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2015福建省高职单招数学模拟卷(十套)


1

福建省高考高职单招数学模拟试题(一) 班级: 姓名: 座号:

一、选择题(本大题有 15 小题,每小题 3 分,共 45 分。在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M ? ?0,1, 2?, N ? ?0,1? ,则 M A . ?2? D. ?0,1, 2? 2.某几何体的三视图如下图所示,则该几何 体是 A.圆柱 D.三棱锥 3.当输入 a 的值为 1, b 的值为 ?3 时,右边程序运行的结果是 A.1 B. ? 2
?
6
N?

B . ?0,1?

C . ?0, 2?

B.圆锥

C.三棱柱

正视图

侧视图

俯视图

C. ? 3

D. 2
INPUT a,b a=a+b ? D . PRINT2 a END

4.函数 y ? 2sin(2 x ? A. 4?

) 的最小正周期是

B. 2?

C. ?

5.下列函数中,在 ?0, ??? 上是减函数的是 A. D. y ? ? ?
y? 1 x

B . y ? x2 ? 1

C . y ? 2x

? x ? x ? 0? ? ?? x ? x ? 0 ?

6.不等式组 ?
y

?x ? y ?1 ? 0 表示的平面区域是 ?x ? 1
y y y

-1 O 1 x

-1 O 1 x

-1 O 1 x

-1 O 1

A

B

C

D

2

7.函数 y ? 1 ? sin x 的部分图像如图所示,则该函数在 ?0,2? ? 的单调 递减区间是 A
? 3? ? B. ? ? , ?
?2 2 ?



?0, ? ?

C .
? ? D. ? ? , 2? ?
?2 ?

? 3? ? 0, ? ? 2? ?

? 2

?

3? 2

2?

8.方程 x3 ? 2 ? 0 的根所在的区间是 A . ? ?2,0? D. ? 2,3? 9.已知向量 a ? (2,1) ,b ? (3, ? ) ,且 a⊥b,则 ? ?
?6 A.

B . ? 0,1?

C . ?1, 2?

6 B.

C.

3 2

? D.

3 2

10.函数 y ? log2 ? x ?1? 的图像大致是

11.不等式 x2 ? 3x ? 0 的解集是 A . ? x 0 ? x ? 3? D. ? x x ? 0, 或x ? 3? 12.下列几何体的下底面面积相等,高也相等,则体积最大的是 B .

? x x ? 0, 或x ? 3?

C . ? x 0 ? x ? 3?

3

A

B

C

D

13.如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形上随机 撒一粒黄豆,则黄豆落到圆内的概率是 A.
? 4
4 ?? 4

B.
3 5

4

?

C.

D. ?

14.已知 cos ?? ? ? ? ? ? ,则 cos 2a ? A. D. ?
7 25 16 25

B.

?

16 25

C.

7 25

甲 21 0 89 0 1 2 3



15.在某五场篮球比赛中,甲、乙两名运动员得分的 茎叶图如下.下列说法正确的是 A.在这五场比赛中,甲的平均得分比乙好,且甲比乙稳定 B.在这五场比赛中,甲的平均得分比乙好,但乙比甲 稳定
D

1 234 0

C

C.在这五场比赛中,乙的平均得分比甲好,且乙比甲 稳定
A

B

第 16题图

D.在这五场比赛中,乙的平均得分比甲好,但甲比乙稳定 二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 3 分,共 15 分。把答案 填在题中的横线上) 16.如图,化简 AB ? BC ? CD ? .

4

17 . 若 函 数 f ? x ? 是 奇 函 数 , 且 f ? 2? ? 1 , 则
f ? ?2? ?

开始 输入 x



18.某田径队有男运动员 30 人,女运动员 10 人.用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 20 的样本,则抽出的女运动员有 人. 19.对于右边的程序框图,若输入 x 的值是 5, 则输出 y 的值是 . 20. 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别是
a, b, c
b?

x?3
是 y=0.2



y=0.1x

输出 y 结束 【第 19 题图】





A?3

0 B ?,

a 4, ? 5

则,

2



三、解答题(本大题有 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 21 . (本小题满分 6 分)已知角 ? 的终边经过点
?3 4? P? , ?. ?5 5?
y

P

(1)求 sin ? ;
? ? (2)根据上述条件,你能否确定 sin ? ? ? ? ? 的值?若
?4 ?

O

1

x

? ? 能,求出 sin ? ? ? ? ? 的值;若不能,请说明理由.
?4 ?

22. (本小题满分 8 分)已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且

5

a1 ? ?1, S5 ? 15 .

(1)求 an ;

(2)令 bn ? 2a ? n ? 1,2,3, ? ,计算 b1 , b2 和 b3 ,
n

由此推测数列 ?bn ? 是等差数列还是等比数列,证明你的结论.

23. (本小题满分 8 分)已知两点 O ? 0,0? , A? 6,0? ,圆 C 以线段 OA 为 直径. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l2 平行于 l1 , 且被圆 C 截得的弦 MN 的长是 4,求直线 l2 的方程.

24. (本小题满分 8 分) 如图, 在四面体 P ? ABC 中,
PA ? 平面ABC , AB ? 3, AC ? 4, BC ? 5 ,且 D, E, F

P

分别
A F B D

E

为 BC, PC, AB 的中点. (1)求证:
AC ? PB ;

C

(2)在棱 PA 上是否存在一点 G ,使得 FG ∥平面 ADE ?证明你的 结论.

6

25. (本小题满分 8 分)某商场为经营一批每件进价是 10 元的小 商品,对该商品进行为期 5 天的市场试销.下表是市场试销中获 得的数据. 销售单价/元 65 50 45 35 15 日销售量/件 15 60 75 105 165 根据表中的数据回答下列问题: (1) 试销期间, 这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少? (2) 试建立一个恰当的函数模型, 使它能较好地反映日销售量 y (件)与销售单价 x (元)之间的函数关系,并写出这个函数模 型的解析式; (3)如果在今后的销售中,该商品的日销售量与销售单价仍然 满足(2)中的函数关系,试确定该商品的销售单价,使得商场 销售该商品能获得最大日销售利润, 并求出这个最大的日销售利 y 润.提示:必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析.

O

x

7

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(一)参考答案 一、选择题(本题主要考查基础知识和基本运算.每小题 3 分, 满分 45 分) 1.B 8.C 9.A 10.D 11.D 12.A 13.A 14.D 15.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B

二、填空题(本题主要考查基础知识和基本运算.每小题 3 分, 满分 15 分) 16. AD 17.-1 18.5 19.0.5 20. 2
2

三、解答题(本大题有 5 小题,满分 40 分。解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) 21.本小题主要考查三角函数的定义,两角和与差的三角函数, 特殊角的三角函数值等基础知识;考查简单的推理、探究和基本 运算能力.满分 6 分.

8

解法一: (1)由已知得,点 P 是角α 的终边与单位圆的交点, ∵
sin ? ? y ? y? 4 , 5



4 . ?????????????????????? (3 5

分) ( 2 )

能.?????????????????????????? ????(4 分) ∵ x ? ,∴ cos ? ? x ? ∴
sin( 4 5 3 . 5

?
4

? ? ) ? sin

?
4

cos ? . ? cos

?
4

sin ?

???????????????

(5 分)
? 2 3 2 4 ? ? ? 2 5 2 5

?

