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12空间中的平行与垂直 Word版含答案


第一部分



12

一、选择题 1.(2015· 银川市质检)若 α,β 是两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β” 是“m⊥β”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B

[解析] 若 α⊥β

,m?α,则 m 与 β 平行、相交或 m?β 都有可能,所以充分性不成立; 若 m⊥β,m?α,则 α⊥β,必要性成立,故选 B. [方法点拨] 应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时,必须按照定理的要求 找足条件. 2.(2015· 东北三校二模)已知 a,b,m,n 是四条不同的直线,其中 a、b 是异面直线,则 下列命题正确的个数为( )

①若 m⊥a,m⊥b,n⊥a,n⊥b,则 m∥n; ②若 m∥a,n∥b,则 m,n 是异面直线; ③若 m 与 a,b 都相交,n 与 a,b 都相交,则 m,n 是异面直线. A.0 C .2 [答案] B [解析] 对于①,过直线 a 上一点 O 作直线 a1∥b,则直线 a,a1 确定平面 α,因为 m⊥a, m⊥a1,所以 m⊥α,同理 n⊥α,因此 m∥n,①正确;对于②,m,n 也可能相交,②错误; 对于③,在直线 a 上取点 A,过 A 作直线 m、n 与 b 相交,满足③的条件,因此 m,n 可能相 交,③错误.综上所述,其中正确的命题的个数是 1,故选 B. 3.(文)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,若已知 m⊥n,m⊥α,则“n ⊥β”是“α⊥β”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] A
? [解析] m⊥α? ??n∥α或n?α

B.1 D.3

) B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

m ⊥n ? ?

? ??α⊥β. n⊥β?

α⊥β ? ? ??m∥β或m?β ? m⊥α? ?/ n⊥β. m⊥n

? ? ?

(理)已知 m、 n 为两条不同的直线, α、 β 为两个不同的平面, 则下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β [答案] A

)

[解析] 由线面垂直的性质定理知 A 正确;如图 1 知,当 m1?β,m1∩n=A 时满足 B 的 条件,但 m 与 n 不平行;当 m⊥α,m⊥n 时,可能有 n?α;如图 2 知,m∥n∥l,α∩β=l 时 满足 D 的条件,由此知 D 错误.

4.(2014· 辽宁理,4)已知 m、n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α [答案] B

)

[分析] 本题考查空间中平行关系与垂直关系.依据线面位置关系的定义及判定性质定理 求解. [解析] 对于 A,m∥α,n∥α,则 m、n 的关系是平行,相交,异面,故 A 不正确; 对于 B,由直线与平面垂直的定义知正确; 对于 C,n 可能在平面 α 内; 对于 D,n?α,n 与 α 斜交,n⊥α,n∥α 都有可能. [点评] 这类题目常借助于多面体(如正方体)进行判断, 实际解答时只要能确定选项即可, 不必逐一判断. [方法点拨] 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、 空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断, 必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论

不能完全移植到立体几何中. 5 . ( 文 )(2015· 太原市一模 ) 已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )

A.

3 3

2 3 B. 3 5 3 D. 3

4 3 C. 3 [答案] C [解析]

由三视图知,该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCD,其中底

面 ABCD 是正方形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD,故 1 4 3 其体积 V= ×22× 3= . 3 3 (理)(2015· 安徽文,9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面 积是( )

A.1+ 3 C.2+ 3 [答案] C

B.1+2 2 D.2 2

[解析] 考查 1.几何体的三视图;2.锥体的体积公式. 由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图如下图所示:

