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1-2-2-2函数


名师伴你行 ·人教A版 ·数学 ·必修1

课 前 自 主 预 案

课 堂 研 习 导 案

第一章 集合与函数概念

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 1页

名师

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课 前 自 主 预 案

课 堂 研 习 导 案

1.2 函数及其表示

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 2页

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课 堂 研 习 导 案

1.2.2 函数的表示法

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 3页

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课 前 自 主 预 案

课 堂 研 习 导 案

第2课时 分段函数和映射

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 4页

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课 前 自 主 预 案

学 1. 掌 握 简 单 的 分 段 函 学 1.映射的概念以及它与 习 数,并能简单应用; 习 函数的概念的联系;
课 时 作 业

目 2.了解映射的概念及其 难 2.准确掌握和应用简单
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标 与函数的联系.

点 的分段函数.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 5页

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课 堂 研 习 导 案

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 6页

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[填一填]
课 前 自 主 预 案

一、分段函数 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不 同的对应关系,这样的函数通常叫做________.
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答案:分段函数

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 7页

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二、映射
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设 A , B 是两个 ________ 的集合,如果按某一个确定的 ________,使对于集合 A 中的________一个元素 x,在集合 B 中 都有________确定的元素 y 与之对应,那么就称对应________为 从集合 A 到集合 B 的一个映射.
课 时 作 业

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答案:非空 对应关系 f

任意 唯一 f:A→B

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 8页

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课 前 自 主 预 案

[想一想] 1.分段函数是一个函数还是几个函数?

答案:分段函数是一个函数,而不是几个函数,只不过在定
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义域的不同子集内,对应关系不同而已.

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第 9页

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2.函数是映射吗?
课 前 自 主 预 案

答案:函数是特殊的映射.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第10页

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第11页

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研习 1
课 前 自 主 预 案

分段函数的求值问题 什么样的函数是分段函数?有人说分段函数是几个

问题

函数的组合,你怎样理解?
答案:在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,
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课 堂 研 习 导 案

有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数 不是几个函数的组合,它是一个函数,而非几个函数,它只不过 是在定义域上的不同子集上的解析式不同而已.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第12页

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课 前 自 主 预 案

[典例1]

? ?x+2,x<0, ?x2,0≤x<2, 已知函数f(x)=? ?1 x,x≥2. ? ?2
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? ? ? 1??? (1)求f?f?f?-2???的值; ??? ???

(2)若f(x)=2,求x的值.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第13页

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[思路点拨]
课 前 自 主 预 案

分段考虑求值即可,由内而外,依次求值.

? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? (1)先求f?-2?,再求f?f?-2??,最后求f?f?f?-2???; ? ? ?? ??? ?? ???

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1 (2)分别令x+2=2,x =2,2x=2,分段验证求x. ? 1? ? 1? 3 ? ? ? ? [解析] (1)f -2 = -2 +2=2, ? ? ? ?
2

课 时 作 业

? ? 1?? ?3? ?3? 9 2 ? ? ? ? ? ? ? ? - ∴f f 2 =f 2 = 2 =4, ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1??? ?9? 1 9 9 ∴f?f?f?-2???=f?4?=2×4=8. ? ?? ? ? ???

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第14页

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(2)当f(x)=x+2=2时,x=0,不符合x<0;
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当f(x)=x2=2时,x=± 2,其中x= 2符合0≤x<2; 1 当f(x)=2x=2时,x=4,符合x≥2. 综上,x的值是 2或4.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第15页

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[巧归纳]
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(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值

所在的范围,代入相应的解析式求值. (2)多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处 理.
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(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值,可分段 利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验分段解析式的 适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式 再求解.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第16页

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?x,x≤-2, ? [练习1]函数f(x)= ?x+1,-2<x<4, ?3x,x≥4, ? 的取值范围是________.

若f(a)<-3,则a

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答案:(-∞,-3)

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第17页

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解析:当a≤-2时,f(a)=a<-3,
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此时不等式的解集为a<-3. 当-2<a<4时,f(a)=a+1<-3,此时不等式无解. 当a≥4,时f(a)=3a<-3,
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此时不等式无解. 所以a的取值范围是(-∞,-3).