7 2 10

.????????????????(6 分)

解法二: (1)如图过 P 作 PM 垂直 x 轴于 M,∴在 Rt⊿POM 中, OM= ,PM= , ∴OP= OM 2 ? PM 2 ? 1 .??????????(1 分) ∴sin∠POM= 又∵α
PM 4 ? .????????????(2 分) OP 5 4 的终边与∠POM 的终边相同, ∴ sin ? ? .?????? 5 3 5 4 5

9

(3 分) ( 2 )

能 . ????????????????????????( 4 分)
?? 由已知α 是第一象限的角,且由(1)知 sin
cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 . 5 4 5

,∴

下同解法一 解 法 三 :( 1 ) ∵ α 的 终 边 过 点 P ( |OP|= ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1 ,???(1 分) ∴
4 4 sin ? ? 5 ? . ?????????????????????? 1 5
3 5 4 5
3 5



4 5

),

??(3 分) (2)同解法一或解法二 22. 本小题主要考查等差数列和等比数列的有关概念,等差数列 的通项公式和前 n 项和公式; 考查简单的推理论证能力和基本运 算能力.满分 8 分. 解 : ( 1 ) 设 数 列 {an} 的 公 差 为 5a1+ ·5·4d=15. ????????(2 分) 把 a1=-1 代 入 上 式 , 得
1 2

d , 那 么

d=2.????????????????????(3 分) 因 此 , an=-1+2 ( n-1 )

=2n-3.????????????????????(4 分)

10

( 2 ) 根 据

bn ? 2 an

, 得

b1=

1 2

, b2=2 ,

b3=8.???????????????(5 分) 由 此 推 测 {bn} 是 等 比 数

列.?????????????????????(6 分) 证明如下: 由(1)得,an+1-an=2,所以 b 因 此 数 列
n ?1

bn

?2

a n ?1 ? an

, ? 2 2 ? 4 (常数) 等 比 数

{bn}



列.?????????????????????(8 分) 23. 本小题主要考查直线与圆的方程,圆的几何性 质,直线与圆的位置关系等基础知识;考查逻辑推 理能力和运算能力;考查数形结合思想在解决问题 中的应用.满分 8 分. 解法一: (1)∵O(0,0) ,A(6,0) ,圆 C 以线段 OA 为直径, ∴圆心 C(3,0) ,半径 r=3,????????(2 分) 2 2 ∴圆 C 的方程为(x-3) +y =9.???????(4 分)
1 直线l1的方程是x ? 2 y ? 4 ? 0,? 直线l1的斜率为 , 2 1 又 l2 / / l1 ,? 直线l2的斜率为 ???????(5 2 1 设直线 l2 的方程为 y ? x ? b,即x ? 2 y ? 2b ? 0 . 2

(2)

分)

????????? (6 MN ? 4, 半径r ? 3,?圆心C到直线l2的距离为 5 . 分) 又 圆心C (3,0)到直线l2 : x ? 2 y ? 2b ? 0的距离d ? 分)
3 ? 2b 5

.??????(7

11

?

3 ? 2b 5

? 5,即 3 ? 2b ? 5, 解得b ? 1或b ? ?4 .

即直线l2的方程为x ? 2 y ? 2 ? 0或x ? 2 y ? 8 ? 0 .

????????? (8

分) 解法二: (1)同解法一 (2)
直线l1的方程是x ? 2 y ? 4 ? 0, 且l1 / / l2 ,? 直线l2的斜率为 1 . ????? 2

(5 分) 设直线 l2 的方程为 y ?
1 x ? b, 2

1 ? ?y ? x ?b 由? 2 得5 x 2 ? 4(b ? 6) x ? 4b 2 ? 0 . ?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 ?

设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), 则
4(6 ? b) ? x ? x ? , 1 2 ? 5 ? 4b 2 ? , ? x1 ? x2 ? 5 ? ?? ? 0. ? ?

????????????????

??(6 分)
? MN ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2

1 4 5 ? (1 ? )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 9 ? 3b ? b2 4 5

,??????(7

分) 又
MN ? 4,即 4 5 9-3b ? b2 ? 4, 解得b ? 1或b ? ?4 . 5

即直线l2的方程为x ? 2 y ? 2 ? 0或x ? 2 y ? 8 ? 0 .?????????( 8

分)

12

24.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面垂直的判定与 性质,直线与直线、直线与平面平行的判定与性质;考查空间想 象能力,逻辑推理、论证能力和利用知识分析问题、解决问题能 力.满分 8 分. (1) 证明:在 ?ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,
? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,? AC ? AB .????????????????

(1 分) 又 PA ? 平面ABC, AC ? 平面ABC,? PA ? AC 分) 又 PA AB ? A,? AC ? 平面PAB .?????????(3 分)
而PB ? 平面PAB,? AC ? PB .????????????????

. ????????? (2

??(4 分) (2) 解 : 存 在 , 且 G 是 棱 PA 的 中

点.?????????????????(5 分) 证明如下: 在
PAB 中, F、 G 分别是 AB、 PA 的中点,? FG / / PB .???????

(6 分) 同
D / ?








G

E ?????????????????( / P , B / F / 7 分)

又 FG ? 平面ADE, DE ? 平面ADE,? FG / /平面ADE. ????????? (.8 分)

13

P

G E A F B D C

25.本小题考查平均数的概念,一次函数与二次函数等有关知识; 考查统计观念,数据分析和数学建模能力,利用知识解决实际问 题的能力.满分 10 分. 解: (1)设平均日销售利润为 M,则
M? (15 ? 10) ?165 ? (35 ? 10) ?105 ? (45 ? 10) ? 75 ? (50 ? 10) ? 60 ? (65 ? 10) ? 15 5

??????????????????????????? ??????(2 分) =165+5 ? 105+7 ? 75+8 ? 60+11 ? 15

=1860.???????????????????????? ?????(3 分) (2)依题意画出散点图,根据点的分布特征,可考虑以 y=kx+b 作为刻画日销售量与销售单价之间关系的函数模型, 取其中的两 组数据(45,75) , (65,15)代入 y=kx+b 得:
?75 ? 45k ? b, ? ?15 ? 65k ? b.



得 分)



?k ? ?3, ??????????????????(5 ? ?b ? 210.

这 样 , 得 到 一 个 函 数 模 型 为 y=-3x+210(10 ≤ x ≤ 70).?????????(6 分) 将其他已知数据代入上述解析式知,它们也满足这个解析式,即

14

这个函数模型与已知数据的拟合程度较好, 这说明所求的函数解 析 式 能较 好地 反 映销 售量 与 销售 单价 之 间的 关 系.????????????????????????? ??????(7 分) (3)设经营此商品的日销售利润为 P 元,由(2)知
P ? xy ? 10y ???????????????????????

????(8 分)
? x ? ?3x ? 210 ? ? 10 ? ?3x ? 210 ? ? ?3 ? x ? 40 ? ? 2700, (10 ? x ? 70)
2

????????????????

?(9 分)
? x ? 40时,P有最大值,为2700.

即当该商品的单价为每件 40 元时,商场销售该商品的日销售利 润 最 大 , 为 2700 元.????????????????????????? ??????(10 分)

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(二)

班级: 一、选择题。

姓名:

座号:

1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , B ? ?1,4? ,那么集合 A (A) ?1? (B) ?4?

B 等于(

) ( D)

(C) ?2,3?

?1,2,3,4?
2.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,那么 a5 等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16

15

3.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2,5) ,那么 2a +b 等于( A.(-1,11) D(5,-4) 4.函数 y ? log2 (x+1) 的定义域是( ) (A) (D) ??1, ??? B. (4,7)

) C.(1,6)

?0, ???

(B)

( ? 1, +?)

(C)

( 1, ??)

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行,那么 m 的值为( (A)
?3



(B)

?

1 3

(C)

1 3

(D)

3

6.函数 y = sin ? x 的图象可以看做是把函数 y = sin x 的图象上所有点 的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 倍而得到,那么 ? 的 值为( ) (A) 4 (B) 2 (C)
1 2 1 2

(D)

3

7.在函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? log2 x , y ? x 中,奇函数的是( ) (A) y ? x3 (D)
y? x
11? 6

(B)

y ? 2x

(C)

y ? log2 x

8. sin
1 2

的值为(
2 2



(A)

?

2 2

(B)

?

1 2

(C)

(D)

9.不等式 x2 ? 3x+2 ? 0 的解集是( A. ? x x ? 2? D. B. ? x x >1?

) C. ? x 1 ? x ? 2?

? x x ? 1, 或x ? 2?
(A) 2 (B) 5 (C)

10.实数 lg 4+2lg 5 的值为( )

16

10

(D) 20

11.某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个,它们的个数之 比为 1:5:9.为调查超市每日的零售额情况,需通过分层抽样 抽取 30 个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( (A) 5 (D) 20 12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关系是( ) B.直线 m 与平面 ? 相交 (B) 9 (C) ) 18

A.直线 m 在平面 ? 内 但不垂直 C.直线 m 与平面 ? 垂直

D.直线 m 与平面 ? 平行 )
? 4

b ? 2, c ? 1, 13. 在 ?ABC 中, 那么 A 的值是 ( a ? 3,

A. D.
? 6

? 2

B.

? 3

C.

14. 一个几何体的三视图如右图所示, 该几何体的表面积是 ( ) A. 3? B. 8? C.
12?

