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湖南省张家界市2014-2015学年高一下学期期末联考数学(B卷)试题


张家界市 2015 年普通高中一年级第二学期期末联考

数学试题卷(B)
考生注意:本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页. 考试时量 120 分钟,满分 150 分. 请考生在答题卷上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求

的. 1.两个数 2 和 8 的等差中项是 A.5 B. - 5 2.半径为 1 的球的表面积为 A.1 A.0
?

C.10

D.0

B. 2p B. 45
?

C. 3p C.60
?

D. 4p D.90
?

3.直线 x - y = 0 的倾斜角大小为 4.在数列 {an }中,已知 a1 = 1 , an+ 1 - an = 2 ,则 {an }的通项公式是 A. an = 2n + 1 B. an = 2n C. an = 2n - 1 D. an = 2n + 3 D1 A1 B1 C1

5.如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,异面直线 A1D 与
BC1 所成的角为

A, 30 ° C. 60 °
2

B. 45 ° D. 90 ° A

D B (第 5 题图) D. (- ? , 3)

C

6.若 x = 1 满足不等式 ax + 2 x + 1 < 0 ,则实数 a 的取值范围是 A. (- 3, + ? ) B. (- ? ,1) C. (1, + ? )

1 7.已知直线 l1 : ax - y - 2 = 0 与直线 l2 : x - y - 1 = 0 互相垂直,则实数 a 的值是 2
A. - 2 B. 2 C. 0 D. - 2 或 0 D.不能确定

8. 在 △ ABC 中,若 sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C ,则 △ ABC 的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 A.若 m ^ a , n ? a ,则 m ^ n C.若 m ^ a , m ^ n ,则 n ∥ a

9.已知 m , n 表示两条不同直线, a 表示平面,下列说法中正确的是 B.若 m ∥ a , n ∥ a 则 m ∥ n D.若 m ∥ a , m ^ n ,则 n ^ a
2(n ? N * ) ,

10.已知数列 {an }, {bn } 满足: a1b1 + a2b2 + a3b3 + ?+ anbn = (n - 1) ?2n+ 1 若 {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列 {an } 的通项公式是

A. an = 2n- 1

B. an = 2n

C. an = 2n

D. an = 2n - 1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________. 12.在空间直角坐标系中,已知 A(1,0,0) , B(0,1,0) ,则 A , B 两点间的距离为 13.已知 m > 0 , n > 0 , mn = 1 ,则 m + n 的最小值是_________. an 14.数列 {an }中, a1 = 1 , an+ 1 = ,则 a3 = . 1 + an 15. 如图, 有一条长为 a 米的斜坡 AB , 它的坡角为 45 ° , 现保持坡高 AC 不变, 将坡角改为 30 ° , 则斜坡 AD 的长为 2 2 2 2 米. 2 2 D (第 11 题图) 30° B a 45° C A .

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : ax - y - 2 = 0 经过圆 C : ( x - 1)2 + y 2 = 1 的圆心. (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l : x - 4 y + 1 = 0 平行的直线 l2 的方程.



17. (本小题满分 12 分)
ì x ≥1, ? ? ? ? 若实数 x , y 满足约束条件 í y ≤ 2, ? ? ? x y - 1 ≤ 0. ? ?

(1)求该不等式组表示的平面区域的面积; (2)求 z = x + y 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 b2 + c 2 - a 2 = bc . (1)求 A ; (2)若 a =
3 , cos B =
2 ,求 b . 2

19. (本小题满分 13 分) 在等比数列 {an }中,已知 a1 = 2 , an > 0. (1)求 {an }的通项公式; (2)令 bn = log 2 an , cn = an + bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 13 分) 如图,在棱长均为 1 的直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D 是 BC 的中点. (1)求证: AD ^ 平面 BCC1B1 ; (2)求直线 AC1 与面 BCC1B1 所成角的正弦值. A1 B1 C1

A D B

C

(第 20 题图)

21. (本小题满分 13 分) 已知直线 l1 : y = 2 x + 3 , l2 : y ? x ? 2 相交于点 C . (1)求点 C 的坐标; (2)求以点 C 为圆心,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切的圆的方程; (3)若直线 x + y + t = 0 与(2)中的圆 C 交于 A 、 B 两点,求 D ABC 面积的最大值 及实数 t 的值.

