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高三圆锥曲线专题测试题


高三圆锥曲线专题测试题
一、选择题 1.椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点之间的距离为( A. 2 10 2.椭圆 ( A. )
3 2

) D. 2

B. 10

C. 2 2

???? ? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1,F2 ,过 F1 作

垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P ,则 PF2 = 4

B. 3

C.

7 2

D.4 ) D.与 m 有关 )

3.双曲线 A.8

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( m2 ? 12 4 ? m2

B.4

C. 2 2

4.焦点为 (0, 且与双曲线 6) A.

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2

x2 y 2 y 2 x2 x2 y 2 y 2 x2 B. ? ? 1 C. ? D. ? ? ?1 ?1 ?1 12 24 24 12 24 12 12 24 5.抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 P(?3,m) 到焦点的距离为 5,则抛物线的标准方程为(



A. y 2 ? 4 x

B. y 2 ? 8x

C. y 2 ? ?4 x

D. y 2 ? ?8 x ) D.y 2 ? ?12 x 或 x 2 ? 16 y

6.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 16 x 或 x 2 ? ?12 y 7.椭圆 A.1 B.y 2 ? 16 x 或 x 2 ? 16 y

C.y 2 ? 16 x 或 x 2 ? 12 y )

x2 y2 1) ? ? 1 的一个焦点为 (0, ,则 m 等于( m2 3 ? m

?1 ? 17 5 D. 2 3 8.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 △ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是(

B. ?2 或 1

C.



A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

9.以双曲线 ?3x2 ? y 2 ? 12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是( A.
x2 y 2 ? ?1 16 12


x2 y 2 ? ?1 4 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 4

C.

x2 y 2 ? ?1 12 16

D.

10.经过双曲线 y 2 ? x 2 ? ?8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是( A.
4 10 3



B.

20 2 3

C. 2 10

D. 7 2 )

11.一个动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点( A. (0, 2) B. (0, 2) ? C. (2, 0) D. (4, 0)

12.已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F 和点 A(?18) P 为抛物线上一点,则 PA ? PF 的最小值是( ,,


1

A. 16 B.12 三、填空题 13. 已知椭圆

C.9

D.6

x2 y 2 则 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 连线的夹角为直角, PF1· PF2 ? 49 24 3 14.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的离心率为 . 4



15.圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 . 16. 当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时, 椭圆长轴的最小值为 . 三、解答题 17.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点到同侧长轴端 点距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程.

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q ,且 PQ ? 10 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 求椭圆的方程.

18.椭圆

x2 y 2 2 ,过 F 作 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,左顶点为 B,F 为右焦点,离心率 e ? 2 2 a b 平行于 AB 的直线交椭圆于 C,D 两点,作平行四边形 OCED ,求证: E 在此椭圆上.

19.如图 1,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一 27 36 个交点的纵坐标为 4,求双曲线的方程.

20.已知双曲线与椭圆

21.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线 a 2 b2

?3 ? 与双曲线的交点为 ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. ?2 ?

22.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱 共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

2

高三第一轮复习圆锥曲线专题测试题 一、填空题(共 14 小题,每题 5 分,计 70 分) 1. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”,则黄金椭圆的离心率为 .

2.中心在原点, 焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为

,其离心率是



3.已知双曲线 距离为 ____________

的焦点为

、 ,点

在双曲线上且

轴,则

到直线



4.抛物线

的焦点坐标为

____________

5. 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是

上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 ____________

6. 椭圆 为 ____________

的焦点



, 为椭圆上的一点,已知

,则△

的面积

7. 已知抛物线

, 一定点 A (3, , 是抛物线的焦点, P 是抛物线上一点, 1) F 点 |AP|+|PF|

的最小值____________。 8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 1,则侧棱和底面所成的角为____________。 9.以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,

,则动点 P 的轨迹为双曲线;

②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 迹为椭圆;

则动点 P 的轨

3

③方程

的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线 其中真命题的序号为

有相同的焦点. ____________。(写出所有真命题的序号)

10.方程

表示椭圆的充要条件是



11.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 上的椭圆的概率是 .

