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2015-2016学年高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修4


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) → → 1.(2013·湖北卷)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)则向量AB在CD方 向上的投影为( A. 3 2 2 )

3 1

5 3 2 3 15 B. C.- D.- 2 2 2 → → → → → 2 2 解析:∵AB=(2,1),CD=(5,5),∴AB·CD=(2,1)·(5,5)=15,|CD|= 5 +5 = → → → → → → → AB·CD 15 3 2 5 2.所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos<AB,CD>= = = ,故选 A. → 2 |CD| 5 2 答案:A 2.(2013·浙江卷)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 B. 3 4 3 C.- 4 4 D.- 3 10 ,则 tan 2α =( 2 )

1 3 解析:由已知可求得 tan α =-3 或 ,∴tan 2α =- ,故选 C. 3 4 答案:C π? ? 3.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?其中A>0,|φ |< ?的图象如图所示,则 f(0)=( 2? ? )

1 A.1 B. 2

C.

2 2

D.

3 2

解析:由图象知 A=1,T=4? 把?

?7π -π ?=π ,∴ω =2. ? ? 12 3 ?

?7π ,-1?代入函数式中,可得 φ =π , ? 3 ? 12 ? ? ?
π?

f(x)=Asin(ω x+φ )=sin?2x+ ?, 3

?

1

π 3 故 f(0)=sin = . 3 2 答案:D 4.若 O、A、B 是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( → → → → → → A.AB=OA+OB B.AB=OB-OA → → → C.AB=-OB+OA → → → D.AB=-OB-OA )

解析:根据向量的表示可知选 B. 答案:B 5. (2014·安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x. 当 0≤x<π 时, f(x) =0,则 f? A.

?23π ?=( ? ? 6 ?

)

1 3 1 B. C.0 D.- 2 2 2 解析:根据已知条件判断出 f(x)是以 2π 为周期的周期函数,然后进行求解. ∵f(x+π )=f(x)+sin x, ∴f(x+2π )=f(x+π )-sin x. ∴f(x+2π )=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数. 又 f?

?23π ?=f?4π -π ?=f?-π ?, ? ? ? ? 6? ? 6 ? ? ? ? 6?
π π π

? ? ? ? ? ? f?- +π ?=f?- ?+sin?- ?, 6 6 6 ? ? ? ? ? ?
∴f?

?5π ?=f?-π ?-1. ? ? ? ? 6 ? ? 6? 2 ?5π ?=0. ? ? 6 ? ?23π ?=f?-π ?=1.故选 A. ? ? ? ? 6 ? ? 6? 2

∵当 0≤x<π 时,f(x)=0, ∴f? ∴f?

答案:A

?x π ? 6.为了得到函数 y=2sin? + ?,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sin x,x∈R 的图象 ?3 6 ?
上所有的点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 原来的 (纵坐标不变) 6 3

2

π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 π 1 C.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 6 3 π D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 π ? π? ? π? 解析:f(x)=2sin x 向左平移 得 f?x+ ?=2sin?x+ ?=g(x),把 g(x)图象横坐标 6? 6? 6 ? ?

?1 ? ?1 π ? 伸长到原来的 3 倍得 g? x?=2sin? x+ ?. 6? ?3 ? ?3
答案:B 7.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 π B. 6 π C. 4 3π D. 4 )

解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3), 则(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9, |2a+b|=3 2,|a-b|=3. 设 2a+b 与 a-b 的夹角为 θ ,且 θ ∈[0,π ], 9 2 π 则 cos θ = = ,得 θ = ,故选 C. 2 4 3 2×3 答案:C 8.函数 f(x)= A.? 1 sin x- ,x∈(0,2π )的定义域是( 2 )

?π ,π ? ? ?6 2?

B.?

?π ,5π ? C.?π ,5π ? D.?π ,5π ? ? ?2 ? ?3 ? 6 ? 6 ? 3 ? ?6 ? ?

解析:如下图所示,

1 π 5π ∵sin x≥ ,∴ ≤x≤ . 2 6 6 答案:B 9.(2013·湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的取值范围是( )
3

A.[ 2-1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] C.[1, 2+1] D.[1, 2+2]

解析:因为 a·b=0,即 a⊥b,又|a|=|b|=1,所以|a+b|= 2,不妨让 a,b 固定, 设 u=a+b,则|c-u|=1,即 c 的 终点在以 u 对应点为圆心,半径为 1 的圆上.则当 c 与 u 方向相同时,|c|max= 2+1,当 c 与 u 方向相反时,|c|min= 2-1,所以|c|的取值范围是 [ 2-1, 2+1].故选 A. 答案:A → ? → → ? → AB AC ? → AB AC 1 → → ? + 10. 已知在△ABC 中, 向量AB与AC满足 · BC=0, 且 · = , 则△ABC → ? ?|→ → → 2 |AB| |AC| ? AB| |AC|? 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 解析:如图,设 0, D.等边三角形

