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专题二 填空题的解题方法与技巧


随堂讲义?第二部分
专题二

考前增分策略

填空题的解题方法与技巧

题型特点解读 数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解 答过程的客观性试题,是高考数学中的三种常考题型之一, 填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件

与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题


革的试验田,创新型的填空题将会不断出现. 因此,我们 在备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准

备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的
每一步都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合 情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空

题的基本要求.

Z 重 点方法 讲 解

方法1 直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件 出发、利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变

形、推理、运算等过程,直接得到结果.
例1设a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,其中i,j 为互相垂直的单位向量,又(a+b)⊥(a-b),则实数m =________.

Z 重 点方法 讲 解

解析 2)j.

a+b=(m+2)i+(m-4)j,a-b=m i-(m+

∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0, ∴m(m+2)i2+[-(m+2)2+m(m-4)]i· j- (m+2)(m-4)j2=0,而i,j为互相垂直的单位向量, 故可得m(m+2)-(m+2)(m-4)=0,∴m=-2. 答案 -2

Z 重 点方法 讲 解

ax+1 例 2 已知函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增函数, x+2 则实数 a 的取值范围是__________.

解析 a+b=(m+2)i+(m-4)j,a-b=m i-(m+2)j. ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0, ∴m(m+2)i2+[-(m+2)2+m(m-4)]i· j-(m+ 2)(m-4)j2=0,而i,j为互相垂直的单位向量,故可得

m(m+2)-(m+2)(m-4)=0,∴m=-2. 答案
?1 ? ? ,+∞? ?2 ?

Z 重 点方法 讲 解

例3

现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部13

场足球比赛,每场比赛有3种结果:胜、平、负,13场
比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中12场为一等奖,其他 不设奖,则某人获得特等奖的概率为________.
1 解析 由题设可知,此人猜中某一场的概率为 ,且猜中 3 每场比赛结果的事件为相互独立事件,故某人全部猜 1 中即获得特等奖的概率为 13. 3

答案

1 313

Z 重 点方法 讲 解

方法2 特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗 示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊 值代替,即可以得到正确结果.
例 4 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 cos A+cos C a,b,c.若 a,b,c 成等差数列,则 = 1+cos Acos C __________.

Z 重 点方法 讲 解

解析 特殊化:令 a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角 3 3 三角形,cos A= ,cos C=0,从而所求值为 . 5 5 3 答案 5

Z 重 点方法 讲 解

过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线 1 1 于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p,q,则 + p q 例5 =________. 分析:此抛物线开口向上,过焦点且斜率为 k 的直线与 抛物线均有两个交点 P、Q,当 k 变化时 PF、FQ 的长均变 化,但从题设可以得到这样的信息:尽管 PF、FQ 不定,但 其倒数和应为定值, 所以可以针对直线的某一特定位置进行 求解,而不失一般性.

Z 重 点方法 讲 解
? ? 解析 设 k = 0,因抛物线焦点坐标为?0, 1 ?把直线 4a ? ?

1 1 方程 y= 代入抛物线方程得 x=± ,∴|PF|=|PQ| 4a 2a 1 1 1 = ,从而 + =4a. 2a p q

答案 4a

Z 重 点方法 讲 解

例6

求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+

240°)=__________.
答案为一 解析 题目中“求值”二字提供了这样信息: 3 定值,于是不妨令 α=0°,得结果为 . 2

答案

3 2

Z 重 点方法 讲 解

方法3 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思 形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正 确的结果. 例 7 如果不等式 A,且 A ________. 4x-x2> (a- 1)x 的解集为

{x|0<x<2},那么实数 a 的取值范围是

Z 重 点方法 讲 解

解析

根据不等式解集的几何意义,作函数 y= 4x-x2和 y

=(a-1)x 的图象(如图),从图上容易得出实数 a 的取值范 围是[2,+∞).

答案 [2,+∞)

Z 重 点方法 讲 解

y 例 8 已知实数 x, y 满足(x-3) +y =3, 则 x-1 的最大值是__________.
2 2

y 解析 x-1可看作是过点 P(x,y)与 M(1,0)的直线的斜率,其 中点 P 在圆(x-3)2+y2=3 上,如图,当直线处于图中切线位 y 置时,斜率 最大,最大值为 tan θ= 3. x-1

答案

3

Z 重 点方法 讲 解

方法4 等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价 地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果. 例 9 3 不等式 x > ax + 的解集为 (4 , b) ,则 a = 2

__________,b=__________.

Z 重 点方法 讲 解

解析 设 x=t,则原不等式可转化为:
3 at2-t+ <0,∴a>0,且 2 与 b(b>4)是方程的两根,由此 2 1 可得 a= ,b=36. 8

答案

1 36 8

Z 重 点方法 讲 解

例10

不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2

+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值 范围是__________.

解析 题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,
∴a2+1≤2a+4.∴-1≤a≤3. 答案 [-1,3]

Z 重 点方法 讲 解

例 11 函数 y= 4x-1+2 3-x的单调递减区间 为_____________________.
解析 易知 x∈? ,3?,y>0.∵y 与 y2 有相同的单调区 4
? ? ?1 ?

间,而 y2=11+4 -4x2+13x-3,
?13 ? ∴可得结果为? 8 ,3?. ? ? 13 ? 答案 ? ? ,3? ?8 ?

Z 重 点方法 讲 解

小结反思 1.数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理 计算型)和概念(性质)判断型的试题,解答时必须按规则 进行正确的计算或者合乎逻辑的推演和判断. 2.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、

“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数
形结合法、等价转化法等.


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