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解析几何中的对称问题


解析几何中的对称问题
1.原点关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点坐标为( )

图象是( )
y

y -1
1

y 1

y

1 O x

2

2 2 (A) ( , ) 2 2
<

br />(B) ( 2, 2)

2 (C) ( , 2) 2
2

(D) (1,1)

O -1

2

x

-2

O -1

x

-2

-1 O

1

x

2.已知曲线 C 与 C′关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称,若 C 的方程为 x (A) x ? y ? 8x ? 8 y ? 31 ? 0
2 2 2 2

? y2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 , 则 C′的方程为( )

A

B

C

D

(B) x ? y ? 8x ? 8 y ? 31 ? 0 (D) x 2 ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 31 ? 0

2 10. 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? , 若 l ? 与椭圆 x ?

(C) x 2 ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 31 ? 0

y2 ? 1 的交点为 A、 B、 , 点P 为 4

3.一束光线经过点 P(2,3)射到直线 x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1) ,那么入射光线所在直线 方程为 (A)5x+4y+2=0 (B)5x-4y+2=0 (C)5x-4y-2=0 (D)5x+4y-22=0

椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为

1 的点 P 的个数为( ) 2
(D)4 .

(A)1 (B)2 (C)3 11.直线 y=3x-4 关于点 P(2 ,-1)对称的直线 l 的方程是 D.-10 ) 13.曲线 4 x2 + 9 y 2 = 36 关于直线 x = 4 对称的曲线方程是

4.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合, 若点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n 的值为 A.4 B.-4 C.10

12.一个以原点为圆心的圆与圆 x2 + y 2 + 8x - 4 y = 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 。 。

5.若直线 l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l2 恒过定点( A. (2 , 0) 6.已知圆 C 与圆 ( x ? 1) (A) ( x ? 1) (C) x
2

B. (1, ? 1)
2

C. (1 ,1) (B) x
2

D. ( ?2 , 0)

14.曲线 x2 - 2 y 2 - 2 x + 8 y - 11 = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线方程为

? y 2 ? 1关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为

2

? y ?1
2

? y ?1
2

15。已知椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有 4 3

? ( y ? 1) 2 ? 1

(D) x

2

? ( y ? 1) 2 ? 1

不同两点关于直线对称。 16.为了使抛物线 ( y ? 1) ? x ? 1 上存在两点关于直线 y ? mx 对称,求 m 的取值范围。
2

7.已知抛物线 y ? ? x 2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 (A)3 (B)4
2 2

(C) 3 2

(D) 4 2

y2 ? 1 ,双曲线存在关于直线 y ? kx ? 4 的对称点,求实数 k 的取值范围。 17.已知双曲线 x ? 3
2

8.如果直线 y=kx+1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y=0 对称,

18.已知抛物线 y2=2px (p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,求 p 的取值范围。

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 则不等式组:?kx ? m y ? 0 表示的平面区域的面积是 ( ) ?y ? 0 ?
9.在平面直角坐标系中,已知曲线 C :

A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

19 .

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1,F2 在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M, 9 5

x2 ? y2 ? 1 ( 0 ? x ? 2 ) ,那么曲线 C 关于直线 y ? x 对称的曲线 4

求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆的方程。

1

20.已知直线 l : x - y - 1 = 0 及双曲线 c : x2 - 3 y 2 = 3 ,求以 c 的焦点与直线 l 有公共点,且实轴最长 的双曲线方程。 21.(2005 广东卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1, AB、 AD边分别在x轴、 y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示) .将矩形折叠,使A点落在线段DC上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; y D C (Ⅱ)求折痕的长的最大值. A O B x

(2)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2 , ①求此时椭圆 G 的方程; ②设斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,问:A、B 两点能否 关于过点 P (0, 3 ) 、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围,若不能,请说明理由. 3 23. (2005 湖北卷)设 A、B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.

