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山东省潍坊第一中学2015届高三上学期第一次(10月)月考数学(理)


山东省潍坊第一中学 2015 届高三上学期第一次 (10 月) 月考数学 (理)
一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. b ? ? 1.已知 a∈R, b∈R, 若两集合相等, 即?a,a,1?={a2, a+b,0}, 则 a2 014+b2 014=( ) ? ? A.1 B.-1 C

.0 D. 2 )

2.下列命题中为真命题的是( A.?x∈R,x2+2x+1=0 B.?x0∈R,- x2 0-1≥0 C.?x∈N*,log2x>0

2 D.?x0∈R,cos x0>x0 +2x0+3

3.设 a ? 2 2 , b ? 33 , c ? log3 2 ,则( (A) c ? a ? b (B) a ? b ? c
2

1

1

) (C) c ? b ? a (D) b ? a ? c ( )

4.已知命题 p:?x∈R,x -3x+3≤0,则下列说法正确的是 A. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为真命题
2

B. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为假命题
2

C. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为真命题
2

D. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为假命题
2

?-x-1?-1≤x<0?, ? 5.已知函数 f(x)=? 则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为( ?-x+1?0<x≤1?. ?

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

1 -1,- ?∪(0,1] B.? 2? ? 1 -1,- ?∪(0,1) D.? 2? ? ) D.6 )

6.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 B.4 16 C. 3

7.已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=( A.3 B.4 C.-5 D.-1 )

8.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第 1 页 共 12 页

|2 -1|,x<2, ? ? 9.已知函数 f(x)=? 3 若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则实数 a 的 , x≥2, ? x - 1 ? 取值范围为( A.(1,3) ) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)

x

1 ? 2 ?| x ? |, x ? 0 10.设函数 f ( x) ? ? , g(x)= ? f ( x ) ? +b f ( x ) +c,如果函数 g(x)有 5 个不同 x ? ?0, x ? 0
的零点,则( A.b<-2 且 c>0 ) B.b>-2 且 c<0 C.b<-2 且 c=0 D. b≥-2 且 c>0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若函数 f ?x ? 的导函数 f ??x ? ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ?1 ? x ? 的单调减区间是 _____.
2
?

12. 若(a+1)

1 2

?

<(3-2a)

1 2

,则 a 的取值范围是__________.
2

13.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <log a x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 14.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9x ? “ ?x ? [0 ,? ?) , f ( x) ? a ? 1 ”是假命题,则 a 的取值范围为

a2 ? 7 .若 x
.

15.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 x 1?1-x ∈[0,1]时,f(x)=? ?2? ,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1?x-3 ④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? . 其中所有正确命题的序号是_

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 12 分)已知命题 p :任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,命题 q :存在 x0 ? R ,

p q p q 2 使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 .若“ 或 为真”,“ 且 为假”,求实数 a 的取值范围.

第 2 页 共 12 页

17(本小题满分 12 分).已知函数 f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e 是自然对数的底 数. (1)试判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)当 a=e ,b=4 时,求整数 k 的值,使得函数 f(x)在区间(k,k+1)上存在零点.

a 18. (本小题满分 12 分)函数 f(x)=ln x- x (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最小值; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值. 2

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg[ (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ],设命题 p: “f(x)的定
2 2

义域为 R” ;命题 q: “f(x)的值域为 R” (Ⅰ)分别求命题 p、q 为真命题时实数 a 的取值范围; (Ⅱ) ? p 是 q 的什么条件?请说明理由

20. (本小题满分 13 分)设函数 f(x)=x2+bln(x+1),其中 b≠0. (1)如果函数 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (2)求证对任意的 n∈N*不等式 ln (

1 1 1 +1) > 2 ? 3 都成立. n n n

第 3 页 共 12 页

21. (本题满分 14 分)已知函数 g ( x) ? 且θ ∈(0,π) , f ( x) ? mx ?

1 ? ln x 在[1,+∞)上为增函数, sin ? ? x

m ?1 ? ln x ,m∈R. x

(1)求θ 的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)设 h( x) ?

2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 x m 的取值范围.