D. 14?

15.当 x >0 时, 2 x ? C. 2 2 D. 4

1 的最小值是( 2x



A. 1

B. 2

16.从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么 这两个数字的和是奇数的概率为( A.
4 5


3 5

B.

C.

2 5

17

D.

1 5

?y ?1 17.当 x, y 满足条件 ? 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

( ) (A) (D)4 18.已知函数 f ( x) ? ? ( ) (A) (D) 4 1 或-2 (B) 0 (C) 1 或 4
?2 x , x ≥ 0, ?? x, x ? 0.

2

(B)

2.5

(C)

3.5

如果 f ( x0 ) ? 2 ,那么实数 x0 的值为

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造。三年后,城 市污水排放量由原来每年排放 125 万吨降到 27 万吨,那么污水 排放量平均每年降低的百分率是( (A) (D) 20% 50% (B) ) 40% (C) 30%

20.在△ ABC 中, (BC ? BA) ? AC ? | AC|2 ,那么△ABC 的形状一定是 ( ) B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.

A. 等边三角形 等腰直角三角形

二、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21 .已知向量 a ? (2,3), b ? (1, m) ,且 a ? b ,那么实数 m 的值

18





22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶 图.那么甲、乙两人得分的标准差 S甲
S乙 (填<,>,=)

23 .某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 a 的最大值 为 .

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气 候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如下图所示) .屋顶所 在直线的方程分别是 y =
1 1 x +3 和 y = ? x +5 , 为保证采光, 竖直 2 6
开始

n=1

窗户的高度设计为 1m 那么点 A 的横坐标是



a =15

输出 a

y(m)

屋顶 否

n=n+1

n>3 是 竖直窗户
结束

O

A

x(m)

三、解答题: (共 4 小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,E,F 分

19

别是 BC,PC 的中点. (I)证明:EF∥平面 PAB; (II)证明:EF⊥BC.

26.(本小题满分 7 分) 已知向量 a=(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,函数 f (x)=a ? b+1 . (I)如果 f (x)= ,求 sin 4 x 的值; (II)如果 x ? (0,
?
2 ) ,求 f (x) 的取值范围. 1 2

20

27.(本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形, 三边中点的连线将它分成 四个小三角形,去掉中间的一个小三角形,得到图 2,再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作,得到图 3,重复这种操作 可以得到一系列图形.记第 n 个图形中所有剩下的 小三角形的面 .....

21

积之和为 an ,所以去掉的 三角形的周长之和为 bn . ..... (I) 试求 a4 , b4 ; (II) 试求 an , bn .

28.(本小题满分 7 分)

22

已知圆 C 的方程是 x2 +y 2 ? 2 y+m=0 . (I) 如果圆 C 与直线 y =0 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (II) 如果圆 C 过坐标原点,直线 l 过点 P(0,) (0≤ a ≤2),且与圆 C 交于 A,B 两点,对于每一个确定的 a ,当△ABC 的面积最大时, 记直线 l 的斜率的平方为 u , 试用含 a 的代数式表示 u , 试求 u 的最 大值.

23

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(二)参考答案 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、 A 11、 C 12、 D 13、 B 14、 B 15、 B 16、 B 17、 A 18、

D 19、B 20、C 21、 ?
2 3

; 22、> ;23、45;24、 4.5 ;

25、(I)证明:∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB. ∵EF ? 平面 PAB, PB ? 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB; (II)证明:在三棱锥 P-ABC 中,∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC.∵ AB⊥BC, 且 PA∩AB=A,∴BC⊥平 面 PAB.

24

∵PB ? 平面 PAB, ∴BC⊥PB. 由(I)知 EF∥PB,∴EF⊥BC. 26、 (I)解:∵ a=(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) , ∴ f (x)=a ? b+1 =2sin x cos x ? 2sin 2 x+1 = sin 2 x ? cos 2 x . ∵
sin 4x = 1 . 4 f (x)= 1 1 1 x = ,∴ in 2x ? cos 2x = ,∴ 1+2 sin 2x cos 2 2 2 4

.∴

(II)
f(


x) ?







I
x 22


?
4 ( xc


?
4 s

2 2 s 2 x+ i 2 x x) = n == 2( x sin cos 2 2
= 2 sin (2 x +

o

i

s

n

?
4

).

∵ x ? (0,

?
2

)∴

?
4

<2 x +

?
4

<

5? 4



2 ? < sin (2 x+ ) ? 1 . 2 4

∴ f (x) 的取值范围为 ( ?1, 2] . 27、 (I)解: a4 =
27 3 57 ,b4= . 256 8

(II)解: 由图易知, 后一个图形中剩下的三角形个数是前一个 的 3 倍, ∴第 n 个图形中剩下的三角形个数为 3n ?1 . 又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍, ∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 (
3 1 n ?1 ( ) . 4 4
1 n ?1 ) ,面积是 2 1 2

∴ an =

3 3 n ?1 ( ) . 4 4

25

设第 n 个图形中所有剩下的小三角形周长为 cn ,由图可知,
cn ? bn =3 .

因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍, ∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 (
3( 1 n ?1 ) . 2 1 n ?1 ) ,周长是 2

1 2

∴ cn =3(

3 n ?1 3 ) ,从而 bn =cn ? 3=3( ) n ?1 ? 3 . 2 2

2 28 、 ( I ) 解 : 由 x2 +y 2 ? 2 y+m=0 可 得 : x2 +(y ?1) =1 ? m . ∵ 2 x2 +(y ?1) =1 ? m 表示圆,

∴ 1 ? m>0 , 即 m <1 . 又∵圆 C 与直线 y =0 没有公共点, ∴ 1 ? m<1 , 即 m >0 . 综上,实数 m 的取值范围是 0<m <1 . (II)解:∵圆 C 过坐标原点,
2 ∴ m =0 .∴圆 C 的方程为 x2 +(y ?1) ,半径为 =1 ,圆心 C(0,1)

1. 当 a =1 时,直线 l 经过圆心 C,△ABC 不存在,故 a ?[0,1) 由题意可设直线 l 的方程为 y =kx+a ,△ABC 的面积为 S. 则 S= |CA|·|CB|·sin∠ACB= 大时,S 取得最大值. 要使 sin ∠ ACB=
|a ? 1| k 2 +1 = 2 . 2
2 2 或 a ? 1+ . 2 2
1 2 1 2

(1,2] .

sin∠ACB.∴当 sin∠ACB 最

? 2

,只需点 C 到直线 l 的距离等于

2 2

.即

整理得 k 2 =2(a ?1)2 ?1 ? 0 .解得 a ? 1 ?

26

①当

a ? [0,1 ?

2 2 ] [1+ ,2] 2 2

时 , sin ∠ ACB 最 大 值 是 1 . 此 时

k 2 =2a 2 ? 4a+1 ,即 u =2a 2 ? 4a +1.

② 当 a ? (1 ?

? 2 2 ,1) (1,1+ ) 时,∠ACB ? ( ,? ) . 2 2 2

∵ y = sin x 是 (

?
2

,? ) 上的减函数, ∴当∠ACB 1 2

最小时, sin∠ACB 最大.

过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠ACD= ∠ACB.∴当∠ACD 最大时, ∠ACB 最小. ∵sin∠CAD=
|CD| | CA |

=|CD|,且∠CAD ? (0,

?
2

),

∴当|CD |最大时,sin∠ACD 取得最大值,即∠CAD 最大. ∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥ l 时,|CD|取得最大值|CP|. ∴当△ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k =0 .∴ u =0 .
? 2 2 2 ] [1+ ,2] ?2a ? 4a +1,a ? [0,1 ? ? 2 2 综上所述, u = ? . 2 2 ?0, a ? (1 ? ,1) (1,1+ ) ? ? 2 2

i)a ?[0,1 ?

2 2 u =2a 2 ? 4a +1 =2(a ?1)2 ?1 ,当 a =2 或 a =0 时, ] [1+ ,2] , u取 2 2

得最大值 1. ii) a ? (1 ?
2 2 ,1) (1,1+ ) , u =0 . 2 2

由 i) ,ii)得 u 的最大值是 1.

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(二)

27

班级: 一、选择题。

姓名:

座号:

1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , B ? ?1,4? ,那么集合 A (A) ?1? (B) ?4?

B 等于(

) ( D)

(C) ?2,3?

