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第二讲 证明不等式的基本方法 讲末测试(人教A版选修4-5)


讲末质量评估(二)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a>2,b>2,则有 A.ab≥a+b C.ab>a+b 解析 B.ab≤a+b D.ab<a+b ( ).

a+b 1 1 作商比较法

. ab =b+a,又 a>2,b>2,

a+b 1 1 1 1 1 1 ∴a< ,b< ,∴ ab < + =1. 2 2 2 2 答案 C ).

2. 若 0<a1<a2,0<b1<b2, 且 a1+a2=b1+b2=1, 则下列代数式中值最大的是( A.a1b1+a2b2 C.a1b2+a2b1 解析 特殊值法. B.a1a2+b1b2 D. 1 2

1 3 1 3 令 a1= ,a2= ,b1= ,b2= , 4 4 4 4 则 a1b1+a2b2= a1b2+a2b1= 10 5 6 3 = ,a1a2+b1b2= = , 16 8 16 8

6 3 5 1 3 = ,∵ > > , 16 8 8 2 8

∴最大的数应是 a1b1+a2b2.该题也可用作差法来判断. 答案 A ( ).

3.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 的大小关系是 A.a<b C.a=b 解析 a=lg 2+lg 5=lg 10=1, B.a>b D.a≤b

∵x<0,∴b=ex<e0=1,∴a>b. 答案 B

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4.若 0<x<y<1,则 A.3y<3x C.log4x<log4y 解析 B.logx3<logy3 ?1? ?1? D.?4?x<?4?y ? ? ? ?

(

).

∵y=3x 在 R 上是增函数,且 0<x<y<1,∴3x<3y,故 A 错误.

∵y=log3x 在(0,+∞)上是增函数且 0<x<y<1, ∴log3x<log3y<log31=0, 1 1 ∴0> > ,∴logx3>logy3,故 B 错误. log3x log3y ∵y=log4x 在(0,+∞)上是增函数且 0<x<y<1, ∴log4x<log4y,故 C 正确. ?1? ∵y=?4?x 在 R 上是减函数,且 0<x<y<1, ? ? ?1? ?1? ∴?4?x>?4?y,故 D 错误. ? ? ? ? 答案 C
? ?

? 1 1? 5.若不等式 2x2+ax+b<0 的解集为?x|-2<x<3?,则 a-b 的值是

(

).

A. C.

1 3 1 6 a 1 b 1 - =- , =- . 2 6 2 6

B.

2 3 1 12

D.

解析

1 ? 1? 2 ∵a-b= -?-3?= . 3 ? ? 3 答案 B

6.设关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两个实根一个大于 1,另一个小于 1, 则实数 k 的取值范围是 A.k>0 C.k<-4 解析 依题意 B.k>1 D.k>0 或 k<-4 ( ).

设方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两个实根分别为 x1,x2 且 x1<1,x2>1,

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?Δ=4-8k?-3k-2?>0, ? ? 3k+2 2 ?x1-1??x2-1?=- - +1<0, ? 2k 2k ? 解得 k>0 或 k<-4,故选 D. 答案 D ( ).

7.若 p<0,-1<q<0,则 p、pq、pq2 间的大小关系是 A.p>pq>pq2 C.pq>p>pq2 解析 B.pq2>pq>p D.pq>pq2>p

由-1<q<0 得 1>q2>q,又 p<0,

∴p<pq2<pq. 答案 D ( ).

8.下列命题中,命题 M 是命题 N 成立的充要条件的一组命题是 A.M:a>b,N:ac2>bc2 B.M:a>b,c>d,N:a-d>b-c C.M:a>b>0,c>d>0,N:ac>bd D.M:|a-b|=|a|+|b|,N:ab≤0 解析

对于 A,M 是 N 的必要不充分条件,对于 B,M 是 N 的充分不必要

条件,对于 C,M 是 N 的充分不必要条件,对于 D,M 是 N 的充要条件, 故选 D. 答案 D ( ).

9.已知 0<a<b,且 a+b=1,则下列不等式中正确的是 A.log2a>0 C.log2a+log2b<-2 解析 法二 法一 B.2a-b< 1 2

a b 1 D.2b+a< 2

1 2 特值法.令 a= ,b= 代入可得. 3 3

因为 0<a<b 且 a+b=1,

所以 0<a<1,所以 log2a<0. 1 -1<a<b<0 所以 <2a-b<1, 2

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b a b a 又因为a+b>2 所以 2a+b>4, ?a+b?2 1 ?= , 而 ab<? ? 2 ? 4 所以 log2a+log2b<-2 成立. 答案 C α |, N=|cos 1 α|, P= |sin α+cos α|, Q= 2 ( B.M>P>N>Q D.N>P>Q>M 1 sin 2α, 2 ).

5 ? ? 10. 若 a∈?π,4π?, M=|sin ? ?