AB



|AB|

→ AC → → → → → → → =AE, =AF,则原式化为:(AE+AF)·BC=0,即AD·BC= → →

|AC|

→ → ∴AD⊥BC. ∵四边形 AEDF 是菱形, ∴∠EAD=∠DAC. → → → ∵AE·AF= AE →|cos ∠BAC=1, | ||AF 2

1 ∴cos ∠BAC= . 2 ∴∠BAC=60°,∴∠BAD=∠DAC=30°. △ABH≌△ACH? AB=AC,∵∠BAC=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 答案:D

4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11.(2014·天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,

DC 上,BC=3BE,DC=λ DF.若AE·AF=1,则 λ 的值为________.
→ → → → 解析:根据 条件把向量AF,AE用向量AB,AD表示出来,然后根据向量数量积公式求解.





→ → → → → → ?→ 1→? ?→ 1 →? → → 1 → → 1→ → AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)=?AB+ BC?·?AD+ DC?=AB·AD+ AB·DC+ BC·AD+ 3 ? ? λ ? λ 3 ? 1 → → 1 1 1 4 4 BC·DC=2×2×cos 120°+ ×2×2+ ×2×2+ ×2×2×cos 120°=-2+ + - 3λ λ 3 3λ λ 3 2 10 2 = - , 3λ 3λ 3 10 2 → → 又∵AE·AF=1,∴ - =1.∴λ =2. 3λ 3 答案:2 1 2 12.(2013·上海卷)若 cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,则 sin(x+ 2 3

y)= ___ _____.
1 2 2 解析:cos(x-y)= ,sin 2x+sin 2y=2sin(x+y)·cos(x-y)= ,故 sin(x+y)= . 2 3 3 2 答案: 3 13.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值, 则 cos θ =_____________________________________. 解析:先利用三角恒等变换求得函数的最大值,再利用方程思想求解.

y=sin x-2cos x= 5?
设 1

? 1 sin x- 2 cos x? ?, 5 ? 5 ?

2 =cos α , =sin α ,则 y= 5(sin xcos α -cos xsin α )= 5sin(x-α ). 5 5

∵x∈R,∴x-α ∈R. ∴ymax= 5. 又∵x=θ 时,f(x )取得最大值,
5

∴f(θ )=sin θ -2cos θ = 5. 又 sin θ +cos θ =1, 1 ? ?sin θ = 5, 2 5 ∴? 即 cos θ =- . 5 2 ? ?cos θ =- 5, 2 5 答案:- 5 π? ? 14.已知函数 f(x)=sin ω x,g(x)=sin?2x+ ?,有下列命题: 2? ? π ①当 ω =2 时,f(x)g(x) 的最小正周期是 ; 2 9 ②当 ω =1 时,f(x)+g(x)的最大值为 ; 8 π ③当 ω =2 时,将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度可以得到函数 g(x)的图象. 2 其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上). 1 2π π 解析:①ω =2 时,f(x)g(x)=sin 2x·cos 2x= sin 4x,周期 T= = .故①正确. 2 4 2 1?2 9 ? 2 ②ω =1 时,f(x)+g(x)=sin x+cos 2x=sin x+1-2sin x=-2?sin x- ? + ,故 4? 8 ? 1 9 当 sin x= 时,f(x)+g(x)取最大值 .故②正确. 4 8 π ? π? ③当 ω =2 时,将函数 f(x)的图象向左平移 得到 sin 2?x+ ?=-sin 2x,故③不正 2? 2 ? 确. 答案:①② 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若 → → AC·BE=1,求 AB 的长. → → → → 1→ → 1→ 解析:∵E 为 CD 的中点,∴BE=BC+CE=AD- DC=AD- AB. 2 2 → → → → → → → ?→ 1→? → → → 2 1 → 2 1→ → ∵AC·BE=1,AC=AD+AB,∴AC·BE=?AD- AB?·(AD+AB)=|AD| - |AB| + AB·AD 2 ? 2 2 ? 1 → 2 1 → 1 → 2 1 → → 1 =1,即 1- |AB| + |AB|cos 60°=1,∴- |AB| + |AB|=0,解得|AB|= . 2 2 2 4 2
2 2

6

π? 1 ? 16.(本小题满分 12 分)已知 tan?α + ?= . 4? 3 ? (1)求 tan α 的值;

?π ? ? 2 2?3π (2)求 2sin α -sin(π -α )sin? -α ?+sin ? +α ?的值. ?2 ? ? 2 ? π ? tan α +1 1 ? 解析 :(1)∵tan?α + ?= = , 4 ? 1-tan α 3 ?
1 ∴tan α =- . 2 (2)原式=2sin α -sin α cos α +cos α = 2sin α -sin α cos α +cos α 2tan α -tan α +1 = 2 2 2 sin α +cos α tan α +1
2 2 2 2 2

2 ? 1? ? 1? 2×?- ? -?- ?+1 8 ? 2? ? 2? = = . 2 5 ?-1? +1 ? 2? ? ?