?1,2,3,4?
2.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,那么 a5 等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16 ) C.(1,6)

3.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2,5) ,那么 2a +b 等于( A.(-1,11) D(5,-4) 4.函数 y ? log2 (x+1) 的定义域是( ) (A) (D) ??1, ??? B. (4,7)

?0, ???

(B)

( ? 1, +?)

(C)

( 1, ??)

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行,那么 m 的值为( (A)
?3



(B)

?

1 3

(C)

1 3

(D)

3

6.函数 y = sin ? x 的图象可以看做是把函数 y = sin x 的图象上所有点 的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 倍而得到,那么 ? 的 值为( ) (A) 4 (B) 2 (C)
1 2 1 2

(D)

3

7.在函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? log2 x , y ? x 中,奇函数的是( ) (A) y ? x3 (D)
y? x

(B)

y ? 2x

(C)

y ? log2 x

28

8. sin
1 2

11? 6

的值为(
2 2



(A)

?

2 2

(B)

?

1 2

(C)

(D)

9.不等式 x2 ? 3x+2 ? 0 的解集是( A. ? x x ? 2? D. B. ? x x >1?

) C. ? x 1 ? x ? 2?

? x x ? 1, 或x ? 2?
(A) 2 (B) 5 (C)

10.实数 lg 4+2lg 5 的值为( ) 10 (D) 20

11.某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个,它们的个数之 比为 1:5:9.为调查超市每日的零售额情况,需通过分层抽样 抽取 30 个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( (A) 5 (D) 20 12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关系是( ) B.直线 m 与平面 ? 相交 (B) 9 (C) ) 18

A.直线 m 在平面 ? 内 但不垂直 C.直线 m 与平面 ? 垂直

D.直线 m 与平面 ? 平行 )
? 4

b ? 2, c ? 1, 13. 在 ?ABC 中, 那么 A 的值是 ( a ? 3,

A. D.
? 6

? 2

B.

? 3

C.

14. 一个几何体的三视图如右图所示, 该几何体的表面积是 ( )

29

A. 3?

B. 8?

C.

12?

D. 14?

15.当 x >0 时, 2 x ? C. 2 2 D. 4

1 的最小值是( 2x



A. 1

B. 2

16.从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么 这两个数字的和是奇数的概率为( A. D.
1 5 4 5


3 5

B.

C.

2 5

?y ?1 17.当 x, y 满足条件 ? 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

( ) (A) (D)4 18.已知函数 ( ) (A) (D) 4 1 或-2 (B) 0 (C) 1 或 4
?2 x , x ≥ 0, f ( x) ? ? ?? x, x ? 0.

2

(B)

2.5

(C)

3.5

如果 f ( x0 ) ? 2 ,那么实数 x0 的值为

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造。三年后,城 市污水排放量由原来每年排放 125 万吨降到 27 万吨,那么污水 排放量平均每年降低的百分率是( (A) (D) 20% 50% (B) ) 40% (C) 30%

30

20.在△ ABC 中, (BC ? BA) ? AC ? | AC|2 ,那么△ABC 的形状一定是 ( ) B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.

A. 等边三角形 等腰直角三角形

二、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21 .已知向量 a ? (2,3), b ? (1, m) ,且 a ? b ,那么实数 m 的值 为 .

22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的 茎叶图. 那么甲、 乙两人得分的标准差 S甲
S乙(填<,>,=)

23 .某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 a 的最大值 为 .

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气 候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如下图所示) .屋顶所 在直线的方程分别是 y =
1 1 x +3 和 y = ? x +5 , 为保证采光, 竖直 2 6
开始

n=1

窗户的高度设计为 1m 那么点 A 的横坐标是



a =15

输出 a

y(m)

屋顶 否

n=n+1

n>3 是 竖直窗户
结束

O

A

x(m)

31

三、解答题: (共 4 小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,E,F 分 别是 BC,PC 的中点. (I)证明:EF∥平面 PAB; (II)证明:EF⊥BC.

32

26.(本小题满分 7 分) 已知向量 a=(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,函数 f (x)=a ? b+1 . (I)如果 f (x)= ,求 sin 4 x 的值; (II)如果 x ? (0,
?
2 ) ,求 f (x) 的取值范围. 1 2

33

27.(本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形, 三边中点的连线将它分成 四个小三角形,去掉中间的一个小三角形,得到图 2,再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作,得到图 3,重复这种操作 可以得到一系列图形.记第 n 个图形中所有剩下的 小三角形的面 ..... 积之和为 an ,所以去掉的 三角形的周长之和为 bn . ..... (I) 试求 a4 , b4 ; (II) 试求 an , bn .

34

28.(本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 x2 +y 2 ? 2 y+m=0 . (I) 如果圆 C 与直线 y =0 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (II) 如果圆 C 过坐标原点,直线 l 过点 P(0,) (0≤ a ≤2),且与圆 C 交于 A,B 两点,对于每一个确定的 a ,当△ABC 的面积最大时, 记直线 l 的斜率的平方为 u , 试用含 a 的代数式表示 u , 试求 u 的最 大值.

35

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(二)参考答案 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、 A 11、 C 12、 D 13、 B 14、 B 15、 B 16、 B 17、 A 18、

D 19、B 20、C

36

21、 ?

2 3

; 22、> ;23、45;24、 4.5 ;

25、(I)证明:∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB. ∵EF ? 平面 PAB, PB ? 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB; (II)证明:在三棱锥 P-ABC 中,∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC.∵ AB⊥BC, 且 PA∩AB=A,∴BC⊥平 面 PAB. ∵PB ? 平面 PAB, ∴BC⊥PB. 由(I)知 EF∥PB,∴EF⊥BC. 26、 (I)解:∵ a=(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) , ∴ f (x)=a ? b+1 =2sin x cos x ? 2sin 2 x+1 = sin 2 x ? cos 2 x . ∵
sin 4x = 1 . 4 f (x)= 1 1 1 x = ,∴ in 2x ? cos 2x = ,∴ 1+2 sin 2x cos 2 2 2 4

.∴

(II)
f(


x) ?







I
x 22


?
4 ( xc


?
4 s

2 2 s 2 x+ i 2 x x) = n == 2( x sin cos 2 2
= 2 sin (2 x +

o

i

s

n

?
4

).

∵ x ? (0,

?
2

)∴

?
4

<2 x +

?
4

<

5? 4



2 ? < sin (2 x+ ) ? 1 . 2 4

∴ f (x) 的取值范围为 ( ?1, 2] . 27、 (I)解: a4 =
27 3 57 ,b4= . 256 8

(II)解: 由图易知, 后一个图形中剩下的三角形个数是前一个 的 3 倍,

37

∴第 n 个图形中剩下的三角形个数为 3n ?1 . 又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍, ∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 (
3 1 n ?1 ( ) . 4 4
1 n ?1 ) ,面积是 2

1 2

∴ an =

3 3 n ?1 ( ) . 4 4

设第 n 个图形中所有剩下的小三角形周长为 cn ,由图可知,
cn ? bn =3 .

因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍, ∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 (
3( 1 n ?1 ) . 2 1 n ?1 ) ,周长是 2

1 2

∴ cn =3(

3 n ?1 3 ) ,从而 bn =cn ? 3=3( ) n ?1 ? 3 . 2 2

2 28 、 ( I ) 解 : 由 x2 +y 2 ? 2 y+m=0 可 得 : x2 +(y ?1) =1 ? m . ∵ 2 x2 +(y ?1) =1 ? m 表示圆,

∴ 1 ? m>0 , 即 m <1 . 又∵圆 C 与直线 y =0 没有公共点, ∴1 ? m<1 , 即 m >0 . 综上,实数 m 的取值范围是 0<m <1 . (II)解:∵圆 C 过坐标原点,
2 ∴ m =0 .∴圆 C 的方程为 x2 +(y ?1) ,半径为 =1 ,圆心 C(0,1)

1. 当 a =1 时,直线 l 经过圆心 C,△ABC 不存在,故 a ?[0,1) 由题意可设直线 l 的方程为 y =kx+a ,△ABC 的面积为 S.
(1,2] .