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第18页

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研习2
课 前 自 主 预 案

分段函数的图象及应用

[讨论] 对于画分段函数的图象,我们应重点注意什么问 题?
答案:分段函数的图象应分段画出,注意自变量在不同范 围内图象的变化,同时注意衔接点的虚实.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第19页

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|x| [典例2] (1)作f(x)=x+ x 的图象. [思路点拨] 去绝对值号,化简f(x)的解析式并写出分段函

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数,再逐段画出图象. ? ?x+1?x>0?, [解析] f(x)=? 图象如图. ? ?x-1?x<0?,

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第20页

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(2)如图,根据函数y=f(x)的图象写出它的解析式.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第21页

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[思路点拨]
课 前 自 主 预 案

根据图象列出每一段的解析式,合在一起形成

f(x)的解析式.

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第一章 1.2

1.2.2

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[解析]
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当0≤x≤1时,f(x)=2x;

当1<x<2时,f(x)=2; 当x≥2时,f(x)=3. ?2x,0≤x≤1, ? 故f(x)=?2,1<x<2, ?3,x≥2. ?
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第一章 1.2

1.2.2

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第23页

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[巧归纳]
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(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先

应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函 数,然后分段作出函数的图象. (2)由于分段函数在定义域的不同区间解析式不同,因此画
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图时要注意区间端点处对应点的虚实问题. (3)根据分段函数的图象求解析式时,首先求出每一段的解 析式,然后写成分段函数的形式.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第24页

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[练习2]已知函数f(x)=2|x-1|-3|x|,x∈R.
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(1)画出函数f(x)的图象; (2)求函数f(x)的值域.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第25页

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解:(1)当x<0时,
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y=-2(x-1)+3x=x+2; 当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2; 当x≥1时,y=2(x-1)-3x=-x-2. ?x+2,x<0, ? 因此,f(x)=?-5x+2,0≤x<1, ?-x-2,x≥1, ? 依上述解析式作出图象,如图.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第26页

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(2)由图象可以看出,所求值域为(-∞,2].

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第27页

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研习3
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映射的概念 函数关系实质上是两个集合间的一种对应,这两

[讨论1]

个集合有何特点?

答案:两个集合都是非空数集.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第28页

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[讨论2]
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函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将

其中的条件“非空数集”扩展为“任意两个非空集合”,按照 某种法则可以建立起更为普遍的两个集合的元素之间的对应关 系,即映射.那么,你能给映射下个定义吗?
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答案:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从 集合A到集合B的一个映射.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第29页

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[讨论3]
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函数与映射有怎样的关系?

答案:映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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[典例3] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:
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(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|; (1)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作 圆的内接矩形;
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(2)A={高一(1)班的男生},B={男生的身高},对应关系f: 每个男生对应自己的身高; 1 (3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y= 2 x.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第31页

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[思路点拨]
课 前 自 主 预 案

解答本题由映射的概念出发,观察A中任何一

个元素在B中是否都有唯一元素与之对应.

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第32页

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[解析] (1)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何
课 前 自 主 预 案

一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射. (2)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一 个元素与之对应,符合映射定义,是映射.
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1 (3)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y= 2 x作用下对应 的元素构成的集合C={y|0≤x≤1}?B,符合映射定义.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第33页

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[巧归纳]
课 前 自 主 预 案

判断一个对应是否为映射,依据是映射的定义,

判断方法为:先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应 元素.若没有,则不是映射;若有,再看对应元素是否唯一, 若唯一,则是映射,若不唯一,则不是映射.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第34页

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[练习3]下列对应是A到B上的映射的是(
课 前 自 主 预 案

)

A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3| B.A=N*,B={-1,1,-2},f:x→(-1)x 3 C.A=N,B=Q,f:x→x D.A=N,B=R,f:x→x的平方根
答案:B
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第35页