第 4 页 共 12 页

高三第一次月考数学(理)试题答案 2014-10-9

4.【答案】C

5.当 0<x≤1 时,-1≤-x<0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1, 3 ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-x+1-(x-1)>-1,解得 x< , 2 1? 故所求不等式的解集为? ?-1,-2?∪(0,1]. B 正确 则 0<x≤1.

?-x-1?-1≤x<0? ? 方法二:画出函数 f(x)=? 的图象如图所示. ? ?-x+1?0<x≤1?

1 由图可知 f(x)为奇函数,从而由 f(x)-f(-x)>-1,可知 f(x)>- ,解得 2 6.【解析】 作出曲线 y= x,直线 y=x-2 的草图(如图所示),所求面积为阴影部分 的面积.

第 5 页 共 12 页

?y= x, 由? 得交点 A(4,2). 因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ?y=x-2.
4 [ x-(x-2)]dx=?4( x-x+2)dx ? ?0 ?0

2 3 1 2 1 16 ? 4 2 =? ?3x2-2x +2x?| 0=3×8-2×16+2×4= 3 .

9【解析】 画出函数 f(x)的图象如图所示,

第 6 页 共 12 页

观察图象可知,若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与直线 y=a 有 3 个不同的交点,此时需满足 0<a<1,故选 D. 10.

11.

12.

第 7 页 共 12 页

13.【解析】 设 y=(x-1)2,y=logax.在同一坐标系中作出它们的图象,如图所示.
? ?a>1, 若 0<a<1,则当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 是不可能的,所以 a 应满足? ?loga2≥1, ?

解得 1<a≤2.所以,a 的取值范围为{a|1<a≤2}.

14.

第 8 页 共 12 页

15.解析:由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1?1+x f(x)=f(-x)=? ?2? , 函数 y=f(x)的图像如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1?x-3 f(x)=f(x-4)=? ?2? ,因此②④正确,③不正确.答案:①②④ 16.解析 :解: p 真 , 任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,即 a ? x 2 在 x ? [1, 2] 恒成立, x ??1,4?
2

则 a≤ 1 ?(2 分) 2 q 真 , 则 △ = ( a-1 ) -4 > 0,即 a > 3 或 a < -1 ?(4 分) ∵ “ p 或 q ” 为 真 , “ p 且 q ” 为 假 , ∴ p,q 中 必 有 一 个 为 真 , 另 一 个 为 假 ? ( 6 分 ) 当 p 真 q 假时,有 ?

a ?1 得 -1 ≤ a ≤ 1 ? ( 8 分 ) ??1 ? a ? 3 ?

当 p 假 q 真 时 , 得 a> 3 ? ( 10 分 ) ∴ 实 数 a 的 取 值 范 围 为 -1 ≤ a ≤ 1 或 a > 3 ? ( 12 分 ) 17.解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a. ∵a>1,∴当 x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0, ∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.…………………………………………...4 分 (2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1, ∴f′(0)=0, 当 x>0 时,ex>1,∴f′(x)>0, ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数; 同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.………………………………………….8 分 又 f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0, 当 x>2 时,f(x)>0, ∴当 x>0 时,函数 f(x)的零点在(1,2)内, ∴k=1 满足条件;…………………………………………………………....10 分 1 f(0)=-3<0,f(-1)= -2<0, e 1 f(-2)= 2+2>0, e 当 x<-2 时,f(x)>0,
第 9 页 共 12 页

∴当 x<0 时,函数 f(x)的零点在(-2,-1)内, ∴k=-2 满足条件. 综上所述,k=1 或-2. ………………………………………………..…..12 分 x-2 2 18【解】 (1)当 a=-2 时,f(x)=ln x+ ,f′(x)= 2 x x 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,2)上为减函数, 在(2,+∞)上为增函数.∴f(x)min=f(2)=ln 2+1. x+a (2)f′(x)= 2 , x ①当 a≥-1 时,对任意 x∈[1,e], 3 f′(x)≥0,此时 f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a= , 2 3 ∴a=- (舍). -------------------------------…………………………………………. 6 分 2 ②当 a≤-e 时,对任意 x∈[1,e], a 3 f′(x)≤0,此时 f(x)在[1,e]上为减函数.∴f(x)min=f(e)=1- = . e 2 e ∴a=- (舍). 2 -----------------------------------……………… 8 分 ----------------4 分