38

则 S= |CA|·|CB|·sin∠ACB= 大时,S 取得最大值. 要使 sin ∠ ACB=
|a ? 1| k +1
2

1 2

1 2

sin∠ACB.∴当 sin∠ACB 最

? 2

,只需点 C 到直线 l 的距离等于

2 2

.即

=

2 . 2
2 2 或 a ? 1+ . 2 2

整理得 k 2 =2(a ?1)2 ?1 ? 0 .解得 a ? 1 ? ③当
a ? [0,1 ? 2 2 ] [1+ ,2] 2 2

时 , sin ∠ ACB 最 大 值 是 1 . 此 时

k 2 =2a 2 ? 4a+1 ,即 u =2a 2 ? 4a +1.

④ 当 a ? (1 ?

? 2 2 ,1) (1,1+ ) 时,∠ACB ? ( ,? ) . 2 2 2

∵ y = sin x 是 (

?
2

,? ) 上的减函数, ∴当∠ACB 1 2

最小时, sin∠ACB 最大.

过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠ACD= ∠ACB.∴当∠ACD 最大时, ∠ACB 最小. ∵sin∠CAD=
|CD| | CA |

=|CD|,且∠CAD ? (0,

?
2

),

∴当|CD |最大时,sin∠ACD 取得最大值,即∠CAD 最大. ∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥ l 时,|CD|取得最大值|CP|. ∴当△ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k =0 .∴ u =0 .
? 2 2 2 ] [1+ ,2] ?2a ? 4a +1,a ? [0,1 ? 2 2 综上所述, u = ? . ? 2 2 ?0, a ? (1 ? ,1) (1,1+ ) ? ? 2 2

i)a ?[0,1 ?

2 2 u =2a 2 ? 4a +1 =2(a ?1)2 ?1 ,当 a =2 或 a =0 时, ] [1+ ,2] , u取 2 2

39

得最大值 1. ii) a ? (1 ?
2 2 ,1) (1,1+ ) , u =0 . 2 2

由 i) ,ii)得 u 的最大值是 1.

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(四) 班级: 姓名: 座号:

一、选择题:本题共 22 小题,1-10 题,每小题 2 分,11-22 题, 每小题 3 分,共 56 分. (1)sin420°= A. D .- 1
2

3 2

B.

1 2

C.-

3 2

(2)将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 3”的概率是 (A)
1 3

(B)

1 4

(C)

1 5

(D) )

1 6

(3)函数 y ? log3 ( x ? 4) 的定义域为 A.R D.
(4,??)



B . (??,4) ? (4,??)

C . (??,4)

(4)sin14?cos16?+cos14?sin16? 的值是( A. D.1 2

) C.3 2

3 2

B.

1 2

40

(5)函数 y ? 2 cos x( x ? R)是 (A)周期为 2? 的奇函数(B)周期为 2? 的偶函数(C)周期为 ? 的奇函数 (D)周期为 ? 的偶函数

(6)已知直线 l 过点 (0, ?1) ,且与直线 y ? ? x ? 2 垂直,则直线 l 的方 程为 (A) y ? x ? 1 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x ? 1 (D) y ? ? x ? 1 (7)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2x, ?3) ,若 a ∥ b ,则 x ? (A) 3 (B)
3 4

(C) ?3

(D) ?

3 4

(8)已知函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2) ,则 f ( x) x?2

(A)在( ? 2,+ ? )上是增函数 上是减函数 (C)在(2,+ ? )上是增函数 上是减函数

(B) 在 ( ? 2, +?)

(D)在(2,+ ? )

?x ? y ? 1 (9)若实数 x、 y 满足约束条件 ? ? x ? 0 ,则 z ? y ?x ? y?0 ?

的最大

值为 (A) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?2

(10) 从含有两件正品 a1 , a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每 次任取 1 件,每次取出后放回,连续取两次,则取

41

出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 (A)
2 3

1 3

(B)

4 9

(C)

5 9

( D)

(11)执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 (A)8
2

(B)5

(C)3

( D)

( 12 ) 已 知 函 数

?| lg x |, 0 ? x ? 10 ? f ( x) ? ? 1 ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2

, 若 a, b, c 互 不 相 等 , 且

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc 的取值范围是

(A) (1,10)

(B) (5, 6)

(C) (10,12)

(D) (20, 24)
B 等于(

(13)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {2,5,7,9} ,则 A A. {1, 2,3, 4,5} D. {1, 2,3, 4,5,7,9} (14)若函数 f ( x) ? x ? 3 ,则 f (6) 等于( A.3 B.6 C.9 ) B. {2,5,7,9} C. {2,5}



D. 6

( 15 ) 直 线 l1 : 2x? y? 1 0? 0 与 直 线 l2 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的 交 点 坐 标 为 ( ) A. (?4, 2) B. (4, ?2) C. (?2, 4) D. (2, ?4)

(16)两个球的体积之比为 8:27,那么这两个球的表面积 之比为( A. 2 : 3 D. 2 2 : 3 3 ) B. 4 : 9 C. 2 : 3

42

(17)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则 f ( x) 是( A.奇函数 B.偶函数 数又是偶函数 (18)向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) ,则( A. a / /b 为 30 ) C.非奇非偶函数

) D. 既是奇函

B. a ? b C. a 与 b 的夹角为 60

D.a 与 b 的夹角

(19) 已知等差数列 ?an ? 中,a7 ? a9 ? 16 ,a4 ? 1 , 则 a12 的值是 ( A.15 B.30 C.31 D.64



(20)阅读下面的流程图,若输入的 a , b , c 分别是 5,2,6, 则输出的 a , b , c 分别是( A.6,5,2 ) C.2,5,6 D.6,2,5

B.5,2,6

(21)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b 在区间(2,4)内有唯一零点,则
b 的取值范围是(

) C. (?8, ??) D. (?8, 0) )

A. R

B. (??, 0)

(22)在 ?ABC 中,已知 A ? 120 , b ? 1 , c ? 2 ,则 a 等于( A. 3 D.
5?2 3

B.

5? 2 3

C. 7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (23)把 110010 化为十进制数的结果是 (2) (24)给出下列四个命题 ① 平行于同一平面的两条直线平行; ② 垂直于同一平面的两条直线平行; .

43

③ 如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平面内的任 何直线都平行; ④ 如果一条直线和一个平面垂直,那么它和这个平面内的任 何直线都垂直. 其中正确命题的序号是 号) . (25)已知直线 l : y ? x ? 1和圆 C: x 2 ? y 2 ? ,则直线 l 与圆 C 的位置 关系为 .
3 ,它

(写出所有正确命题的序

1 2

(26)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2

的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则 这个矩形的面积是 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 32 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (27) (8 分)如图是一名篮球运动员在某一赛季 10 场比赛的得 分的原始记录的径叶图, (1)计算该运动员这 10 场比赛的平均得分; (2)估计该运动员在每场比赛中得分不少于 40 分 的概率。
1 2 3 4 6 4 7 3 4 6 9 1 4 6

44

(28) (8 分)在等差数列{ an }中,已知 a 2=2, a 4=4, (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)设 bn ? 2a ,求数列{ bn }前 5
n

项的和 S5。

45

(29)(本小题满分 8 分) 已 知 点 P(
? ?

c o 2sx ? 1,1)

, 点 Q(1, 3 s i 2 nx ? 1)

( x ? R)

,且函数

f ( x) ? OP? OQ ( O 为坐标原点) ,

(I)求函数 f ( x) 的解析式; 最小正周期及最值.

(II) 求函数 f ( x) 的

46

(30) (本小题满分 8 分)

47

如图,在三棱锥 S-ABC 中,BC⊥ 平面 SAC,AD⊥ SC. (I)求证:AD⊥ 平面 SBC; (II)试在 SB 上找一点 E,使得 BC//平面 ADE,并证明你的 结论.

S

D A C B

48

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(四)参考答案 一、选择题 题 号 答 案 A D D B B A D D A B C C (1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0) (1 1) (1 2)

(13)-(22)C A B B

A B

A A D C

二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) (23)50; (26) 2 三、解答题 (27) (1)34; (2)0.3 (28)(1)
an =

(24)②④;
3.

( 25 ) 相 切 ;

n; (2)S5=62;

(29) .(本小题满分 8 分)

49

解 ( 1 ) 依 题 意 , P(
(1?)

cos2 x ? 1,1)

, 点 Q(1, 3 s i 2 nx ? 1) ,

所以, f ( x) ? OP ? OQ ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2 .
?? (2) f ( x) ? 2sin ? ? 2x ? ? ? 2 .
? 6?
( ?5 )

因为 x ? R , 所以 f ( x) 的最小值为 0 , f ( x) 的最大值为 4 , f ( x) 的 最
T??.










