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南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案


南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试


参考公式:



2014.03

柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆柱的侧面积公式:S 侧=2πRh,其中 R 为圆柱的底面半径,h 为圆柱的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计

70 分. ) 1.函数 f(x)=lnx+ 1-x的定义域为 . .

2.已知复数 z1=-2+i,z2=a+2i(i 为虚数单位,a∈R).若 z1z2 为实数,则 a 的值为 3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析, 随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名学生的成绩,并根 据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则 成绩在[300,350)内的学生人数共有 .
a 0.005 0.004 0.003 0.001

频率 组距

成绩/分
200 250 300 350 400 450

O 150

(第 3 题图) 开始 k←1 S ←1

4.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回, 再随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少 有一个为偶数的概率为 .
y

5.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等比数列, a1 则 的值为 d . .
2

S←S+(k-1)2 S >6 N

k←k+1

6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,

O π 6 -2

· 11π x 12

Y 输出 k 结束

π A>0,ω>0,0<φ<π)错误!未找到引用源。的图象如下图所示,则 f( )的值为 3
(第 7 题图)

. (第 6 题图)

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 A, a b B 两点.若△AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为 . . .

9.表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为

2π → 1 → 1 → → → → → 10.已知| OA |=1,| OB |=2,∠AOB= , OC = OA + OB ,则 OA 与 OC 的夹角大小为 3 2 4

11.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(5,3)作直线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则直 线 l 的斜率为 .

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,当 x>0 时,f(x+1)=f(x)+f(1),且. 若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点,则实数 k 的值为 . .

13.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1,则实数 k 的取值范围为

14.设函数 f(x)=ax+sinx+cosx.若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y=f(x)在点 A,B 处 的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC.
E A D P

B (第 15 题图)

C

16.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 交 π π π 于点 A(x1 ,y1 ),α∈( , ).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B(x2,y2). 4 2 4 3 (1)若 x1= ,求 x2; 5 (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及 4 △BOD 的面积分别为 S1,S2,且 S1= S2,求 tanα 的值. 3
D O C x y B A

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得 工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
C P N

A (第 17 题图)

M

B

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2,一 a b 条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; 1 → → → → (3)若 F1P =λ QF1 ,且 λ∈[ ,2],求 OP · OQ 的最大值. 2

19.(本小题满分 16 分) ax+b x 已知函数 f(x)= e ,a,b∈R,且 a>0. x (1)若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; (2)设 g(x)=a(x-1)ex-f(x). ① 当 a=1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值; b ② 设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求 的取值范围. a

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 < . an a1

南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.(0,1] 8. 5 二、解答题: 15.省略 π π π 2 16.解: (1)x2=cos(α+ )=cosαcos -sinαsin =- . 4 4 4 10 (2)tanα=2. ……………6 分 2.4 1 9. 2 3.300 10.60° 5 4. 9 11.1 或 7 23 5.2 12.2 2-2 6.4 5 7 13.( , ) 3 3 7.1 14.[-1,1]

…………………………………………14 分

MN AM 17.解:设∠AMN=θ,在△AMN 中, = . sin60° sin(120° -θ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ) . 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP 16 4 3 = sin2(120° -θ)+4-2×2× sin(120° -θ) cos(60° +θ) 3 3 20 16 = - sin(2θ+150° ),θ∈(0,120° ). 3 3 ………………………………8 分 …………………………………………12 分 ………………………………………2 分 …………………………………………6 分

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.……………………………………14 分 =2, ?2c ? 2 18. (1)解:由题意得?a 解得 c=1,a2=2,所以 b2=a2-c2=1. = 2 , ?c ? x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 2 …………………………………………2 分