22. 已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l:y=ex+a 与 a2 b2
24 已知双曲线 C 的中心在原点,抛物线 y 2 ? 2 5x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线过点

x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点, 设 AM =λ AB . (Ⅱ)若 ? ? (Ⅰ)证明:λ =1-e2;

(1, 3) 。 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;
(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,试问: y ①当 k 为何值时,有 OA ? OB ; A B F2 C x ②是否存在实数 k ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? mx( m 为常数)对称?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由。

3 ,△MF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; 4

(Ⅲ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形 27.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两 点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该 弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线 的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

F1

O

? 3) 为 ?OAB 的直角顶点,已知 28.. (03 年上海)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,
且点 B 的纵坐标大于零。
2 2

AB ? 2 OA



(1)求向量 AB 的坐标。 (2)求圆 x ? 6x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程。 (3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在,说明理由;
2

若存在,求 a 的取值范围。 30.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点 F1 (?C,0), F2 (c,0) ,M 是椭圆上一点,且满足有向线段 a2 b2

(1)求离心率 e 的取值范围; F1M ? F2 M ? 0 。
2

(Ⅱ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; 25.抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有

41 抛物线 y =2px(p>0).一光源在点 M( ,4)处,由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上 4
2

(Ⅲ )设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点,点 Q 为线段 AB 上的动点,求点 Q 到 F2 的 距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点 Q 的坐标.

的点 P,折射后又射向抛物线上的点 Q,再折射后,又沿平行于抛物线的轴的方向射出,途中遇到直线 l:2x-4y-17=0 上的点 N,再折射后又射回点 M(如下图所示) (1)设 P、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明:y1?y2=-p2; (2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点 M 关于 PN 所在的直线对称?若存在,请求出此点 的坐标;若不存在,请说明理由.

解析几何中的对称问题答案
1、D 2、 A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.A 9.B 10、B 3.B.因为入射光线必过点 P 所以将点 P 坐标代入可排除 A.C 即而求出点 Q 关于直线 x+y+1=0 的对称 点 Q’(-2,-2)则入射光线的斜率为 k PQ ' ?

5 可选 B。 4

4.C 点(7,3)与点(m,n)关于直线 y=x+2 对称,∴m=1,n=9. 5.C 由 l1 过定点 M (0 , 2) 知:直线 l2 恒过 M 关于直线 y ? x ? 1 的对称点 (1 ,1) ,选 C。

26.过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 y=

2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 2

? y ? ? x2 ? 3 ? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 , 7.解析:选 C.设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由 ? ?y ? x ?b
进而可求出 AB 的中点 M ( ? , ? ? b) ,又由 M ( ?

1 x 过线段 AB 的中点, 同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称, 试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 2

1 2

1 2

1 1 , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 ,∴ 2 2

x 2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 12 12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .本题考查直线与圆锥曲线的位置
关系. 11.y=3x-10 13. 4 x2 - 64 x + 9 y 2 + 220 = 0 12.2x-y + 5=0 14 . x2 - 2 y 2 + 2 y - 8x - 11 = 0

15.椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,代入方程,相减得

3( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? 0 。
又x ?

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? ? ,代入得 y ? 3x 。 ,y ? 1 ,k ? 1 2 2 x1 ? x 2 4

29 . 一 束 光 线 从 点 F1 (?1, 0) 出 发 , 经 直 线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上 一 点 P 反 射 后 , 恰 好 穿 过 点

又由 ?

? y ? 3x 解得交点 ( ? m,?3m) 。 ?y ? 4x ? m

F2 (1 , 0) . (Ⅰ)求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标;

交点在椭圆内,则有

( ? m) 2 ( ?3m) 2 ? ? 1。 4 3

得?

2 13 2 13 ?m? 。 13 13
3

16 . 两 点 所 在 直 线 y ? ?

m?2 m?2 ? 1) 2 ? ? ? 1 ,解得 ?2 ? m ? 0 。 2m 2m 骣 3鼢 骣 1 鼢 骣 1 骣3 珑 鼢 ? , ? 热 0, ,+ 17. k ? 珑 珑 珑 鼢 桫 , 0鼢 珑 珑 3 鼢珑 2 鼢 桫 2 桫3 桫 (?

m?2 m?2 m?2 与 y ? mx 联 立 求 出 交 点 ( ? ,? ) ,代入抛物线内,有 2 2m 2

由于直线 l 应与此椭圆相切,必须且只需Δ =144m4-4(2m2-4)(40m2-m4)=0 整理此方程,得 m4-24m2+80=0(m2-20)(m2-4)=0 ∴m2=20 或 m2=4,但 n2=m2-4=0 不合题意,只有 m2=20,且 n2=m2-4=16,