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知:PA=PC=AB =BC= 2,取 AC 中点 O,连接 PO,BO,则 Rt△POB 中,PO=BO=1?PB= 2,∴S= 1 6 1 ( · 2· )· 2 +( · 2· 1)· 2=2+ 3,故选 C. 2 2 2 6. (文)(2015· 广东理, 8)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等, 则正整数 n 的取值( A.至多等于 3 C.等于 5 [答案] B [解析] n=4 时为正四面体,正四面体的四个顶点是两两距离相等的;n=5 时为四棱锥, 侧面为正三角形,底面为菱形,且对角线长与边长应相等,这不可能.因此空间中 n 个不同 的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值至多等于 4,故选 B. (理)(2015· 海淀区期末)若空间中有 n(n≥5)个点,满足任意四点都不共面,且任意两点的 连线都与其余任意三点确定的平面垂直,则这样的 n 值( A.不存在 C.等于 5 [答案] C [解析] 当五点为正四面体的四个顶点和对称中心时,符合任意四点都不共面和任意两点 的连线都与其余三点的连线所确定的平面垂直的条件,假设当 n≥6 时也满足题意,不妨设其 中的 6 个点为 A,B,C,D,E,F,则 AB⊥平面 CDE,AB⊥平面 CDF,又因为平面 CDF∩ 平面 CDE=CD,所以平面 CDF 与平面 CDE 重合,C,D,E,F 四点共面,与题意相矛盾, 所以 n=5,故选 C. 7.(文)设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①
? α∥β? ??β∥γ ? α∥γ ?

)

B.至多等于 4 D.大于 5

)

B.有无数个 D.最大值为 8



? α ⊥β? ??m⊥β ? m∥α ?



m⊥α? m∥n? ? ? ??α⊥β ④ ??m∥α ? m∥β? n?α ? ? ) B.②③ D.②④

其中,真命题是( A.①④ C.①③

[答案] C [解析] ①正确,平行于同一个平面的两个平面平行;②错误,由线面平行、垂直定理知: m 不一定垂直于 β;③正确,由线面平行,垂直关系判断正确;④错误,m 也可能在 α 内.综 上所述,正确的命题是①③,故选 C. (理)已知 A、B 是两个不同的点,m、n 是两条不重合的直线,α、β 是两个不重合的平面, 给出下列 4 个命题:①若 m∩n=A,A∈α,B∈m,则 B∈α;②若 m?α,A∈m,则 A∈α; ③若 m?α,m⊥β,则 α⊥β;④若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β,其中真命题为( A.①③ C.②③ [答案] C [解析] ②∵m?α,∴m 上的点都在平面 α 内,又 A∈m,∴A∈α,∴②对;由二面垂直 的判定定理知,③正确. 8.(文)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内, 且 PA1=A1E,则点 P 运动形成的图形是( ) B.①④ D.②④ )

A.线段 C.椭圆的一部分 [答案] B

B.圆弧 D.抛物线的一部分

2 2 [解析] |AP|= A1P2-AA2 故点 P 在底面 ABCD 内运动形成 1= A1E -A1B1=|B1E|(定值),

的图形是圆弧. (理)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD 内运动,且满足∠ DPD1=∠CPM,则点 P 的轨迹为( )

A.圆的一部分 C.双曲线的一部分

B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

[答案] A MC DD1 2MC [解析] 由∠DPD1=∠CPM 得 = = , PC DP DP ∴ PD =2,在平面 ABCD 内,以 D 为原点,DA、DC 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标 PC

