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2014-2015学年高中数学 第二章 数列章末检测(B)新人教A版必修5


【步步高】2014-2015 学年高中数学 第二章 数列章末检测(B) 新人教 A 版必修 5
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在等差数列{an}中,a3=2,则{an}的前 5 项和为( ) A.6 B.10 C.16 D.32 2. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2, 则公比

q 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.在等比数列{an}中,Tn 表示前 n 项的积,若 T5=1,则( ) A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1 5 5.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则数列{an}的通项公式为( ) 4 4-n n-4 n-3 3-n A.an=2 B.an=2 C.an=2 D.an=2 6. 已知等比数列{an}的前 n 项和是 Sn, S5=2, S10=6, 则 a16+a17+a18+a19+a20 等于( ) A.8 B.12 C.16 D.24 1 7.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a10- a12 的值为( ) 2 A.10 B.11 C.12 D.13 8.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 5 项为 ,则 S5 等于( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 9.已知等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和.若 S16>0,且 S17<0,则当 Sn 最大时 n 的值 为( ) A.8 B.9 C.10 D.16 1 2 2 10.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列,则 2 |m-n|等于( ) 3 5 9 A.1 B. C. D. 2 2 2 11 .将正偶数集合 {2,4,6,?}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组: {2,4}, {6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},?.则 2 010 位于第( )组. A.30 B.31 C.32 D.33 12.a1,a2,a3,a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0,若将此数列删去某一项得到 的数列(按原来的顺序)是等比数列,则 的值为( 题号 答案 A.-4 或 1 1 2 B.1 3 4 C.4 5

a1 d

) 8 9 10 11 12

D.4 或-1 6 7

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=-1,公和为 1,那么这个数列的前 2 011 项和 S2 011=________. 14.等差数列{an}中,a10<0,且 a11>|a10|,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则使 Sn>0 的 n 的 最小值为__________.

15.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的 20%,要使水中杂质 减少到原来的 5%以下,则至少需过滤的次数为________.(lg 2≈0.301 0) 2 16.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则它的通项公式是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 1 1 n+1 * 17.(10 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=( ) (n∈N ). 3 3 (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值.

18.(12 分)已知点(1,2)是函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象上一点,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=logaan+1,求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.

x

1 1 1 1 1 19.(12 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3, S4 的等比中项为 S5; S3, S4 3 4 5 3 4 的等差中项为 1,求数列{an}的通项公式.

20.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1). (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 1 1 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< . anan+1 5 4

21.(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,已知 a1=1,b1=3,a2+b2=8,T3-S3=15. (1)求{an},{bn}的通项公式; n+1 * (2)若数列{cn}满足 a1cn+a2cn-1+?+an-1c2+anc1=2 -n-2 对任意 n∈N 都成立,求 证:数列{cn}是等比数列.

22.(12 分)甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为 a 万元,由于经营方式 不同,甲超市前 n 年的总销售额为 (n -n+2)万元,乙超市第 n 年的销售额比前一年销售 2 ?2?n-1 额多 a? ? 万元. ?3? (1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式; (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%,则该超市将被另一超 市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?

a

2

第二章





章末检测(B)

答案

5?a1+a5? 1.B [S5= =5a3=10.] 2 2.B [∵3S3=a4-2,3S2=a3-2. ∴3(S3-S2)=a4-a3,∴3a3=a4-a3. ∴a4=4a3.∴q=4.] 3.C [当项数 n 为偶数时,由 S 偶-S 奇= d 知 2 30-15=5d,∴d=3.] 4.B [T5=a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3 =a53=1.∴a3=1.] a4+a6 1 1 3 5.A [q = = ,∴q= . a1+a3 8 2 5 2 ∵a1+a3=a1(1+q )= a1=10,∴a1=8. 4 1 n-1 n-1 4-n ∴an=a1·q =8·( ) =2 .] 2 6.C [∵S10=6,S5=2,S10=3S5.∴q≠1.

n

? ? ∴? ?S ?