? π? ? 5π ? 17.(本小题满分 14 分)(2014·广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ? 4 ? ? ? 12 ?
3 = . 2 (1)求 A 的值; 3 ? π? ? 3π (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈?0, ?,求 f? -θ 2? 2 ? ? 4 解析:(1)∵f?

?. ? ?

?5π ?=Asin?5π +π ?=Asin2π =Asinπ = 3A=3,∴A= 3. ? ? 12 4 ? 3 3 2 2 ? 12 ? ? ?

π? ? π? ? (2) 由 (1) 知 f(x) = 3 sin ?x+ ? , 故 f(θ ) + f( - θ ) = 3 sin ?θ + ? + 3 4? 4? ? ? π? 3 ? sin?-θ + ?= , 4? 2 ? ∴ 3? 2 ? 2 ? 3 (sin θ +cos θ )+ (cos θ -sin θ )?= . 2 ?2 ? 2

3 6 ∴ 6cos θ = .∴cos θ = . 2 4 10 ? π? 2 又 θ ∈?0, ?,∴sin θ = 1-cos θ = . 2? 4 ? ∴f?

?3π -θ ?= 3sin(π -θ )= 3sin θ = 30. ? 4 ? 4 ?
π? ? 18.(本题满分 14 分)(2013·安徽卷)已知函数 f(x)=4cos ω x·sin?ω x+ ?(ω >0) 4? ?
7

最小正周期为π . (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. π? ? 解析: (1)f(x)=4cos ω x· sin?ω x+ ?=2 2cos ω x(sin ω x+cos ω x)= 2(sin 2 4? ? π? π? 2π ? ? ω x+cos 2ω x+1)=2sin?2ω x+ ?+ 2? =π ? ω =1.∴f(x)=2sin?2x+ ?+ 2, 4? 4? 2ω ? ? ω =1. π ? ?π 5π ? π π π ? π? ? (2)当 x∈?0, ?时,?2x+ ?∈? , ?,令 2x+ = 解得 x= , 2? 4? ?4 4 ? 4 2 8 ? ?

? π? ?π π ? ∴y=f(x)在?0, ?上单调递增;在? , ?上单调递减. 8? ? ?8 2?
19.(本题满分 14 分)(2013·上海卷)(6 分+8 分)已知函数 f(x)=2sin(ω x), 其中常数 ω >0.

? π 2π ? (1)若 y=f(x)在?- , ?上单调递增,求ω 的取值范围; 3 ? ? 4
π (2)令 ω =2, 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度, 6 得到函数 y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b-a 的最小值. 解析:(1)因为 ω >0, π π - ω ≥- , ? ? 4 2 3 根据题意有? ? 0<ω ≤ . 4 2π π ω≤ ? ?3 2 π? ? ? π ?? ? (2)f(x)=2sin 2x,g(x)=2sin?2?x+ ??+1=2sin?2x+ ?+1. 6 ?? 3? ? ? ?

g(x)=0? sin?2x+ ?=- ? x=kπ - 或 x=kπ - π ,k∈Z,即 g(x)的零点相离间隔 3

? ?

π?

?

1 2

π 4

7 12

π 2π 2π 依次为 和 ,故若 y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点 ,则 b-a 的最小值为 14× 3 3 3 π 43π +15× = . 3 3

20.(本小题满分 14 分)已知向量 m=(sin x,-cos x),n=(cos θ ,-sin θ ),其 中 0<θ <π .函数 f(x)=m·n 在 x=π 处取得最小值. (1)求 θ 的值;

8

1 (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 sin B=2sin A,f(C)= ,求 A. 2 解析:(1)∵f(x)=m·n=sin xcos θ +cos xsin θ = sin(x+θ ),且函数 f(x)在 x=π 处取得最小值, ∴sin(π +θ )=-1, 即 sin θ =1. π 又 0<θ <π ,∴θ = . 2

? π? ∴f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? ?
1 1 (2)∵f(C)= ,∴cos C= . 2 2 π ∵0<C<π ,∴C= . 3 2π ∵A+B+C=π ,∴B= -A. 3 代入 sin B=2sin A 中, ∴sin?

?2π -A?=2sin A. ? ? 3 ?

2π 2π ∴sin cos A-cos sin A=2sin A. 3 3 ∴tan A= 3 . 3

π ∵0<A<π ,∴A= . 6

9


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