18.设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x1,y1)、N(x2,y2),设直线 MN 的方程为 y=x+b.代入抛物 线方程,得:x2+(2b-2p)x+b2=0.则 x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则 MN 的中点 P 的坐标为 (p-b,p). 因为点 P 在直线 x+y=1 上,所以 2p- b=1,即 b=2p-1。 又 ? =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将 b=2p-1 代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得: 0<p<

若存在椭圆 c′过直线 l 的另一点 M′,由于 M′在椭圆外,则必有
2 . 3

|M′F1|+|M′F2|>|MF1|+|MF2|

19.分析一 根据椭圆的定义,长轴长 2a=|MF1|+|MF2|,从建立目标函数考虑,可设点 M 的坐标为(t,6-t),设 F1(-2,0), F2(2,0),则可建立 2a 的目标函数。

分析三 但这时求函数 2a 的最小值还很麻烦。

由于椭圆的长轴最短时,应有

|MF1|+|MF2|最小,即 M 点应为直线 l 上距 分析二 如图 13-11,根据椭圆的定义,椭圆的长轴最短,就是椭圆与 l 的公共点 M 到焦点 F1 和 F2 的距离之和最短,若设椭圆和直线 l 相切,那么除切点外的任何点都在椭圆 外,到两焦点的距离之和均大于长轴,所以 M 应为切点,椭圆应通过此切点。 解法一 由已知,a2=9,b2=5, F1 和 F2 的距离之和为最短, 据平面几何的等价命题可知, 这个最短的距离和应是线段|F1F′ 2|的长,其中 F′2 是 F2 关于直线 l 的轴对称点,故可得解法二。 解法二 如图 13-12,设 F2(2,0)关于直线 l 的对称点 F2/

∴ c=2,即两椭圆的公共焦点 F1(-2,0)和 F2(2,0)。

① 又应有 F2F′2⊥l,则有 n2x2 + m2(6-x)2=m2n2 由已知,应有 n2=m2-4,代入整理,得(2m2-4)x2-12m2x+40m2-m4=0
4



( ii )当 ? 2 ? k ? 0 时, 设a ? ?

k2 ?1 k2 ?1 ,b ? , 2k 2

应有

|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2a

0 ? a ? AB ? 2 时,l 与线段 AB 相交,此时 ? 2 ? k ? ?2 ? 3 , a ? AB ? 2 时,l 与线段 BC 相交,此时 ? 2 ? 3 ? k ? 0 ,
0 ? b ? 1 时,l 与线段 AD 相交,此时 ? 1 ? k ? 0 , b ? 1 时,l 与线段 DC 相交,此时 ? 2 ? k ? ?1 ,

又由 c=2 得 b2=a2-c2=16,
2x 2y =1 5 3
2 2

20.

21.解: (Ⅰ)( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所

1 在的直线方程 y ? , 2
( ii ) 当 k ? 0 时,设 A 点落在线段 DC 上的点 A?( x0 ,1) ,

y
D C

∴将 k 所在的分为3个子区间: ①当 ? 2 ? k ? ?1 时,折痕所在的直线 l 与线段 DC、AB 相交, 折痕的长 d ?

( 0 ? x0 ? 2 ) ,则直线 OA? 的斜率 k 0 A? ?
∵ 折痕所在直线垂直平分 OA?, ∴ k OA?

1 , x0

1 ? | sin ? |

1 |k| 1? k2

?

5 1? k2 1 ?d ? 2, ? ? 1 ,∴ 2 2 |k| k

O

(A) 图5

B x

②当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时,折痕所在的直线 l 与线段 AD、AB 相交,

1 ? k ? ?1 ,∴ ? k ? ?1 ,∴ x0 ? ?k x0

折痕的长 d ? (?

1? k2 2 1? k2 2 k 4 3k 2 1 3 ) ?( ) ? ? ? 2 ? 2k 2 4 4 4k 4
3k 1 ? 3 ? 0 ,即 2k 6 ? 3k 4 ? 1 ? 0 , 2 2k

k 1 又∵折痕所在的直线与 OA? 的交点坐标(线段 OA? 的中点)为 M ( ? , ) , 2 2 2 1 k k 1 ? , ∴折痕所在的直线方程 y ? ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? 2 2 2 2
由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为: y ? kx ?