系,设 DC=1,P(x,y), 4 4 ∵PD=2PC,∴ x2+y2=2 x2+?y-1?2,整理得 x2+(y- )2= ,所以,轨迹为圆的一部 3 9 分,故选 A. 9. (文)已知 α、 β 是两个不同的平面, m、 n 是两条不重合的直线, 下列命题中正确的是( A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n D.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β [答案] C [解析] 对于选项 A, m, n 有可能平行也有可能异面; 对于选项 B, n 有可能在平面 α 内, 所以 n 与平面 α 不一定平行;对于选项 D,m 与 β 的位置关系可能是 m?β,m∥β,也可能 m 与 β 相交.由 n⊥β,α⊥β 得,n∥α 或 n?α,又 m⊥α,∴m⊥n,故 C 正确. (理)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折,在翻折过程中( ) )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 [答案] B [解析] ①过 A、C 作 BD 的垂线 AE、CF,∵AB 与 BC 不相等,∴E 与 F 不重合,在空 间图(2)中,若 AC⊥BD,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥CE,这样在平面 BCD 内, 过点 C 有两条直线 CE、CF 都与 BD 垂直矛盾,∴A 错;②若 AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥ 平面 ACD,∴AB⊥AC,∵AB<BC,∴存在这样的三角形 ABC,AB⊥AC,AB=AC,∴B 选项 正确,∴选项 D 错;③若 AD⊥BC,又 CD⊥BC,∴BC⊥平面 ACD,∴BC⊥AC,∵BC>AB, 这样的△ABC 不存在,∴C 错误.

10.(文)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线

AC1 与平面 BED 的距离为( A.2 C. 2 [答案] D

) B. 3 D.1

[解析] 本题考查了正四棱柱的性质, 点到直线距离的求解. 连接 AC、 BD, AC∩BD=O, 连接 EO,则 EO∥AC1.则点 C 到平面 BDE 的距离等于 AC1 到平面 BDE 的距离,过 C 作 CH ⊥OE 于 H,CH 为所求.在△EOC 中,EC= 2,CO= 2,所以 CH=1.本题解答体现了转化 与化归的思想,注意等积法的使用. (理)已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是侧棱 PB 的中点,则异面 直线 AE 与 PD 所成角的余弦值为( 1 A. 3 C. 3 3 ) B. 2 3

2 D. 3

[答案] C [解析] 设 AC 与 BD 的交点为 O,∵棱锥的各棱长都相等, ∴O 为 BD 中点,∴EO∥PD,∴∠AEO 为异面直线 AE 与 PD 所成的角,设棱长为 1,则 AO= 2 1 3 OE 3 ,EO= ,AE= ,∵AO2+EO2=AE2,∴cos∠AEO= = . 2 2 2 AE 3

二、填空题 11.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是__________. [答案] ②⑤ [解析] 对①可举反例如图,需 b⊥β 才能推出 α⊥β.对③可举反例 说明,当 γ 不与 α,β 的交线垂直时,即可得到 a,b 不垂直;④对 a 只

需垂直于 α 内一条直线便可以垂直 α 内无数条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的. 12.(文)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 底面是边长为 6的正三角形,侧棱垂直于底面,且该 三棱柱的外接球表面积为 12π,则该三棱柱的体积为________. [答案] 3 3 [解析] 4πR2=12π,∴R= 3,△ABC 外接圆半径 r= 2,∴柱高 h=2 R2-r2=2, ∴体积 V= 3 ×( 6)2×2=3 3. 4

(理)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P- ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是______________. 3 3 [答案] ? , ? ?4 2 ? [ 解析 ] 当 P 为 A1C1 的中点时,设球半径为 R ,球心到底面 ABCD 距离为 h ,则

R+h=1 ? ? 3 3 ? 2 2 1 ,∴R=4,当 P 与 A1(或 C1)重合时,外接球就是正方体的外接球,R= 2 ,∴R ? ?R -h =2 3 3 ∈[ , ]. 4 2 三、解答题 13.(文)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形, M、N、G 分别是棱 CC1、AB、BC 的中点.且 CC1= 2AC. (1)求证:CN∥平面 AMB1; (2)求证:B1M⊥平面 AMG. [证明] (1)如图取线段 AB1 的中点 P,连接 NP、MP, 1 ∵CM 綊 BB1, 2 1 NP 綊 BB1, 2 ∴CM 綊 NP, ∴四边形 CNPM 是平行四边 ∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP?平面 AMB1, ∴CN∥平面 AMB1. (2)∵CC1⊥平面 ABC, ∴平面 CC1B1B⊥平面 ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面 CC1B1B, 形.

∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面 ABC, 平面 A1B1C1∥平面 ABC, ∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1, 设 AC=2a,则 CC1=2 2a, 在 Rt△MCA 中,AM= CM2+AC2= 6a.
2 在 Rt△B1C1M 中,B1M= B1C1 +C1M2= 6a.

∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AB, ∴AB1= B1B2+AB2= C1C2+AB2=2 3a. ∵AM2+B1M2=AB2 1,∴B1M⊥AM. 又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面 AMG. (理)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AB=BC=2,点 N 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 A1C1 上运动.

(1)试问点 P 在何处时,AB∥平面 PNC,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,若 AA1<AB,直线 B1C 与平面 BCP 所成角的正弦值为 -BP-C 的大小. [解析] (1)当点 P 为 A1C1 的中点时,AB∥平面 PNC. ∵P 为 A1C1 的中点,N 为 B1C1 的中点,∴PN∥A1B1∥AB ∵AB?平面 PNC,PN?平面 PNC,∴AB∥平面 PNC. (2)设 AA1=m,则 m<2,∵AB、BC、BB1 两两垂直, ∴以 B 为原点, BA、 BC, BB1 为 x 轴、 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0), C(0,2,0), B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m), ∴P(1,1,m),设平面 BCP 的法向量 n=(x,y,z), → → 则由 n· BP=0,n· BC=0,解得 y=0,x=-mz, → 令 z=1,则 n=(-m,0,1),又B1C=(0,2,-m), 直线 B1C 与平面 BCP 所成角正弦值为 10 , 10 10 ,求二面角 A 10



10 |n· B1C| = ,解之得 m=1 10 |n|· |B1C|

∴n=(-1,0,1) 易求得平面 ABP 的法向量 n1=(0,-1,1) n· n1 1 1 cosα= = ,设二面角的平面角为 θ,则 cosθ=- ,∴θ=120° . |n|· |n1| 2 2 [方法点拨] 1.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已 知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明二线平行. 2.要证线线平行,可考虑公理 4 或转化为线面平行. 3. 要证线面垂直可转化为证明线线垂直, 应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化. 14.(文)(2015· 东北三校二模) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 △ABC 为等边三角形,AB=4,AA1=5,点 M 是 BB1 的中点. (1)求证:平面 A1MC⊥平面 AA1C1C; (2)求点 A 到平面 A1MC 的距离. [解析] (1)证明:记 AC1 与 A1C 的交点为 E.连接 ME.

∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等边三角形,AB=4,AA1=5,点 M 是 BB1 的中点, ∴MA1=MA=MC1=MC= 89 . 2

因为点 E 是 AC1、A1C 的中点,所以 ME⊥A1C 且 ME⊥AC1, 从而 ME⊥平面 AA1C1C. 因为 ME?平面 A1MC,所以平面 A1MC⊥平面 AA1C1C. (2)过点 A 作 AH⊥A1C 于点 H, 由(1)知平面 A1MC⊥平面 AA1C1C,平面 A1MC∩平面 AA1C1C=A1C, ∴AH⊥平面 AA1C1C ∴AH 即为点 A 到平面 A1MC 的距离. 在△A1AC 中,∠A1AC=90° , 5×4 20 41 A1A=5,AC=4,∴A1C= 41,∴AH= = 41 41 20 41 即点 A 到平面 A1MC 的距离为 . 41 (理)(2015· 邯郸市二模)如图,在等腰梯形 CDFE 中,A,B 分别为底边 DF,CE 的中点,

AD=2AB=2BC=2,沿 AE 将△AEF 折起,使二面角 F-AE-C 为直二面角,连接 CF,DF.