a1?1-q5? S5= 1-q
10



a1?1-q ? 1-q

10



S10 5 5 =1+q =3.q =2. S5
15

∴a16+a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4+a5)q 15 3 =S5·q =2×2 =16.] 7.C [a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,a8=24. 1 1 ∴a10- a12= (2a10-a12) 2 2 1 1 = [2(a1+9d)-(a1+11d)]= (a1+7d) 2 2 1 = a8=12.] 2 8.C [设公比为 q(q≠0),则由 a2a3=2a1 知 a1q3=2,∴a4=2. 5 1 又 a4+2a7= ,∴a7= . 2 4 1 ∴a1=16,q= . 2 1 5 16[1-? ? ] 5 2 a1?1-q ? ∴S5= = =31.] 1-q 1 1- 2 16?a1+a16? 9.A [∵S16= =8(a8+a9)>0, 2 ∴a8+a9>0.

17?a1+a17? ∵S17= =17a9<0. 2 ∴a9<0,∴a8>0. 故当 n=8 时,Sn 最大.] 1 10.B [易知这四个根依次为: ,1,2,4. 2 1 2 不妨设 ,4 为 x -mx+2=0 的根, 2 2 1,2 为 x -nx+2=0 的根. 1 9 ∴m= +4= ,n=1+2=3, 2 2 9 3 ∴|m-n|=| -3|= .] 2 2 11.C [∵前 n 组偶数总的个数为: ?2+2n?n 2 2+4+6+?+2n= =n +n. 2 2 ∴第 n 组的最后一个偶数为 2+[(n +n)-1]×2=2n(n+1). 令 n=30,则 2n(n+1)=1 860; 令 n=31,则 2n(n+1)=1 984; 令 n=32,则 2n(n+1)=2 112. ∴2 010 位于第 32 组.] 2 12.A [若删去 a1,则 a2a4=a3, 2 即(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d) ,化简,得 d=0,不合题意; 2 若删去 a2,则 a1a4=a3, 即 a1(a1+3d)=(a1+2d) ,化简,得 =-4; 若删去 a3,则 a1a4=a2, 即 a1(a1+3d)=(a1+d) ,化简,得 =1; 若删去 a4,则 a1a3=a2, 2 即 a1(a1+2d)=(a1+d) ,化简,得 d=0,不合题意.故选 A.] 13.1 004 解析 a1=-1,a2=2,a3=-1,a4=2,?, ∴a2 011=-1,∴S2 011=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2 009+a2 010)+a2 011=1 005×1+(- 1) =1 004. 14.20 19?a1+a19? ∵S19= =19a10<0; 2 20?a1+a20? S20= =10(a10+a11)>0. 2 ∴当 n≤19 时,Sn<0;当 n≥20 时,Sn>0. 故使 Sn>0 的 n 的最小值是 20. 15.14 解析 设原杂质数为 1,各次过滤杂质数成等比数列,且 a1=1,公比 q=1-20%, n ∴an+1=(1-20%) ,由题意可知: n n (1-20%) <5%,即 0.8 <0.05. 两边取对数得 nlg 0.8<lg 0.05, lg 0.05 ∵lg 0.8<0,∴n> , lg 0.8 解析
2 2 2 2

a1 d

a1 d

lg 5-2 1-lg 2-2 -lg 2-1 即 n> = = lg 8-1 3lg 2-1 3lg 2-1 -0.301 0-1 ≈ ≈13.41,取 n=14. 3×0.301 0-1
?2 ?n=1? ? 16.an=? ?6n-5 ?n≥2? ? 解析 当 n=1 时, a1=S1=3-2+1=2. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 2 2 =3n -2n+1-[3(n-1) -2(n-1)+1] =6n-5. 则当 n=1 时,6×1-5=1≠a1, ? ?n=1? ?2 ∴an=? ?6n-5 ?n≥2? ?

.