③当-e<a<-1 时,令 f′(x)=0,得 x=-a,当 1<x<-a 时,f′(x)<0, 3 f(x)在(1,-a)上递减.同理,f(x)在(-a,e)上递增.∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= , 2 ∴a=- e.综上,a=- e. ---------------------……………………………. 12 分

19.解:(Ⅰ)命题 p 为真,即 f ( x) 的定义域是 R ,等价于 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? ?1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 a ? ?1 或 a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 (?? , ? 1] ? ( , ? ?) 3 3

……………4 分

命题 q 为真,即 f ( x) 的值域是 R , 等价于 u ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 的值域 ? (0 , ? ?) ,

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? 1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 1 ? a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 [1 , ] 3 3
5 3 5 3

……………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ? p : a ? (?1 , ] ; q : a ? [1 , ] .

[1 , ] ,∴ ? p 是 q 的必要而不充分的条件 而 (?1 , ] ? 3 ? 3

5

5

……………12 分

第 10 页 共 12 页

20:解:(1)由题意 f ′ (x)= 2 x+

b 2x 2 ? 2x ? b = x ?1 x ?1

= 0 在(-1,+∞)有两个不等实

根,…………………………………………………………………………………………2 分 即 2x2+2x+b=0 在(-1,+∞)有两个不等实根,设 g(x)=2x2+2x+b,则 △=4?8b>0 且 g(?1)>0, 0< b<

1 2

………………………

… ..

5分

(2)对于函数 f(x)=x2-ln(x+1),令函数 h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)

1 3 x 3 ? ( x ? 1) 2 则 h′ (x)= 3x ?2x+ = ,当 x∈[0,+∞)时,h'(x)>0, x ?1 x ?1
2

所以函数 h(x)在[0,+∞)上单调递增,…………………………………………..9 分 又 h(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,恒有 h(x)>h(0)=0 即 x2<x3+ln(x+1)恒成立.取 x = 则有 ln (

1 ∈ (0 , +∞) , n
……………………………….13 分

1 1 1 +1) > 2 ? 3 恒成立. n n n
1
2

21.解: (1)由题意, g ?( x) ? ?

1 sin ? ? x ? 1 ? ≥0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 ≥0 . sin ? ? x x sin ? ? x2

∵θ ∈ (0, π) , ∴ sin ? ? 0 . 故 sin ? ? x ? 1≥ 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 只须 sin ? ?1 ? 1 ≥ 0 , 即 sin ? ≥ 1 ,只有 sin ? ? 1 .结合θ ∈(0,π) ,得 ? ? (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?

π 2

???..?4 分

m mx2 ? 2x ? m . ? 2ln x .?? f ( x) ? g ( x) ?? ? x x2 ∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,
∴ mx 2 ? 2 x ? m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x ? m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立.
mx 2 ? 2 x ? m ≥ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≥ 2 x ,即 m ≥

………………6 分

2x , 1 ? x2



2x 2 2 ? , ( )max=1,∴ m ≥ 1 . 1 1 x ?1 x ? x? x x
2

mx 2 ? 2 x ? m ≤ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≤ 2 x ,即 m ≤

2x 在[1,+∞)恒成立, 1 ? x2



2x ∈(0,1], m ≤ 0 .综上,m 的取值范围是 ? ??,0? x ?1
2

?1, ??? ………………

9分

(3)构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) , F ( x) ? mx ? 当 m ≤ 0 时, x ? [1, e] , mx ?

m 2e ? 2ln x ? . x x

m 2e ≤ 0 , ?2ln x ? <0 ,所以在[1,e]上不存在一个 x0 ,使得 x x

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立. ……………………………………………………………..11 分

第 11 页 共 12 页

当 m ? 0 时, (F ( x))' ? m ?

m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e .因为 x ? [1, e] ,所以 2e ? 2 x ≥ 0 , ? ? ? x2 x x2 x2

mx 2 ? m ? 0 ,所以 ( F ( x)) ' ? 0 在 x ? [1, e] 恒成立.

故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增, F(x)

min

=F(1)= -2e < 0,

F ( x)max ? F (e) ? me ?

m ? 4 ,只要 e

me ?

m ?4?0, e 4e 4e .故 m 的取值范围是 ( 2 , ??) . ……………………….. e2 ? 1 e ?1
14 分

解得 m ?

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