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解析:选项A,由于A中的元素3在法则f的作用下与3的差的
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绝对值在B中找不到象,所以A错误. 选项B,对于任意的正整数x,(-1)x均为1或-1,在集合B 中有唯一的1或-1与之对应,满足映射的定义,故选B.
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选项C,0在f作用下无意义,所以C错误. D选项,正整数在实数集R中有两个平方根与之对应,不满 足映射概念,所以不是映射.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第36页

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[当堂达标]
课 前 自 主 预 案

1.已知集合A={a,b},B={0,1},则下列对应不是从A到 B的映射的是( )
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答案:C
解析:在映射中允许“多对一”,但不允许“一对多”.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第37页

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? ?x-5,x≥6, 2.已知f(x)=? ? ?2x-4,x<6,

则f(3)为( C.4

) D.5
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A.2

B.3

答案:A
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解析:∵3<6,∴f(3)=2×3-4=2.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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课 前 自 主 预 案

2 ? ?x +1,x≥0, 3.函数f(x)=? ? ?2-x,-2≤x<0

的值域是________.

答案:[1,+∞)

解析:当x≥0时,f(x)≥1,
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当-2≤x<0时,2<f(x)≤4, ∴f(x)≥1或2<f(x)≤4,即f(x)的值域为[1,+∞).

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第39页

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4.已知从集合A到集合B的映射是f1:x→2x-1,从B到C的
课 前 自 主 预 案

1 映射是f2:y→ ,则从A→C的映射为________. 2y+1
1 答案:x→ 4x-1
1 1 解析:依题设 = , 2?2x-1?+1 4x-1 1 ∴A→C的映射为x→ . 4x-1
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第40页

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2 ? ?x -4,0≤x≤2, 5.已知函数f(x)=? ? ?2x,x>2.

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(1)求f(2),f??f?2???的值;
? ?

(2)若f(x0)=8,求x0的值.
解:(1)∵0≤x≤2时,f(x)=x2-4,∴f(2)=22-4=0, f??f?2???=f(0)=02-4=-4.
? ?

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(2)当0≤x0≤2时,由x2 0-4=8, 得x0=± 2 3(舍去); 当x>2时,由2x0=8,得x0=4.∴x0=4.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第41页

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[课堂小结]
课 前 自 主 预 案

1.对映射的定义,应注意以下几点: (1)集合A和B必须是非空集合,它们可以是数集、点集,也 可以是其他集合.
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(2)映射是一种特殊的对应,对应关系可以用图示或文字描 述的方法来表达.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第42页

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2.理解分段函数应注意的问题:
课 前 自 主 预 案

(1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并 集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点 需不重不漏.
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(2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就 用哪一段的解析式. (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是 作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得 到整个函数的图象.
第一章 1.2 1.2.2 第2课时

第43页

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[教材习题答案与解析]
课 前 自 主 预 案

[练习] 1.y=x 2 500-x2(0<x<50). 2.解:(1)图(D);(2)图(A);(3)图(B).
课 时 作 业

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图(C):我出发后感到时间较紧,所以加速前进,后来发现 时间还很充裕,于是放慢了速度.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第44页

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3.解:如图所示.
课 前 自 主 预 案 课 时 作 业

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3 4. 2 ;45° .

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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[习题1.2]
课 前 自 主 预 案

A组 1.解:(1){x|x≠4};(2)x∈R;(3){x|x≠1且x≠2}; (4){x|x≤4且x≠1}.
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2.第(3)组中的函数f(x)与g(x)相等.第(1)(2)组中的两个函 数的定义域不同.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第46页

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3.解:(1)如图①,定义域为R,值域为R;
课 前 自 主 预 案

(2)如图②,定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第47页

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(3)如图③,定义域为R,值域为R; (4)如图④,定义域为R,值域为{y|y≥-2}.

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第48页

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4.解:f(- 2)=8+5 2,f(-a)=3a2+5a+2,
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f(a+3)=3a2+13a+14, f(a)+f(3)=3a2-5a+16. 5.(1)不在;(2)-3;(3)14.
课 时 作 业

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6.解:因为f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3, 所以f(-1)=8.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第49页

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7.解:(1)如图①.
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(2)如图②.