1 n+1 1 n+1 * (1)由 Sn+1-Sn=( ) 得 an+1=( ) (n∈N ), 3 3 1 1 n * 又 a1= ,故 an=( ) (n∈N ). 3 3 1 1 n ×[1-? ? ] 3 3 1 1 n * 从而 Sn= = [1-( ) ](n∈N ). 1 2 3 1- 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 3 9 27 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列得 1 4 13 1 4 +3×( + )=2×( + )t,解得 t=2. 3 9 27 3 9 x 18.解 (1)把点(1,2)代入函数 f(x)=a 得 a=2, n 所以数列{an}的前 n 项和为 Sn=f(n)-1=2 -1. 当 n=1 时,a1=S1=1; n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -2 =2 , n-1 对 n=1 时也适合,∴an=2 . (2)由 a=2,bn=logaan+1 得 bn=n, n-1 所以 anbn=n·2 . 0 Tn=1·2 +2·21+3·22+?+n·2n-1, 1 2 3 n-1 n 2Tn=1·2 +2·2 +3·2 +?+(n-1)·2 +n·2 . 由①-②得: 0 1 2 n-1 n -Tn=2 +2 +2 +?+2 -n·2 , n 所以 Tn=(n-1)2 +1. 17.解 19.解 设等差数列{an}的首项 a1=a,公差为 d,则 Sn=na+
2

① ②

n?n-1? d,依题意,有
2

3×2 ? 1? 4×3 ? 1 ? 5×4 ? 1? 3a+ d?× ?4a+ d?= ?5a+ d , ? 2 2 2 ? ?3? ? ? 4? ? 25? ? ?1? 3×2 ? 1? 4×3 ? 3a+ d + ?4a+ d =1×2, ? 2 ? 2 ? ?3? ? ? 4? ?

3ad+5d =0, ? ? 整理得? 5 2a+ d=2, ? 2 ? 12 ∴a=1,d=0 或 a=4,d=- . 5 32 12 ∴an=1 或 an= - n, 5 5 32 12 经检验,an=1 和 an= - n 均合题意. 5 5 32 12 ∴所求等差数列的通项公式为 an=1 或 an= - n. 5 5 20.(1)解 由 Sn=nan-2n(n-1)得 an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n, 即 an+1-an=4. ∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列, ∴an=4n-3. 1 1 1 (2)证明 Tn= + +?+

2

a1a2 a2a3

anan+1

1 1 1 1 + + +?+ 1×5 5×9 9×13 ?4n-3?×?4n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 4 5 5 9 9 13 4n-3 4n+1 1 1 1 = (1- )< . 4 4n+1 4 又易知 Tn 单调递增, 1 1 1 故 Tn≥T1= ,得 ≤Tn< . 5 5 4 21.(1)解 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(q>0). ? ?d+3q=7, 由题意得? 2 ?q+q -d=5, ? = 解得?
? ?d=1, ?q=2. ?

∴an=n.bn=3×2

n-1

.
n+1

(2)证明 由 cn+2cn-1+?+(n-1)c2+nc1=2 -n-2, n 知 cn-1+2cn-2+?+(n-2)c2+(n-1)c1=2 -(n-1)-2(n≥2). n 两式相减:cn+cn-1+?+c2+c1=2 -1(n≥2), n-1 ∴cn-1+cn-2+?+c2+c1=2 -1(n≥3), n-1 ∴cn=2 (n≥3). 当 n=1,2 时,c1=1,c2=2,适合上式. n-1 * ∴cn=2 (n∈N ), 即{cn}是等比数列. 22.解 (1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an,bn.则有:a1=a,n≥2 时:

a a an= (n2-n+2)- [(n-1)2-(n-1)+2]

2 2 =(n-1)a. ? n=1, ?a, ∴an=? ??n-1?a, n≥2. ? bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)

?2? ?2?2 ?2?n-1 =a+a? ?+a? ? +?+a? ? ?3? ?3? ?3? 2 ? ? ?n-1? * =?3-2? ? ?a,(n∈N ). ? ?3? ? (2)易知 bn<3a,所以乙超市将被甲超市收购, 1 ? ?2?n-1? 1 由 bn< an 得:?3-2? ? ?a< (n-1)a. 2 ? ?3? ? 2 ?2?n-1 ∴n+4? ? >7,∴n≥7. ?3? 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.


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