令 g ?( x) ? 0 ,即 k 3 ?

即 ( k 2 ? 1) 2 ( k 2 ? ) ? 0 , ∵ ? 1 ? k ? ?2 ? 3 ,∴解得 ?

1 2

k2 1 ? ( ? 2 ? k ? 0) 2 2

2 ? k ? ?2 ? 3 2 2 , 2

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 E (0 ,

k2 ?1 k2 ?1 ) , F (? , 0) 2 2k

令 g ?( x) ? 0 , 解得

?1 ? k ? ?

由(Ⅰ)知, k ? ? x0 ,∵ 0 ? x0 ? 2 ,∴ ? 2 ? k ? 0 , 设折痕长度为 d,所在直线的倾斜角为 ? , ( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕的长为 2 ; 故当 ? 1 ? k ? ?

2 2 ? k ? ?2 ? 3 时, g ( x) 是增函数, 时, g ( x) 是减函数,当 ? 2 2

∵ g (?1) ? 2 , g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) ,
5

∴ g (?1) ? g (?2 ? 3) , ∴当 k ? ?2 ? 3 时, g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) ,

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ)当 ? ?

解得 e 2 ? 1 ? ?

即? ? 1 ? e 2 .

d ? g (?2 ? 3 ) ? 2 8 ? 4 3 ? 2( 6 ? 2 ) ,
∴当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时, d ? 2( 6 ? 2 ) , ③当 ? 2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕所在的直线 l 与线段 AD、BC 相交, 折痕的长 d ?

1 3 时, c ? ,所以 a ? 2c. 2 4

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6.

所以 a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅲ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|,即

2 ? | cos? |

2 1 1? k2

? 2 1? k2 ,

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3



2 ? l ? 2 8 ? 4 3 ,即 2 ? l ? 2( 6 ? 2 ) ,


1 ? e2 1? e
2

? e.

2 所以 e ?

综上所述得,当 k ? ?2 ? 3 时,折痕的长有最大值,为 2( 6 ? 2 ) . 22. (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 2 是 (? ,0), (0, a). 由? x 得? y b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

23. (I)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3x 2 ? y 2 ? ? ,整理得

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0.



ì a a ? ? - c= l ? ?e e 即 ? í 2 ? b ? =la ? ? ? a ?

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?
2

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2是方程 ①的两个不同的根,

? ? ? 4[? (k 2 ? 3) ? 3(k ? 3) 2 ] ? 0
且x1 ? x 2 ?



解得l = 1 - e

2k (k ? 3) .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 k2 ?3

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别是

a a a ( ? ,0), (0, a ). 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a), e e e

x1 ? x 2 ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 2
解得 k=-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ). 于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0. 解法 2:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则有
6

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? ? y 0 ? ?a.

因为点 M 在椭圆上,所以

x y ? ? 1, a b

2 0 2

2 0 2

2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? , ? 3( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. ? 2 2 ? 3 x ? y ? ? 2 ? 2

依题意, x1 ? x2 ,? k AB ? ?

3( x1 ? x2 ) . y1 ? y 2

1 3 |? ? ?4| | x ? y0 ? 4 | 3 2 d? 0 ? 2 2 ? . 2 2 2
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得



? N (1,3)是AB的中点,? x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 6, 从而k AB ? ?1. 又由N (1,3)在椭圆内 , ? ? 3 ? 12 ? 3 2 ? 12. ? ?的取值范围是 (12,??). 直线AB的方程为y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.

AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2 | CD | 故当 ? ? 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, 为半径的圆上. 2 | MA | 2 ?| MB | 2 ? d 2 ? |
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ?| AN | 2 ?| CN | ? | DN |,即

AB,? 直线CD的方程为y ? 3 ? x ? 1,即x ? y ? 2 ? 0. 代入椭圆方 (II)解法 1:? CD垂直平分
程,整理得

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0. ③

| AB | 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d ). 2 2 2 ? ? 12 . 由⑥式知,⑧式左边= 2 (
由④和⑦知,⑧式右边= (



又设C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ),CD的中点为M ( x0 , y0 ),则x3 , x4是方程③的两根,
? x3 ? x 4 ? ?1, 且x0 ? 1 3 即M (? , ). 2 2
于是由弦长公式可得

1 1 3 ( x3 ? x 4 ) ? ? , y 0 ? x 0 ? 2 ? , 2 2 2

2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? )( ? ) 2 2 2 2
2 ? 9 ? ? 12 ? , 2 2

?