(1)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (2)求点 D 到平面 ACF 的距离. [解析] 在等腰梯形 CDFE 中,由已知条件可得, CD=AC=AE=EF= 2,AF=AD=2, 所以,AE2+EF2=AF2,∴EF⊥EA;同理可证,DC⊥AC,AE⊥AC; 在四棱锥 F-AECD 中, ∵二面角 F-AE-C 为直二面角, ∴平面 AEF⊥平面 AECD, ∴EF⊥平面 AECD, ∵AC?平面 AECD,∴AC⊥EF, 又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面 AEF,∴平面 ACF⊥平面 AEF. (2)点 D 到平面 ACF 的距离即三棱锥 D-ACF 的高, 因为 VD-ACF=VF-ACD,AB=BC=1, 所以 AC= 2,AF=2 且 AC⊥AF, 1 所以 S△ACF= × 2×2= 2 2 又因为 AC=CD= 2且 AC⊥CD 1 所以 S△ACD= × 2× 2=1,EF= 2. 2 1 1 所以 × 2×d= ×1× 2,所以 d=1. 3 3 [方法点拨] 解决与折叠有关的问题,关键是搞清折叠前后的位置与数量关系的变化量与 不变量,对比找出平面图形与折叠后的空间图形之间的对应关系. 15.(文)(2015· 河南省高考适应性测试)如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=3,∠ ABC=90° ,CD 为∠ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,CE=4.如图 2 所示,将△BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥平面 ACD,连接 AB.

(1)求证:DE⊥平面 BCD;

(2)求三棱锥 A-BDE 的体积. [解析] (1)在图 1 中,

∵AC=6,BC=3,∠ABC=90° ,∴∠ACB=60° . 因为 CD 为∠ACB 的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30° , ∴CD=2 3 ∵CE=4,∠DCE=30° ,∴DE=2. 则 CD2+DE2=EC2,所以∠CDE=90° ,DE⊥DC. 又因为平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE?平面 ACD, 所以 DE⊥平面 BCD. (2)在图 2 中, 作 BH⊥CD 于 H, 因为平面 BCD⊥平面 ACD, 平面 BCD∩平面 ACD=CD,

BH?平面 BCD,所以 BH⊥平面 ACD. 3 在图 1 中,由条件得 BH= 2 所以三棱锥 A-BDE 的体积 1 1 1 3 3 VA-BDE=VB-ADE= S△ADE· BH= × ×2×2sin120° × = . 3 3 2 2 2 (理)(2015· 辽宁葫芦岛市一模) 如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方 形,点 E 在底面的圆周上,BF⊥AE,F 是垂足. (1)求证:BF⊥AC; (2)若 CE=1,∠CBE=30° ,求三棱锥 F-BCE 的体积. [解析] (1)证明:∵AB⊥平面 BEC,CE?平面 BEC,∴AB⊥CE ∵BC 为圆的直径 ∴BE⊥CE ∵BE?平面 ABE,AB?平面 ABE,BE∩AB=B ∴CE⊥平面 ABE ∵BF?平面 ABE ∴CE⊥BF 又 BF⊥AE,且 CE∩AE=E

∴BF⊥平面 AEC,AC?平面 AEC ∴BF⊥AC. (2)在 Rt△BEC 中,∵CE=1,∠CBE=30° ,∴BE= 3,BC=2

又∵ABCD 为正方形,∴AB=2,∴AE= 7 AB· BE 2 3 2 21 ∴BF= = = AE 7 7 ∴EF= BE2-BF2= 12 3 7 3- = 7 7

1 11 ∴VF-BCE=VC-BEF= · S · CE= · · EF· BF· CE 3 △BEF 32 1 1 3 7 2 21 3 = ·· · · 1= . 32 7 7 7 [方法点拨] 线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着 承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类 问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一 条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决. 16.(文)(2015· 山西太原市一模) 如图, 在底面是正三角形的直三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=2,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)求点 A1 到平面 AB1D 的距离. [解析] (1)证明:连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD,

∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴ABB1A1 是平行四边形, ∴O 是 A1B 的中点, ∵D 是 BC 的中点,∴OD∥A1C, ∵OD?平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D;

(2)由(1)知,O 是 A1B 的中点, ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离, ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴BB1⊥平面 ABC,∴平面 BCC1B1⊥平面 ABC,B1D=
2 BB2 1+BD = 5.

∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,∴AD⊥平面 BCC1B1, ∴AD⊥B1D, 设点 B 到平面 AB1D 的距离为 d,∵VB1-ABD=VB-AB1D, ∴S△ABD· BB1=S△AB1D· d, S△ABD· BB1 AD· BD· BB1 BD· BB1 2 5 ∴d= = = = . AD· B 1D B1D 5 S△AB1D 2 5 ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离为 . 5 (理)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90° ,平 1 面 PAD⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点,M 是棱 PC 的中点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD 2 = 3. (1)求证:PE⊥平面 ABCD; (2)求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值.

[解析] (1)∵PA=PD,E 为 AD 的中点,∴PE⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PE⊥平面 ABCD. (2)连接 EC,取 EC 中点 H,连接 MH,HB, ∵M 是 PC 的中点,H 是 EC 的中点,∴MH∥PE, 由(1)知 PE⊥平面 ABCD,∴MH⊥平面 ABCD, ∴HB 是 BM 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠MBH 即为 BM 与平面 ABCD 所成的角.

1 ∵AD∥BC,BC= AD,E 为 AD 的中点,∠ADC=90° , 2 1 ∴四边形 BCDE 为矩形,又 CD= 3,∴EC=2,HB= EC=1, 2 1 3 又∵MH= PE= , 2 2 ∴△MHB 中,tan∠MBH= MH 3 = , HB 2 3 . 2

∴直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为

(3)由(2)知 CD∥BE,∴直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所成角, 连接 ME,在 Rt△MHE 中,ME= 在 Rt△MHB 中,BM= 7 , 2 7 , 2

又 BE=CD= 3,∴△MEB 中, 7 7 +3- 4 4 BM +BE -ME 21 cos∠MBE= = = , 2BM· BE 7 7 2× × 3 2
2 2 2

∴直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为

21 . 7


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(12月月考)文科考试试题 Word版含答案(已解析)_...4 2 故答案为:B 【考点】空间几何体的三视图与...平行、相交、异面,不对; 对于 B ,由面面垂直...


辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题 物理 Word版含答案

学期12月月考试题 物理 Word版含答案_理化生_高中...在桌面正上方等高且与直导线 a 平行等距的位置, ...有一匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,长方形空间...


云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学(理)试题 Word版含解析

判定定理面面 垂直的判定定理,属于难题.解答空间几何体中的平行垂直关系时,...2 12 ? 12 ? 2 ,故答案为 2 . 考点:1、利用导数求切点坐标;2、点到...


百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第四模拟)试卷 Word版含解析

(第四模拟)试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育...【答案】 【解析】本题主要考查古典概型的概率计算...图形中的基本运算,熟练把握空间中的平行与垂直关系的...


山西省山大附中2014-2015学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

2015学年高二12月月考数学试题 Word版含答案_数学_...平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同...12 3 4 6 4.在空间直角坐标系中,点 P ?? 2...


吉林省长春市十一中2016届高三上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案

月月考试题 数学(理) Word版含答案_数学_高中教育...动点 P 在对角线 BD1 ,过点 P 作垂直于 BD1...OP 为 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 O - ...


山西省山大附中2014-2015学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

2015学年高二12月月考数学试题 Word版含答案_高二...平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同...12 3 4 6 4.在空间直角坐标系中,点 P?? 2,...


2015高考试题——数学文(四川卷)Word版含答案

2015高考试题——数学文(四川卷)Word版含答案_高考...? an ? 17、(本小题满分 12 分) 一辆小客车上...面平行与垂直的判定与性质等基础知识, 考查空间想象...

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