则它们之间的大小关系为 A.M>N>P>Q C.M>P>Q>N 解析

5π? 1 ? ∵α∈?π, 4 ?, ∴0>sin α>cos α, ∴|sin α|<|cos α|, ∴P= |sin α+cos α| ? ? 2

1 1 = (|sin α|+|cos α|)> (|sin α|+|sin α|)=|sin α|=M,排除 A、B、C,故选 D 2 2 项. 答案 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中横线 上) 11.某工厂第一年年产量为 A,第二年增长率为 a,第三年增长率为 b,则这两 年的平均增长率 x 与 解析 a+b 的大小关系是______________. 2

设平均增长率为 x,则 A(1+x)2=A(1+a)(1+b)

?1+a+1+b?2 ? a+b?2 ? =?1+ ?. ?(1+x)2≤? 2 2 ? ? ? ? ∴x≤ 答案 a+b . 2 x≤ a+b 2

12.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是 ________. 解析 三角形的内角中钝角的个数可以为 0 个,1 个,最多只有一个即为 0

个或 1 个,其对立面是“至少两个”.
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答案

三角形中至少有两个内角是钝角

13. 不等式|x+1|-|x-1|<m 的解集是 R 的非空真子集, 则实数 m 的取值范围是 ________. 解析 由||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,

知-|a-b|≤|a|-|b|≤|a-b|, 可得-2≤|x+1|-|x-1|≤|(x+1)-(x-1)|=2. 因此,满足条件的实数 m 应取-2≤m≤2. 答案 [-2,2]

14.请补全用分析法证明不等式“ac+bd≤ ?a2+b2??c2+d2?”时的推论过程: 要证明 ac+bd≤ ?a2+b2??c2+d2?, ①____________________________________________________________. 只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 即要证:a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2, 即要证:a2d2+b2c2≥2abcd. ②____________________________________________________________. 解析 即可. 答案 ①因为当 ac+bd≤0 时,命题显然成立,所以当 ac+bd≥0 时 对于①只有当 ac+bd≥0 时,两边才能平方,对于②只要接着往下证

②∵(ad-bc)2≥0,∴a2d2+b2c2≥2abcd,∴命题成立 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 15.(10 分)求证:a2+b2+3≥ab+ 3(a+b). 证明 ∵a2+b2≥2ab,

a2+3≥2 3a,b2+3≥2 3b; 将此三式相加得 2(a2+b2+3)≥2ab+2 3a+2 3b, ∴a2+b2+3≥ab+ 3(a+b). 16.(10 分)已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: 1 a+ + 2 1 b+ ≤2. 2

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证明

1 a+ + 2

1 b+ ≤2 2 ? 1?? 1? ?a+2??b+2?≤4 ? ?? ?

1 1 ?a+ +b+ +2 2 2 ?

? 1?? 1? ?a+2??b+2?≤1 ? ?? ? a+b 1 + ≤1 2 4

?ab+

1 ?ab≤ , 4 ∵a>0,b>0,且 a+b=1, ?a+b?2 1 ? = 成立,故 ∴ab≤? ? 2 ? 4 1 a+ + 2 1 b+ ≤2. 2

17.(10 分)实数 a、b、c、d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a、b、c、 d 中至少有一个是负数. 证明 假设 a、b、c、d 都是非负数,

即 a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, 则 1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知中 ac+bd>1 矛盾,∴原假设错误, ∴a、b、c、d 中至少有一个是负数. 18.(10 分)已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证: ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?b-1?· ?c-1?≥8; (1)?a-1?· ? ?? ?? ? 1 2 4 (2)a+b+ c≥18. 证明 (1)∵a,b,c∈R+,∴a+b≥2 ab,a+c≥2 ac,b+c≥2 bc.

又∵a+b+c=1, 2 ac· 2 ab 8abc ?1 ??1 ??1 ? ?b+c??a+c??a+b? 2 bc· ∴?a-1??b-1??c-1?= ≥ = abc =8. abc abc ? ?? ?? ? 3 8 3 1 2 4 (2)∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,∴a+b+c≥3 abc,a+b+c≥3 abc, 1 2 4 ?1 2 4? ?a+b+ c? ∴a+b+ c=1· ? ?

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?1 2 4? =(a+b+c)?a+b+ c? ? ? ≥3 abc· 3 3 3 8 abc=18.

19.(10 分)数列{an}为等差数列,an 为正整数,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}为等 比数列,且 a1=3,b1=1,数列{ban}是公比为 64 的等比数列,b2S2=64. (1)求 an,bn; 1 1 1 3 (2)求证: + +?+S < . S 1 S2 4 n (1)解 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正整数,

an=3+(n-1)d,bn=qn-1, ban+1 q3+nd ? b =q3+?n-1?d=qd=64=26, 依题意有? an

?S2b2=?6+d?q=64,



由(6+d)q=64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一,解①得 d=2, q=8. 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. (2)证明 ∵Sn=3+5+?+(2n+1)=n(n+2).

1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +?+S = + + +?+ S1 S2 n?n+2? n 1×3 2×4 3×5 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 = ?1-3+2-4+3-5+?+n-n+2? 2? ? 1 1 ? 3 1? 1 = ?1+2-n+1-n+2?< . 2? ? 4

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