(8?)

(30) (本小题满分 8 分) (I)证明:?BC⊥平面 SAC, AD ? 平面 SAC,∴BC⊥AD,
S

又∵AD⊥SC, BC
SC ? 平面

SC ? C , BC ? 平面

SBC,

E B

SBC,∴AD⊥平面 SBC.

D分) ????( 4 A C

(II)过 D 作 DE//BC,交 SB 于 E,E 点即为所求. ∵BC//DE,BC ? 面 ADE,DE ? 平面 ADE, ∴BC//平面 ADE.

????(8 分)

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(九) 班级: 姓名: 座号:

一、选择题(本大题共 14 个小题。每小题 5 分,共 70 分) 1, 下列各函数中,与 y ? x 表示同一函数的是( )

50

(A) y ?

x2 x

(B) y ? x 2
4

(C) y ? ( x ) 2

(D) y ? 3 x 3

2,抛物线 y ? ? 1 x 2 的焦点坐标是( ) (A) ?0,?1? (B)?0,1? (C)?1,0? ( D)?? 1,0?

3,设函数 y ? 16 ? x 2 的定义域为A,关于X的不等式 log2 2 x ? 1 ? a 的解集为B,且 A ? B ? A ,则 a 的取值范围是( ) (A)?? ?,3?
13

(B)?0,3?

(C)?5,???

(D)?5,???

4,已知 sin x ? 12 , x 是第二象限角,则 tan x ? ( ) (A)5
? 12 5 12

(B)

?

5 12

(C)

12 5

(D)

5, 等比数列 ?an ?中,a1 ? a2 ? a3 ? 30,a4 ? a5 ? a6 ? 120, 则 a7 ? a8 ? a9 ? ( ) (A)240
? 480

(B)? 240 (
3
3 3

(C) 480

(D)

6,

tan 330? ?

) (B)
3 3

(A) (D) ?

(C ) ?

3

7,设 b>a>0,且 a+b=1,则此四个数 1 ,2ab,a +b ,b 中
2 2

2

最大的是( (A)b
1 2

) (B)a +b
2 2

(C)2ab

(D )

1 1 1 , ,?, 的前100项和是: ( ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 200 100 200 100 (A) (B) (C) (D 201 101 201 101

8, 数列1,

51

9,过椭圆

x2 y2 ? ? 1的焦点F1作直线交椭圆于A、B两点,F2 是椭圆另一焦 36 25

点,则△ABF2 的周长是 ( ) (A ) .12 (B) .24 (C) .22 (D) .10 ?? 10, 函数 y ? sin ? ? 2 x ? ? 图像的一个对称中心是( )
? 6?

(A) (?
( , 0) 3

?
12

,0)

(B) (? ? ,0)
6

(C) (? , 0)
6

( D) )

?

11. 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 且a
y y

2

? a3 , 那么函数 f ? x ? ? a x 的图像可能是 (
y y

1 O x

1 O x O 1 x O 1 x

(A)

(B)

(C)

(D)

12.已知 f ? x ? ? x ? 1 ,那么下列各式中,对任意不为零的实数 x 都
x

成立的是 ( ) (A) f ? x ? ? f ? ?x ?

( B ) f ? x? ?

?1? f? ? ? x?

( C ) f ? x? ? x

(D) f ? x ? ? 2 13.如图,D 是△ABC 的边 AB 的三等分点,则向量 CD 等于 ( ) B (A) CA ? 2 AB (B) CA ? 1 AB
3 (C) CB ? 2 AB 3 3

开始 k=1 S=0

(D) CB ? 1 AB
3

D

14. 如果执行右面的程序框图, 那么输出的 S 等于 ( A (A)45 (B)55 (C)90 (D)110



C

k≤10 是 S = S+k k = k +1



输出 S 结束

二,填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 15. 函数 y ? ln ? 2x ?1? 的定义域是
6

.

16. 把函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位,得到的函数解析式 为________________.

52

17. 某公司生产 A 、B 、C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为
2 : 3 : 4 ,为了检验该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取

一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿 车少 8 辆,那么 n ? .

mx ? ny ?1 ? 0 ? mn ? 0? A 在直线 18. 已知函数 y ? a1? x (a ? 0 且a ? 1) 的图象恒过点 A . 若点

上, 则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

三,解答题(共六个大题,共 60 分) 19 . ( 10 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? 10 ,
S4 ? 24 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ?
Tn ? 3 . 4

1 1 ? ? S1 S2

?

1 Sn

,求证:

20. (本小题满分 10 分) 编号分别为 A1, A2 , A3 , , A12 的 12 名篮球运动员在某次篮球比赛 中的得分记录如下:

53

运动员 编号 得分

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

5

10

12

16

8

21

27

15

6

22

18

29

(1) 完成如下的频率分布表:

得分 区间 数

频 率 3



?0,10?

1 4

?10,20?

?20,30?
12

合计 (2)从得分在

1.00

区 间 ?10, 20 ? 内 的运

动员中随机抽取 2 人 , 求这 2 人得分之和大于 25 的概率.

54

21.如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C: x 2 ? y 2
a b

2

2

? 1 (a ? b ? 0) 的左、右

两个焦点,A、B 为两个顶点,该椭圆的离心率为 积为 5 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标;

5 , ?ABO 的面 5

(Ⅱ)作与 AB 平行的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点, PQ 求直线 l 的方程.

?

9 5 , 5

22. (10 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x. (1) (2) 求其最小正周期; 当0 ? x ?
?
2

时,求其最值及相应的 x 值。

55

(3)

试求不等式 f ( x) ? 1 的解集

23. (10 分) 如图 2,在三棱锥 P ? ABC 中,AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 , 点 D 是线段 PB 的中点, 平面 PAC ? 平面 ABC . (1) 在线段 AB 上是否存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC ? 若存在,
P

指出点 E 的位置, 并加以证明;若不存在, 请说明理由; (2)求证: PA ? BC .
C
A
图2

·

D

B

56

24、设 f ?x ? ?a x ?

? 5 ? ? 6l nx
2

,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1?? 处

的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的 单调区间与极值。

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(九)参考答案 一,选择题(本大题共14 个小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 题 号 答 案 二,填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。 ) 15.
?1 ? ? , ?? ? ?2 ?

















9 0

1 1 A

1 2 A

1 3 B

1 4 B

1







D

C

D

A



B

B

16.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 3? ?

17.

72

57

18. 3 ? 2 2 三,解答题(共五个大题,共 40 分) 19. (10 分)本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基 础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 10 分. (1) 解: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∴
?2a1 ? 2d ? 10, ? ? 4?3 4a1 ? d ? 24. ? ? 2

∵ a1 ? a3 ? 10 , S4 ? 24 ,

???2 分 解
d ? 2.



a1 ? 3

,

???3

分 ∴
an ? 3 ? 2 ? ? n ?1? ? 2n ?1.

??

?5 分 (
Sn ?

2













1





n ? a1 ? an ? n ? 3 ? n ? 2 1 ? ? n n?2 ? ? ?, 2 2

???7 分



Tn ?

1 1 ? ? S1 S2

?

1 Sn

?

1 1 1 ? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 n ? n ? 2?

58

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ?

1 ? ?1 1 ?? ? 1 ?? ? ??? ? ?? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??

???8 分
1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?

?

3 1? 1 1 ? ? ? ? ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?

???

9分

?

3 4

.

???10 分

20. (10 分)本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据 处理能力.满分 10 分. (1) 解:频率分 得分 区间 数
3

布表: 频 率
1 4



?0,10?

?10,20?

5

5 12

59

?20,30?

4

1 3

合计

12

1.00

???3 分 (2) 解 : 得分在区间 ?10,20? 内的运动员的编号为 A2 , A3 , A4 , A8 , A11 . 从 中随机抽取
2

人 , 所 有 可 能 的 抽 取 结 果 有 : ? A2 , A3? ,

? A2 , A4 ? , ? A2 , A8 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? ,
? A4 , A8 ?
种. ,

? A4 , A11?

,

? A8 , A11?

,



10

???6 分

“从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人, 这 2 人得分之 和 大 于
25

” ( 记 为 事 件

B

) 的 所 有 可 能 结 果

有: ? A2 , A4 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? , ? A4 , A8 ? ,

? A4 , A11?
种. 所以 P ? B ? ?

,

? A8 , A11?