表示焦点在 x 轴

12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆, 测得近地点 A 距离 地面 ①焦距长为 为______ ,远地点 B 距离地面 ;②短半轴长为 __. ,地球半径为 ,关于这个椭圆有以下四种说法: ;其中正确的序号

;③离心率

13.以椭圆

内的点

为中点的弦所在直线方程为



14.设 则

分别是双曲线 .

的左、右焦点.若点

在双曲线上,且



二、解答题(6 大题共 90 分,要求有必要的文字说明和步骤)

15.点 A、B 分别是椭圆 且位于 轴上方,

长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上, .求点 P 的坐标;

4

.

16. (1) 已知椭圆 C 的焦点 F1(-

,0)和 F2(

,0),长轴长 6,设直线



椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

(2) 已知双曲线与椭圆

共焦点,它们的离心率之和为

,求双曲线方程.

17.已知抛物线 C: y=补.

x2+6, 点 P(2, 4)、A、B 在抛物线上, 且直线 PA、PB 的倾斜角互

(Ⅰ)证明:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅱ)当直线 AB 在 y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

5

18. 双曲线

(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l c.求双曲线的离心率 e 的取值范围

的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥

19.已知抛物线

的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 轴上方的点,

A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.。 (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 ,垂足为 N,求点 N 的坐标; 是 轴上一动点时, 讨 论

(3) M 为圆心, 为半径作圆 M, 以 MB 当 直线 AK 与圆 M 的位置关系.

20. 椭 圆 C:

的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

6

(Ⅱ)若直线 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称, 求直线 的方程.

高三数学圆锥曲线测试答案

1.

2.



3.

4.

5.

4

6. 9

7. 4

8.

9.③④ 14.

10.

11.

12.① ② ③

13.

15. 解:由已知可得点 A(-6,0),F(4,0)

设点 P 的坐标是

,由已知得

由于

16 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=

,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

.

联立方程组

,
7

消去 y 得,

.

设 A(

),B(

),AB 线段中点为 M(

)那么:

,

所以

也就是说线段 AB 中点坐标为

(2) 解:由于椭圆焦点为 F(0, 4),离心率为 e=

,所以双曲线的焦点为 F(0, 4),离心率 2,

从而 c=4,a=2,b=2

.所以求双曲线方程为:

.

(17) (Ⅰ)证: 易知点 P 在抛物线 C 上, 设 PA 的斜率为 k, 则直线 PA 的方程是 y-4=k(x-2).

代入 y=-

x2+6 并整理得 x2+2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根 xA 及 2,

由韦达定理得:2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4). 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补, 故 PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1), -k2+4k+4) ∴kAB=2.

(Ⅱ) ∵AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=-

x2+6 消去 y 得

x2+2x+b-6=0.

|AB|=2

.
8

∴S=

|AB|d=

·2

.

此时方程为 y=2x+

.

(18) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,

得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

.

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 =

.

s= d1 +d2=

=

.

由 s≥

c,得



c,即 5a

≥2c2.

于是得 5

≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.

解不等式,得

≤e2≤5.由于 e>1>0,

所以 e 的取值范围是

(19) 解:(1)抛物线 ∴抛物线方程为 y2= 4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2),
9

又∵F(1,0), ∴

则 FA 的方程为 y=

(x-1),MN 的方程为

解方程组 (3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2),半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离,

当 m≠4 时,直线 AK 的方程为

即为

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离

,令

时,直线 AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 时,直线 AK 与圆 M 相交.

20 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以

,a=3.

在 Rt△PF1F2 中,

故椭圆的半焦距 c=

,

从而 b2=a2-c2=4, 所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).

=1.

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1).
10

从而可设直线 l 的方程为:y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.

所以

解得



所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 x2 且





由①-②得 因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2,



代入③得

= ,

即直线 l 的斜率为 ,

11

所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2), 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

12


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