? ?3

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆 解法 2:由(II)解法 1 及 ? ? 12 .

? CD垂直平分AB,? 直线CD方程为y ? 3 ? x ? 1, 代入椭圆方程,整理得


1 | CD |? 1 ? (? ) 2 ? | x3 ? x4 |? 2(? ? 3). k

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得

将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0.
同理可得



4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0.
解③和⑤式可得



| AB |? 1 ? k ? | x1 ? x 2 |? 2(? ? 12) .
2



x1 , 2 ?

2 ? ? ? 12 ?1? ? ? 3 , x3, 4 ? . 2 2

?当? ? 12时, 2(? ? 3) ? 2(? ? 12).,? | AB |?| CD | .
假设在在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距离为

不妨设 A(1 ? 1 ? ? 12,3 ? 1 ? ? 12), C ( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ), D( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ) 2 2 2 2 2 2 ∴ CA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2
7

DA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? DA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 24.解: (I)由题意设双曲线方程为 把(1, 3 )代入得

? ?km ? ?1 ? (III)若存在实数 k 满足条件,则必须 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?y ? y x ?x 2 ? 1 ? m? 1 2 ? 2 2
由(2) , (3)得 m( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 (4) 把 x1 ? x 2 ? ……1 分

(1) (2) (3)
……10 分

x y ? 2 ? 1, 2 a b


2

2

2k 代入(4)得 mk ? 4 4?k2

……11 分 ……12 分

1 3 ? 2 ?1 2 a b

这与(1)的 mk ? ?1 矛盾,故不存在实数 k 满足条件 25.(1)证明:由抛物线的光学性质及题意知

又 y 2 ? 2 5x 的焦点是(
2

5 5 2 2 2 ,0) ,故双曲线的 c ? a ? b ? 4 2
4 2

……2 分

光线 PQ 必过抛物线的焦点 F( 设直线 PQ 的方程为 y=k(x- 由①式得 x= -p2.

p ,0), 2


与①联立,消去 b 可得 4a ? 21a ? 5 ? 0 , (4a ? 1)(a ? 5) ? 0
2 2

p ) 2

1 2 ∴ a ? , a ? 5 (不合题意舍去) 4
2

1 2p p y+ ,将其代入抛物线方程 y2=2px 中,整理,得 y2- y-p2=0,由韦达定理,y1y2= k k 2
p 代入抛物线方程,得 y=±p,同样得到 y1?y2= 2

于是 b ? 1 ,∴ 双曲线方程为 4 x 2 ? y 2 ? 1
2

……3 分

当直线 PQ 的斜率角为 90°时,将 x=

(II)由 ?

? y ? kx ? 1
2 2 ?4 x ? y ? 1

消去 y 得 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0



-p2. (2)解:因为光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以直线 MN 与直线 QN 关于直线 l 对称,设点 M(

当 ? ? 0 ,即 ? 2 2 ? k ? 2 2 ( k ? ?2 )时,

41 ,4)关于 l 的对称点为 M′(x′,y′),则 4
? y? ? 4 1 ? ? ?1 ? 41 2 51 ? ? x? ? ?x? ? ? 4 解得 4 ? ? ? ? x ? ? 41 ? y ? ? 1 ? y? ? 4 ? 4 2? ?4? ? 17 ? 0 ? 2 2 ?
直线 QN 的方程为 y=-1,Q 点的纵坐标 y2=-1, 由题设 P 点的纵坐标 y1=4,且由(1)知:y1?y2=-p2,则 4?(-1)=-p2, 得 p=2,故所求抛物线方程为 y2=4x. (3)解:将 y=4 代入 y2=4x,得 x=4,故 P 点坐标为(4,4) 将 y=-1 代入直线 l 的方程为 2x-4y-17=0,得 x= 故 N 点坐标为(

l 与 C 有两个交点 A、B

……5 分设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) , ……6 分

因 OA ? OB ,故 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 由②知 x1 ? x 2 ?

