方程.

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解:方法 1:设直径的两个端点为 (a,0),(0, b), a+ 0 0+ b 由 = 2, =- 3, 2 2 ∴ a=4, b=- 6. ∴ r= ? 4- 2?2+? 0+3?2= 13. ∴所求圆的方程为 (x- 2)2+(y+3)2= 13.

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方法 2:由直径所对的圆周角为直角知原点在 圆上, ∴ r= 22+ 32= 13, ∴所求圆的方程是 (x- 2)2+(y+3)2= 13.

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11.(本小题15分)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)

和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求
圆心为C的圆的标准方程.

4.1 第32课时

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解:因为 A(1,1)和 B(2,- 2), 3 1 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为( ,- ), 2 2 - 2-1 直线 AB 的斜率 kAB= =-3, 2- 1 因此线段 AB 的垂直平分线 l′的方程为 1 1 3 y+ = (x- ),即 x- 3y-3= 0. 2 3 2

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圆心 C 解.

?x- 3y- 3= 0, ? 的坐标是方程组 ? ? ?x- y+ 1= 0



?x=- 3, ? 解此方程组,得? ? ?y=- 2.

所以圆心 C 的坐标是(- 3,- 2). 圆心为 C 的圆的半径长

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r= |AC|= ? 1+ 3?2+? 1+ 2?2= 5. 所以,圆心为 C 的圆的标准方程是 (x+ 3)2+ (y+2)2=25.

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12.( 本小题 15分)如图 1 所示,矩形 ABCD 的两条 对角线相交于点 M(2,0) , AB边所在直线的方程为 x- 3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.

(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.

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图1

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解:(1)因为AB边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.

又因为点T(-1,1)在直线AD上,
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),

即3x+y+2=0.

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?x- 3y- 6= 0 ? (2)由? ? ?3x+ y+ 2= 0



解得点 A 的坐标为 (0,- 2). 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0). 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 |AM|= ? 2- 0?2+? 0+ 2?2=2 2. 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 (x- 2)2+ y2= 8.

4.1 第32课时


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