张家界市 2015 年普通高中一年级第二学期期末联考

数学参考答案(B)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 1 11. 8 12. 2 13. 2 14. 3

15. 2a

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)将圆心 (1,0) 代入得直线 l1 ,得 a - 2 = 0 ,………………………………4 分 则 a = 2 ; …………………………………………………………………5 分

(2)设所求直线方程 x - 4 y + l = 0 ,

………………………………………8 分

? C (1,0) 点在直线 x - 4 y + l = 0 上, \ l = - 1 , …………………………11 分

故所求直线方程为: x - y - 1 = 0 . 17.解:(1)作出线性约束条件所表 示的平面区域如图所示, ………………………3 分
? A(1,0), B(1,2), C (3,2) ,

……………………………………12 分

y
B

x ? y ?1 ? 0

x ?1

C

y?2

………………………4 分

O

A

x

1 \ 平面区域的面积是 创 2 2= 2 ; 2
…………………………6 分 (2)作直线 x + y = 0 并平移至点 C (3,2) 时, z 有最大值,即当 x = 3 , y = 2 时,
zmax = 3 + 2 = 5 . …………………………………………………………………12 分

18.解:(1)由余弦定理有 cos A =
?0 < A < p ,

b2 +c2 - a2 1 = , …………………………………4 分 2bc 2

\ A=

p ; ………………………………………………………………………6 分 3
2 p ,有 B = , ……………………………………………………8 分 2 4

(2)由 cos B =

?

a b ,………………………………………………………………10 分 = sin A sin B

则 b = 2 ..………………………………………………………………………12 分 19.解: (1)设等比数列 {an }的公比为 q ,依题意 q > 0 ,
a3 = a1q2 = 8 ,解得
q = 2,

…………………………………………………………………4 分

所以 {an }的通项公式为
an = 2n ;……………………………………………………………………6 分

(2) bn = log2 2n = n , …………………………………………………………8 分
cn = 2n + n ,

……………………………………………………………9 分

则数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn =

2? (1 2n ) n(n + 1) n(n + 1) + = 2n+ 1 + - 2 .……13 分 1- 2 2 2
A1 C1

20.证: (1)直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,
BB1 ^ 面ABC , \ BB1 ^ AD, 又? AB = AC ,

D 是 BC 的中点, \ AD ^ BC , BC ? BB1

B,

B1

\ AD ^ 平面 BCC1B1 ;……………………..…6 分

A D B

C

(2)连接 C1D ,由(1) AD ^ 平面 BCC1B1 ,

则 ?AC1D 即为直线 AC1 与面 BCC1B1 所成角, . ……………………………9 分 在直角 D AC1D 中, AD =
sin ? AC1D
3 , AC1 = 2

2,

AD 6 = , AC1 4

.…………………………………………………12 分
6 . 4

即直线 AC1 与面 BCB1C1 所成角的正弦值为

…………………………13 分

ì y = 2x + 3 ì ? x= - 1 ? 21.解: (1) ? ,? ,…………………………………………………2 分 í í ? ? ? ? ? y= 1 ? y= x+ 2
\ C (- 1,1) ;.….….……………………………………………………………3 分

(2)圆心 C (- 1,1) ,半径 r =

3? ( 1) + 4? 1 5

4

= 1 , ……………………6 分

2 所以圆 C 的方程为 (x + 1 ) + (y - 1)2 = 1 .

………………….…………8 分

(3)方法一:因 SD ABC = 显然当 sin ? ACB

1 r? r sin ? ACB 2

1 sin ? ACB , 2 1 ,………10 分 2

1 ,即 ? ACB

90? 时, SD ABC 取到最大值

此时,直角 D ABC 的斜边 AB 上的高为 又圆心 C 到直线 x + y + t = 0 的距离为 由
t 2 = 2 ,解得 t = 1 或 t = - 1 . 2

2 , 2

- 1+ 1+ t 2

=

t 2

,………………12 分

.……………………………………13 分

方法二:设圆心 C 到直线 x + y + t = 0 的距离为 d ,H 为 AB 的中点,连结 CH , 因弦 AB 的长为 AB = 2 r 2 - CH = 2 1- d 2 ,
2

………………………9 分

∴ SD ABC =

1 AB ?d 2

d 1- d 2

=

d 2 (1- d 2 ) ≤

d 2 + (1- d 2 ) 1 = , …….…………………………………10 分 2 2
2 1 1 ,d = 时取等号, SD ABC 取到最大值 ,……11 分 2 2 2

当且仅当 d 2 = (1- d 2 ) ,即 d 2 = 因h= 由
t 2

- 1+ 1+ t 2
=

=

t 2

,…….…………………………………………………12 分 .…….……………………………………13 分

2 ,解得 t = 1 或 t = - 1 2


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