2k ?2 , x1 x 2 ? , 2 4?k 4?k2 ?2 ?2 2k ? k2 ? ?k? ? 1 ? 0 化简得 k 2 ? 2 ,∴ k ? ? 2 , 代入可得 2 2 2 4?k 4?k 4?k
检验符合条件,故当 k ? ? 2 时, OA ? OB ……8 分

13 , 2

13 ,-1) 2
8

由 P、N 两点坐标得直线 PN 的方程为 2x+y-12=0, 设 M 点关于直线 NP 的对称点 M1(x1,y1)

1)=k(x1+x2)-2k=-

2k . 1 ? 2k 2

? y1 ? 4 ? ( ?2) ? ?1 ? 41 1 ? x ? ? 1 ? ? x1 ? 4 则? 解得? 4 ? x ? 41 ? ? y1 ? ?1 1 ? 4 ? y1 ? 4 ? 12 ? 0 2 ? ? 2 2 ?
又 M1( 对称. 26.解法一:由 e=

直线 l:y= -1.

?k 1 2k 2 x ? x2 y1 ? y2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 ,解得 k=0,或 k= , 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2 2

若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上, 所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. 27.解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为

1 1 ,-1)的坐标是抛物线方程 y2=4x 的解,故抛物线上存在一点( ,-1)与点 M 关于直线 PN 4 4
c 2 a 2 ? b2 1 ? ? ,从而 a2=2b2,c=b. ,得 2 a 2 2 a

x2 y2 ? =1. 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上, 得|F2B|=|yB|= 有|F2A|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 根据椭圆定义, 5 5 4

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 x 1 1 ,又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0,于是- 0 = 2 y0 2 y0 2 2

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2? ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5 x ? x2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 1 =4. 2
(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),

? y? ? x? ? b ? 1 ? x? ? 1 ? 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y ? ? ? x? ? b ? 1 ? 2 ?2

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,
2 2 2

9 9 由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b) =2b ,b = , a 2 ? . 16 8 2 8x 16 ? y 2 =1,l 的方程为 y=-x+1. ∴所求椭圆 C 的方程为 9 9
解法二:由 e=

即 9? (

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

将 (k≠0)

x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ? ? (k≠0)代入上式,得 9?4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

c 2 a 2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. 2 a 2 2 a
2 2 2

设椭圆 C 的方程为 x +2y =2b ,l 的方程为 y=k(x-1),

即 k=
2

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

4k 2 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k )x -4k x+2k -2b =0,则 x1+x2= ,y1+y2=k(x1-1)+k(x2- 1 ? 2k 2
2 2 2 2

25 16 y0=- y0. 9 9 9 9 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< , 5 5
由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0-
9

所以-

16 16 <m< . 5 5 1 (x-4)(k≠0) ③ k

? a ? 2 , b ? 2 ? 1 ? 1.
∴ 所求椭圆方程为

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-
2 2

x y ? =1,得(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25?9k2=0 25 9 50( k 0 ? 4) 25 所以 x1+x2= =8,解得 k= y0.(当 k=0 时也成立) (以下同解法一). 2 9k ? 25 36
将③代入椭圆方程 28. (1)设

x2 ? y2 ? 1. 2

………………………………7 分

(Ⅲ )?

a2 ? 2 ,? 椭圆的准线方程为 x ? ?2 . c

…………………………8 分

ì ? ? AB = 2 OA AB = {u,,则 v} ? í ? ? ? ? AB ?OA 0

ì ì u= 6 ? ? u 2 + v 2 = 100 ? ? í í ,即 ? ,得 ? v = 8,或 ? ? ? ? 4u - 3v = 0

ì u= - 6 ? ? í ? ? ?v= - 8

设点 Q 的坐标为 (t , 2t ? 3) (?2 ? t ? 2) , d1 表示点 Q 到 F2 的距离,d 2 表示点 Q 到椭圆的右准线的 距离. 则 d1 ?