,



8

???8 分
8 ? 0.8 . 10

答: 从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人, 这 2 人得分

60


0.8







25







为 .

???10 分 21. 解: (1) 由题设知:
?c 5 ? ? ?a 5 ? ? 1 ab ? 5 ? ?2

,又

a 2 ? b2? c2 ,



c?

5 2 5 代入, a , ? b 5 a

a 2 20 得到: ? 2 ? a 2 ,即 a4 ? 25 ,所以 a 2 ? 5 , b2 ? 4 , 5 a







方 分





x2 y 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 ? ? 1, 5 4

焦 点 F1 、 F2 的 坐 标 分 别 为 ( -1 , 0 ) 和 ( 1 , 0) , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2)由(1)知 A(? 5,0), B(0, 2) ,
? k PQ ? k AB ? 2 , 5


y?





线

l



方 分





2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 x ? b, 5

2 ? y? x?b ? ? 5 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 4 ?5

得 8x2 ? 4 5bx ? 5b2 ? 20 ? 0 ,。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

61

7分 设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则

x1 ? x2 ? ?

5b 5b2 ? 20 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 , x1 ? x2 ? 2 8

。 。 。 。 。8 分

? y1 ? y2 ?

2 2 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 ) , 5 5 5

9分
?| PQ | ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 5
2 ? ? ? ?1 ? ( ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 5 ? ?

?

?

3 5b2 5b2 ? 20 9 ? 4? ? 8 5 4 5
4 5

解 之 , b2 ?
y? 2 2 x? 5 5

(验证判别式为正) ,所以直线 l 的方程为

。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分
y max ? 1? 2 3? ,x ? ; y min ? 0, x ? 0 2 8

22 . ( 1 ) T= ? ; (2)

; (3)

?k? ? ?4 , k? ? ?2 ?, k ? Z
23. 本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.满分 10 分. (1)解:在线段 AB 上存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC , 点 E 是线段
AB 的中点.

?1 分

下面证明 DE // 平面 PAC :

62

取线段 AB 的中点 E , 连接 DE , ∵点 D 是线段 PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ∴ DE // PA . ∵ PA ? 平面 PAC , DE ? 平面 PAC , ∴ DE // 平面 PAC . (2)证明:∵ AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 , ∴ AB2 ? BC 2 ? AC 2 .
A

??? 2分 P
D

???3 分
C

???4 分
E

B

???6 分


AC ? BC

.

???8 分 ∵平面 PAC 平面 ABC , ∴
PAC . BC ?
? 平面 ABC , 且平面 PAC

平面 ABC ? AC ,BC ?



面 ???

9分 ∵ PA ? 平面 PAC , ∴
PA ? BC

.

???10 分 24.

63

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(六) 班级: 姓名: 座号:

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填 对得4分,否则一律得零分.

64

1.函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域是 2.若集合 A ? ? x x ? 1? , B ? ? x x 3.在 ?ABC 中,若
2x 4 2
tan A ? 2 3
2


?4

? ,则 A

B?



,则 sin A ?

4.若行列式 5.若
sin x ?
6

1

?0

,则 x ? tan x ? 。

? ? ?? 1 x ? ?? , ? ? 2 2 ? ,则 3,

1? ? ?x? ? 6. ? x ?

的二项展开式的常数项为

7.两条直线 l1 : x ? 3y ? 2 ? 0 与 l2 : x ? y ? 2 ? 0 夹角的大小是
S6 ? 8.若 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 S3

x2 y 2 ? ?1 9. 若椭圆 C 焦点和顶点分别是双曲线 5 4 的顶点和焦点, 则

椭圆 C 的方程是
x2 ? y2 ? 1 10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 2 的中心和左焦点, 点 P 为椭

圆上的任意一点,则
OP ? PF
2 2

A

B

A E C

B F

的最小值为

C G D

11. 根据如图所示的程序框图, 输出结果 i ?
D

12.2011 年上海春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学恰好 被其中 2 所高校录取,那么录取方法的种数为 13.有一种多面体的饰品,其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形 组成(如图) , AB 与 CD 所成角的大小是 .

65

14 . 为 求 解 方 程

x5 ? 1 ? 0

的虚根,可以把原方程变形为

? x ? 1? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ,再变形为 ? x ? 1? ? x 2 ? ax ? 1?? x 2 ? bx ? 1? ? 0 ,由
此可得原方程的一个虚根为 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个 正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂 黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15 . 若 向 量 a ? ? 2 , ?0 , b ? ?1,1? , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A . a ?b ?1 D. a // b 16 ( . ) A. 原点对称 称 D. y 轴对称
1? ? l: y ? ? k ? x? 2? ?
2 2 与 圆 C : x ? y ?1 的 位 置 关 系 为

B.

a ?b

C . ? a ? b? ?

b





f ? x? ?

4x ? 1 2x











B. 直线 y ? x 对称

C. 直线 y ? ? x 对

17 . 直 线 (



A.相交或相切 D.相交

B.相交或相离

C.相切

? 3 6? a1 ? ? ? 3 , 3 ? ? a , a , a ? ? 是 a1 ? a2 ? a3 ? 18. 若 1 2 3 均为单位向量, 则

?

3, 6

?的



) B.必要不充分条件 C.充分必要条件

A.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

66

三、解答题(本大题 74 分)本大题共有5题,解答下列各题必 须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)向量 a ? ?sin 2x ?1,cos x ? , b ? ?1, 2cos x ? .设函 数 f ? x? ? a ? b . 求函数
? ?? x ? ?0, ? f ? x ? 的最小正周期及 ? 2 ? 时的最大值.

20. (14 分)某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形, 下半部分呈圆锥形(如图),现把半径为 10cm 的圆形蛋皮等分成 5 个 扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮的厚度忽略不计),求该 蛋筒冰激凌的表面积和体积(精确到 0.01 )

67

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 10 分.
2 已知抛物线 F : x ? 4 y .

(1)

?ABC 的三个顶点在抛物线 F

上,记 ?ABC 的三边 AB, BC, CA
A

所 在 直 线 的 斜 率 分 别 为 k AB , kBC , kCA , 若 点
k AB ? kBC ? kCA 的值;

在坐标原点,求

(2) 请你给出一个以 P ? 2,1? 为顶点,且其余各顶点均为抛物线
F

上的动点的多边形,写出多边形各边所在直线的斜率之间的关

系式,并说明理由. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.

68

22. (本题满分 16 分)定义域为 R ,且对任意实数 x1, x2 都满足不等 式
? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ? 的所有函数 f ? x ? 组成的集合记为 M

.例

如 f ? x ? ? kx ? b ? M .
? x, x ? 0, ? f ? x? ? ?1 x, x ? 0 ? ?2 证明: f ? x ? ? M ;

(1) 已知函数

(2) 写出一个函数 f ? x ? ,使得 f ? x ? ? M ,并说明理由;

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分.
1? xn ?1 ? ? ? xn ? 2 x ? a a ? 0 ? ? ? 0 对于给定首项 ,由递推式
3

a xn

? ? ? ?n ? N ? ? ?

69
3 得到数列 ?xn ? ,且对于任意的 n ? N? ,都有 xn ? a ,用数列 ?xn ? 可以

计算 3 a 的近似值. (1) 取 x0 ? 5 , a ? 100 ,计算 x1, x2 , x3 的值(精确到 0.01 ) ,归纳 出 xn , xn ?1 的大小关系; (2) 当 n ? 1 时,证明
xn ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 ? xn ? 2 ;

(3) 当 x0 ??5,10? 时 , 用 数 列 ?xn ? 计 算 3 100 的 近 似 值 , 要 求
xn ? xn?1 ? 10?4 ,请你估计 n ,并说明理由.

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(六)参考答案 1、 【解】 ? 2, ??? .函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域满足 x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , 所以函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域为 ? 2, ??? . 2、 【解】 所以 A ? x 1 ? x ? 2? .B ? ?x x2 ? 4? ? ??2 ? x ? 2? , 3、 【解】
1 ? tan 2 A ? 1 ?

B ? ? x 1 ? x ? 2? .

22 11

.因为

tan A ?

2 ?0 3

,则

?A

是锐角,于是

2 11 1 ? ? , 9 9 cos 2 A

则 cos 2 A ?

3 9 , cos A ? , sin A ? tan A ? cos A ? 2 ? 3 ? 22 . 11 3 11 11 11

70

(或由 cos 2 A ? 4、 【解】 1 .