(2)因为 P(0,1),F1(-1,0),所以 PF1 的方程为 x-y+1=0. y+1=0, x=- , ?x+ ? ?x=0, ? 3 4 1 2 ? x 由? 解得 或? 所以点 Q 的坐标为(- ,- ). ……………………4 分 2 1 3 3 y = 1 , + y = 1 , ? ? ?2 ?y=-3, 解法一:因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2 为直角三角形. 1 1 5 2 因为 QF2 的中点为(- ,- ),QF2= , 6 6 3 1 1 25 所以圆的方程为(x+ )2+(y+ )2= . 6 6 18 → → (3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则F1P=(x1+1,y1),QF1=(-1-x2,-y2). ……………………8 分 ……………………6 分 4

?x1+1=λ(-1-x2), ?x1=-1-λ-λx2, → → 因为F1P=λQF1,所以? 即? ?y1=-λy2, ?y1=-λy2,

λ-λx ) +λ y =1, ?(-1-2 1-3λ 所以?x 解得 x = . 2λ ? 2 +y =1,
2 2 2
2 2 2

2

2

…………………………………………12 分

2 2

λ 2 → → 所以 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy2 2=-2x2 -(1+λ)x2-λ 1-3λ λ 1-3λ 2 7 5 1 =- ( ) -(1+λ)· -λ= - (λ+ ) . 2 2λ 2λ 4 8 λ 1 1 因为 λ∈[ ,2],所以 λ+ ≥2 2 λ …………………………………………14 分

1 1 λ· =2,当且仅当 λ= ,即 λ=1 时,取等号. λ λ …………………………………………16 分

1 → → 1 → → 所以 OP ·OQ≤ ,即 OP ·OQ最大值为 . 2 2

1 19.解: (1)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+ )ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x 所以 f ′(x)= (x+1)(2x-1) x e. x2 …………………………………………2 分

1 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2= ,列表 2 x f ′(x) f (x) (-∞, -1) -1 (-1,0) - ↘ 1 (0, ) 2 - ↘ 1 2 1 ( ,+∞) 2

?


0
极大值

0
极小值

?


1 - 由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e 1,f (x)的极小值是 f ( )=4 e.……………………………………4 分 2 b (2)① 因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax- -2a)ex, x b 当 a=1 时,g (x)=(x- -2)ex. x 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, x 所以 b≤x2-2x- x在 x∈(0,+∞)上恒成立. e (x-1)(2ex+1) x 记 h(x)=x -2x- x(x>0) ,则 h′(x)= . e ex
2

…………………………………………8 分

当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 h(x)min=h(1)=-1-e 1.


所以 b 的最大值为-1-e 1.


…………………………………………10 分

b b b ② 因为 g (x)=(ax- -2a)ex,所以 g ′(x)=( 2+ax- -a)ex. x x x b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)ex+( 2+ax- -a)ex=0, x x x 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0.

存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.
3 2 b 2x -3x 因为 a>0,所以 = . a 2x-1

…………………………………………12 分

2x3-3x2 设 u(x)= (x>1) ,则 u′(x)= 2x-1

3 3 8x[(x- )2+ ] 4 16 . (2x-1)2

因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1, b b 所以 >-1,即 的取值范围为(-1,+∞) . a a …………………………………………16 分

20.解: (1)因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则 a3=3-2d,a4=3-d. a3 (3-2d) 因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2=a4= 3-d . (3-2d)2 3 因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2,或 d=4. 3 因为 an>0,所以 d=4. 1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2.…………………………………5 分 (2)证:①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列. an+2 an+1 an+2an-a2n+1 (2an+1-an)an-a2n+1 (an+1-an)2 因为 - = = =- ≤0, an+1 an an+1an an+1an an+1an an+2 an+1 所以 ≤ . an+1 an an+2 an+1 ②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以 = . an+1 an 由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*, an+2 an+1 a3 ≤ ≤…≤ . a2 an+1 an
2

2

…………………………………………3 分

2 2 (a1-a2)2 a3 a2 2a2-a1 a2 2a2a1-a1 -a2 又因为 - = - = =- , a2 a1 a2 a1 a2a1 a2a1

(a1-a2)2 a3 a2 因为 a1<a2,所以- <0,即 < . a2a1 a2 a1 an+1 a2 综上, < . an a1


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