因为 OB = OA + AB = {u + 4,v - 3} 所以 v ? 3 ? 0 ,得 v ? 8 ,故 AB = {6, 8} (2)由 OB = { ,于是直线 OB 方程: y = 10, 5},得 B(10,5) 由条件可知圆的标准方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 10
2 2

1 x 2

(t ? 1) 2 ? (2t ? 3) 2 ? 5t 2 ? 10t ? 10 , d 2 ? t ? 2 .

d1 ? d2

5t 2 ? 10t ? 10 t 2 ? 2t ? 2 ? 5? , t?2 (t ? 2) 2

……………………………10 分

得圆心(3, ? 1 ) ,半径为 10

ì x+ 3 y- 1 ? ? - 2? ? ? 2 2 设圆心(3, ? 1 )关于直线 OB 的对称点为(x,y) ,则 í ? y+ 1 ? =- 2 ? ? ? ? x- 3 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10
故所求圆的方程为 (3)设 P( x1,y1 ) , Q( x2,y 2 ) 为抛物线上关于直线 OB 对称的两点,则

0

ì ?x= 1 ,得 ? í

t 2 ? 2t ? 2 (?2 ? t ? 2) ,则 令 f (t ) ? (t ? 2) 2 f ?(t ) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) 2 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 2(t ? 2) ? (6t ? 8) , ? (t ? 2) 4 (t ? 2) 3
4 f ?(t ) ? 0 , t ? ? , f ?(t ) ? 0 . 3
………………………………13 分

? ? ? y= 3

ì ì 2 x1 + x2 y + y2 ? ? ? ? x1 + x2 = - 2 1 = 0 ? ? ? ? a 2 2 ? ,得 í í ? y1 - y2 5 - 2a ? ? ? x1 x2 = =- 2 ? ? ? ? 2a 2 ? ? ? ? x1 - x2

4 4 ? 当 ? 2 ? t ? ? , f ?(t ) ? 0 , ? ? t ? 2, 3 3 4 ∴ f (t ) 在 t ? ? 时取得最小值. 3
因此,

2 5 - 2a 3 x+ = 0 的两个相异实数则 \ D > 0 ? a 2 a 2a 2 n 1 m ?1 n ? ? 且2? ? ? 3 ? 0 .……2 分 29.解: (Ⅰ )设 F1? 的坐标为 (m, n) ,则 m ?1 2 2 2 9 2 9 2 解得 m ? ? , n ? , 因此,点 F1? 的坐标为 ( ? , ) . …………………4 分 5 5 5 5
2 即 x1、x2 为方程 x +

d1 4 1 4 2 最小值= 5 ? f (? ) ? ,此时点 Q 的坐标为 ( ? , ) .…………14 分 3 3 d2 3 2

注: f (t ) 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.

30.(1)离心率 e 的取值范围是

2 ? e ? 1. 2
x2 y2 2 ? 时,椭圆方程可表为 =1 2 2b 2 b 2
2

(Ⅱ )? PF1? ? PF 1 ,根据椭圆定义, 得 2a ?| PF1? | ? | PF2 |?| F1?F2 | ?

(2)①当离心率 e 取最小值

9 2 (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 2 2 ,……………5 分 5 5

设 H ( x, y) 是椭圆方程上的一点,则 HN

? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? ?( y ? 3) 2 ? 2b 2 ? 18 ,其中 ? b ? y ? b .
10

若 0 ? b ? 3 , 则 当 y ? ?b 时 , NH

2

有 最 大 值 b ? 6b ? 9 ? 50 , 所 以 由 b ? 6b ? 9 ? 50 解 得
2 2

b ? ?3 ? 5 2 (均舍去)
2 2 2 若 b ? 3 ,则当 y ? ?3 时, NH 有最大值 2b ? 18 ,所以由 2b ? 18 =50 解得 b ? 16
2

所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 32 16

? x1 2 y12 ? ?1 ? ? 32 16 ②设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 , y0 ) ,则由 ? 两式相减得 x0 ? 2ky0 ? 0 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? 32 16 ?
又直线 PQ ? 直线 l ,所以 PQ 的方程 y ? ?



1 3 1 3 ,将 Q( x0 , y0 ) 代入得 y 0 ? ? x0 ? x? k 3 k 3
2

②由①②解得 Q(?

x2 y 47 2 3 3 ,又 k , ) ,而点 Q 必在椭圆的内部,所以 0 ? 0 ? 1 ,由此得 k 2 ? 2 3 3 32 16

k ? 0 ,所以 ?

94 94 . ? k ? 0 或0 ? k ? 2 2

故当 k ? (?

94 94 ,0) ? (0, ) 时,A、B 两点关于过点 P、Q 的直线对称 2 2

11


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