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数学:7.7《数列的极限》教案


7.7(1)数列的极限
一、教学内容分析 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一,因为微积分中其它重要的基本概念 (如导数、微分、积分等)都是用极限概念来表述的,而且它们的运算和性质也要用极限的 运算和性质来推导,同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习,所以,极限概念的掌握 至关重要. 二、教学目标设计 1.理解数列极限的概念,能初步根据数列极限的定义确定一些简单

数列的极限.

2.观察运动和变化的过程,初步认识有限与无限、近似与精确、 量变与质变的辩证关系,提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美 能力.
3.利用刘徽的割圆术说明极限,渗透爱国主义教育,增强民族自豪感和数学学习 的兴趣. 三、教学重点及难点

重点:数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点:数列极限的定义的理解. 四、教学用具准备

电脑课件和实物展示台,通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发 思考、化解难点,即对极限定义的理解,使学生初步的完成由有限到无限的过渡,运用实 物展示台来呈现学生的作业,指出学生课堂练习中的优点和不足之处,及时反馈. 五、教学流程设计 实例引入

概念 符号

数列的极限

几何 理解

运用与深化(例题解析、巩固练习)

课堂小结并布置作业

六、教学过程设计 一、 情景引入 1、创设情境,引出课题 1. 观察 教师:在古代有人曾写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话 意思? 学生:一根一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取第一天剩下的一半,?? ,如此 继续下去,永远也无法取完. 2. 思考

教师:如果把每天取得的木棒长度排列起来,会得到一组怎样的数? 学生 : 3.讨论 教师; 随着 n 的增大,数列 ?an ? 的项会怎样变化? 学生: 慢慢靠近 0. 教师:这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课 2、观察归纳,形成概念 (1)直观认识 教师:请同学们考察下列几个数列的变化趋势 (a)

1 1 1 1 , , , ?? , n , ? 2 4 8 2

1 1 1 1 , 2 , 3 ,?, n ,? 10 10 10 10
②但都大于 0

①“项”随 n 的增大而减小

③当 n 无限增大时,相应的项 (b) ? 1, ,? ,?,

1 可以“无限趋近于”常数 0 10 n

1 2

1 3

(?1) n ,? n

①“项”的正负交错地排列,并且随 n 的增大其绝对值减小 ②当 n 无限增大时,相应的项 (c)

(?1) n 可以“无限趋近于”常数 0 n

1 2 3 n , , , ?, ,? 2 3 4 n ?1
②但都小于 1

①“项”随 n 的增大而增大 ③当 n 无限增大时,相应的项

n 可以“无限趋近于”常数 1 n ?1

教师:用电脑动画演示数列的不同的趋近方式: (a)从右趋近 (c)从左趋近 (b)从左右 两方趋近,使学生明白不同的趋近方式 教师:上面的庄子讲的话体现了极限的思想,其 实我们的先

辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽 于公元前 263 年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长, 得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字:“割 之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆和体,而无所失矣.” 概念辨析 教师:归纳数列极限的描述性定义 学生:一般地,如果当项数 n 无限增大时,数列 ?an ? 的项无限的趋近于某一个常数 n 那么 就说数列 ?an ? 以 a 为极限. 教师:是不是每个数列都有极限呢? 学生 1:(思考片刻)不是.如 an ? n 学生 2: an ? n 2

an ? (?1) n

教师:请大家再看一下,下面的数列极限存在吗?如果有,说出极限.

? 1 ? (a) an ? ? n n ?1 ? ? n

n 是奇数 n 是偶数
n

(b)无穷数列: 0.3,0.33,0.333 ,?,0.333 ? 3,? ?? ? 学生 1:数列(a)有极限,当n 是奇数时,数列?an ? 的极限是 0,当n 是偶数时,数列?an ? 的极限是 1.数列(b)的极限是 0.4. 教师: 有不同意见吗? 学生 2:数列(b)的极限是 0.34 学生 3:数列(b)的极限不存在 (这时课堂上的学生们都在纷纷议论,大家对数列(b)的极限持有各自不同的观点,但对 数列(a)的极限的认识基本赞同学生 1 的观点.) 教师: 数列(a)有极限吗?数列(b)的极限究竟是多少?(学生们沉思) 学生 4:数 列 ( a) 没 极 限 , 原 因 是 极 限 的 描 述 性 定 义 中 要 求 趋 近 与 一 个 常 数,数 列 ( b) 的 极 限 是 . 教师:回答的非常正确(用动画演示数列(b)的逼近过程),同学们对(a)判断错误的原 因是对描述性定义还未很好的理解.对 (b) 判断错误的原因是描述性定义的局限性导 致的,数列(b)随着 n 的无限增大,它会趋近于 0.4、0.34、0.334,但是接近到一 定的程度就不在接近了,所以无限的接近必须有量化的表述. (2)量化认识 教师:用什么来体现这种无限接近的过程呢? 学生:用 n an 和 a 之间的距离的缩小过程,即 an ? a 趋近 0 教师:现在以数列 n an ?

1 3

( ?1) n 为例说明这种过程观察: n

距离量化: a n ? 0 ? 为ε ),只要n

( ?1) n 1 1 ?0 ? , 随着n 的增大, 的值越来越小, 不论给定怎样小的一个正数 (记 n n n
1 n

n 充分的大,都有 比给定的正数小.

教师:请同桌的两位同学,一个取ε ,另一个找 n . 问题拓展 学生:老师再来几个其它的数列

1 1 1 1 教师:以上我们以提到的 1 , 1 , 1 , ?? , 1n , ? 和 1 ? ,1 ? 2 ,1 ? 3 ,?,1 ? n ,? 为 10 10 10 10 2 4 8 2
例,大家可以再操作一下. 教师:(学生问答完毕)大家作了这项活动以后有什么感受? 学生:只要数列有极限,对于给定的正数ε ,总可以找到一项 a N ,使得它后面的所有的项 与数列的极限的差的绝对值小于ε . 教师:顺理成章的给出数列极限的 ? ? N 定义: 一般地,设数列 ?an ? 是一个无穷数列, a 是一个常数,如果对于预先给定的任意小的 正数ε , 总存在正整数 N, 使得只要正整数 n ? N , 就有 an ? a ? ? , 那么就说数列 ?an ? 以

a 为极限,记作 lim a n ? a ,或者 n ? ? 时 an ? a .
n??

教师:常数数列的极限如何? 学生:是这个常数本身. 教师:为什么? 学生:因为极限和项的差的绝对值为 0,当然比所有给定的正数小. 三、巩固练习 讲授例题 已知数列 ?

? n ? 1? ? ? n ? 1?

① 把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来. ②写出 n an ? 1 的解析式. ③?

1 ? n ? 1? ? 中的第几项以后的所有项都满足 an ? 1 ? 100 ? n ? 1?

④指出数列 ?

? n ? 1? ? 的极限. ? n ? 1?

课堂练习 第 41 至 42 的练习. 四、课堂小结

①无穷数列是该数列有极限的什么条件. ②常数数列的极限就是这个常数. ③数列极限的描述性定义. ④数列极限的 ? ? N 的定义. 五、作业布置 1.课本第 42 页习题 2,3,4 2.根据本节课的学习,结合你自己对数列极限的体会,写一篇《我看极限》的短文,格式 不限(本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.) 七、教学设计说明 对于数列极限的学习, 对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃, 由于学生知识结构 的局限性和学习习惯、方法的影响,学习过程中的困难会较大,根据一般的认识规律和学生 的心理特征,设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤,由浅入深,由表及里, 由感性到理性的逐步深化,力求使学生很好的理解极限的概念.


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