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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10 8.答案不唯一,例如:y= x (x>0,y>0),
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20 l=2x+ x (x> 10), l=2 d2+20(d>2 5).
?d? 9.解:依题意,得π?2?2x=vt, ? ?
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4v ∴x=πd2t. 由题意可知函数的值域为[0,h],
2? ? h π d ? 0 , ∴函数的定义域为? ? ?. 4 v ? ?

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第52页

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10.解:设f为集合A到集合B的映射,则从A到B的映射共有
课 前 自 主 预 案

8个,如图所示.

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第53页

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B组
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1.(1)[-5,0]∪[2,6); (2)[0,+∞); (3)r∈[0,2)∪(5,+∞).
课 时 作 业

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2.解:(1)略. (2)点(x,0)和(5,y),即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图 象上.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第54页

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课 堂 研 习 导 案

?-3,x∈?-2.5,-2?, ? ?-2,x∈[-2,-1?, ?-1,x∈[-1,0?, ? 3.解:f(x)=?0,x∈[0,1?, ?1,x∈[1,2?, ? ?2,x∈[2,3?, ?3,x∈{3}. ?

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第55页

名师伴你行 ·人教A版 ·数学 ·必修1

函数图象如图所示.
课 前 自 主 预 案 课 时 作 业

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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课 前 自 主 预 案

12-x x 2 +4 4.(1)t(x)= 5 + 3 (0≤x≤12); 8 2 5 (2)t(4)=5+ 3 ≈3(h).
课 时 作 业

课 堂 研 习 导 案

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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名师伴你行 ·人教A版 ·数学 ·必修1

课 前 自 主 预 案

[规范解答] [示例]

分段函数的求值及解不等式问题
2 ? ?-x +3,x≤0, f(x)=? ? ?4x,x>0.

(12 分)已知函数

课 堂 研 习 导 案

(1)求 f(f(-1)); (2)若 f(x0) >2,求 x0 的取值范围.

课 时 作 业

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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[思路点拨]
课 前 自 主 预 案

审条件 建联系

已知的是函数解析式,且是分段函数 求值、解不等式均需要借助于函数解析式, 故理解解析式是关键

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求值时关键是看变量所在区间对应的解析式;
找思路

课 时 作 业

解不等式时应先求出 f(x0),构造出不等式然 后求解

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

第59页

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[规范解答]
课 前 自 主 预 案 课 时 作 业

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第一章 1.2

1.2.2

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1.2.2

第2课时

第61页

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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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[误区警示]
课 前 自 主 预 案

失分点 1:若在①处忽视-1 所在区间上的对应法则,而代 入另外解析式则会扣掉 4 分. 失分点 2: 解题时只考虑不等式的解集, 忽视②处的大前提,
课 时 作 业

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则会导致结论范围扩大而失分.或忽视②处一种情况的讨论,也 会使解题过程不完整而致误,一般会扣 3 分. 失分点 3: 解题时若忽视③处的总结性的结论, 则会扣 2 分, 这一步应引起足够的重视.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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[规律指导]
课 前 自 主 预 案

1.分段函数意义的理解

分段函数是指变量在不同区间上取值时, 对应法则不同而构 成的函数, 所以在分段函数求值时, 一定要搞清楚变量所在区间, 找准其对应法则.如本例中的(1)求 f(-1)应使用 x≤0 时对应的
课 时 作 业

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解析式,而求 f(2)时,则使用 x>0 时对应的解析式.

第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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2.分段讨论易忽视的问题
课 前 自 主 预 案

(1)解决分段讨论问题时, 大前提不要忽视, 我们研究问题都 是在这个大前提下研究的,如本例中 x0≤0 是我们解不等式 2< -x2 0+3 的前提条件,所以解出不等式的解后要和 x0≤0 取交集. (2)遇到变量范围不确定或含有参数问题时, 要有分类讨论的 意识,如本例中由于 f(x0)>2 中 x0 的范围不确定,故需分两种情 况讨论.
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第一章 1.2

1.2.2

第2课时

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完成课时作业(八)

第一章 1.2

1.2.2

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