9 得 sin 2 A ? 2 ,因为 sin A ? 0 ,则 sin A ? 22 . ) 11 11 11

2x 1

4 2

? 2 ? 2 x ? 1? 4 ? 0 ,则 2 x ? 2 , x ? 1 .

1 ? ?? 5、 【解】 arcsin 1 .因为 sin x ? 1 , x ? ? ? ? , ? ,则 x ? arcsin . 3 3

? 2 2?

3

1? 6、 【解】 20 . ? ?x? ? x? ?

6

r 6? r ? r r 6? 2 r 的二项展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 x x ? C6 x .

1? 令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 . 所 以 ? ?x? ? 的二项展开式的常数项为 ? x?
C3 6 ? 20 .

6

7、 【解】 ? .直线 l1 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? ,夹角为
?
4 ?

?
6

?

?
12

12

6

4


?7

8 、【 解 】
q3 ? ?8 .

. 设 公 比 为

q

, 则

8a1q ? ?a1q4

, 所 以

S6 q 6 ? 1 3 ? ? q ? 1 ? ?8 ? 1 ? ?7 . S3 q3 ? 1
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 .双曲线 ? ? 1 的顶点和焦点坐标分别是 9 4 5 4

9、 【解】

??

5, 0

? 和 ? ?3,0? .
x2 y 2 ? 2 ? 1 ,则由题设, a ? 3 , a2 ? b2 ? 5 , 2 a b

设椭圆 C 的方程为 于是 b ? 2 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

10、 【解】 2 设 P ? x, y ? ,由 F ? ?1, 0? 得 OP

2

? PF ? x 2 ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ①因
2 2

71

为点

P

为椭圆上的任意一点,则

y2 ? 1?

x2 2

,于是①式化为

? x2 ? 2 2 OP ? PF ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ?1 ? ? 2? ?
? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 .因为 ? 2 ? x ? 2 ,而 ? x ? 1? ? 2 图象的对称轴
2 2
2 ? x ? ?1 时, OP ? PF x ? ?1? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 2

有最小值为 2 .

11、 【解】7 .根据如图所示的程序框图,所得的数据如下表所以 输出的 i ? 7 .
i 1 2

3
36

4

5
16

6
6

7
?6 ? 0

s

56

46

26

2 12、 【解】168 .第一步:从 8 所高校取 2 所高校的方法有 C8 ? 28 种,

第二步:3 位同学分配到 2 所高校的方法有 2 位同学被分配到同一
2 1 所高校,所以有 C3 C2 ? 6 种,所以录取方法的种数为 28 ? 6 ? 168 种.

13、 【解】 . AB 与 CD 是正方形的边,则 AB // EF , CD // FG , 因为 EF 和 FG 是正三角形 EFG 的两边,则 AB 与 CD 所成的角为 . 14、 【解】 ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i , ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i 中的一个.
4 4

? 3

? 3

由题设,有 x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? 1 ? ? x 2 ? ax ? 1?? x 2 ? bx ? 1? , 即 x4 ? x3 ? x2 ? x ?1 ? x4 ? ? a ? b? x3 ? ? ab ? 2? x2 ? ? a ? b? x ?1 ,对应相应项的 系数得
? a ? b ? 1, ? ?ab ? 2 ? 1
? ? 1? 5 1? 5 , , ?a ? ?a ? ? ? 2 2 解得 ? 或? 解 x 2 ? 1 ? 5 x ? 1 ? 0 ,因为 2 ?b ? 1 ? 5 , ?b ? 1 ? 5 , ? ? ? 2 ? 2

72

??

?10 ? 2 5 所以 x ? ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i , 同理, 解 x2 ? 1 ? 5 x ? 1 ? 0 ?0, 4 2 4

得 ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i .所以原方程的一个虚根为 ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i ,
4 4 ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i 4

中的一个.
? 2 ,则 a ? b

15、 【解】 a ? b ? 2 ,A不正确; a ? 2 , b

,B不正

确; a ? b ? ?1, ?1? , ? a ? b ? ? b ? ?1, ?1? ? ?1,1? ? 0 ,所以 ? a ? b ? ? b ,C正确; 不存在实数 ? ,使 a ? ?b ,D不正确.故选C. 16、 【解】 f ? x ? ? 对称.故选A.
1 ? ? 1 ? 17 、 【解】解法 1 .因为直线 l 过点 ? ? ? , 0 ? ,而点 ? ? , 0 ? 在圆 ? 2 ? ? 2 ?

4x ? 1 ? 2 x ? 2? x ,则 f ? ? x? ? ? f ? x? ,其图象关于原点 2x

C : x2 ? y 2 ? 1 的内部,所以直线与圆相交.故选D.解法
1 k 2

2.圆心

1 k 1 2 为 ? 0, 0 ? ,半径为 1 ,圆心到直线的距离为 d ? ? ? ? 1 ,所 k 2 1? k 2

以直线与圆相交.故选D. 18、 【解】若 a1 ? a2 ? a3 ? ? 若 a1 ? ? ?
3, 6

? ,当 a ? a
1

2

? 3 6? ? a3 时,得 a1 ? ? ? 3 , 3 ? ?, ? ?

? 3 6? , ? ? ,当 a2 ? a3 ? ?1,0? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? 3 3 ? ? 3 6? , ? ? 是 a1 ? a2 ? a3 ? 3 3 ? ?

?

3, 6

?,

所以 a1 ? ? ? B.

?

3, 6

? 的必要不充分条件.故选
?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

19、 【解】 f ? x ? ? a ? b ? sin 2 x ?1 ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x

73

?? 所以,函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? 2? ? ? .因为 x ? ? ?0, ? ,所以
2

?

2?

2x ?

?

? ? 5? ? ?? , ? , 4 ?4 4 ?
4 2 8

当 2 x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时,函数有最大值 ymax ? 2 . 20、 【解】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h .由题意,圆锥的侧面
? ? cm ? ,圆锥底面周长为 2? r ? cm ? ,则 扇形的周长为 1 ? 2? ? 10 ? 4
5

2? r ? 4?

, r ? 2 ? cm ? .圆锥的

高为

102 ? 22 ? 96 ? 4 6

? cm ? , 圆 锥 的 侧 面 扇 形 的 面 积 为

2 1 S1 ? ? 4? ?10 ? 20? cm 2

?

?,
S2 ? 1 ? 4? ? 22 ? 8? 2

半球的面积为

.该蛋筒冰激凌的表面积

S ? S1 ? S2 ? 28? ? 87.96 ? cm 2 ? ;

圆 锥 的 体 积 为

1 16 V1 ? ? ? 22 ? 4 6 ? 6? 3 3

? cm ?
3

, 半 球 的 体 积 为

1 4 16 V2 ? ? ? ? 23 ? ? ? cm 3 ? , 2 3 3

所以该蛋筒冰激凌的体积为 V ? V1 ? V2 ?

16 3

?

6 ? 1 ? ? 57.80 ? cm 3 ? .

?

因此该蛋筒冰激凌的表面积约为 87.96cm2 , 21、 【解】(1) 设 B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? .则
k AB ? kBC ? kCA ? yB yB ? yC yC ? ? xB xB ? xC xC

体积约为 57.80cm3 .

2 2 2 2 1 xB ? xC xC xB ? ? xB ? ? xB ? xC ? ? xC ? ? ? ? ??0. 4 xB 4 ? xB ? xC ? 4 xC 4 ?

(2) ① 研究 ?PBC .

74

kPB ? kBC ? kCP ?

yB ? yP yB ? yC yC ? yP ? ? xB ? xP xB ? xC xC ? xP

?

2 2 x 1 x2 ? x2 x2 ? x2 xB ? xP ? P ? 1. ? xB ? xP ? ? ? xB ? xC ? ? ? xC ? xP ?? ? B C ? C P ? ? ? ? 2 4 ? xB ? xP ? 4 ? xB ? xC ? 4 ? xC ? xP ? 4

② 研究四边形 PBCD .
k PB ? k BC ? kCD ? k DP ? xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xP ?0 ? ? ? 4 4 4 4

③ 研究五边形 PBCDE .
kPB ? kBC ? kCD ? kDE ? kEP
? xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xE xE ? xP xP ? ? ? ? ? ? 1. 4 4 4 4 4 2



研 究

n ? 2k

边 形
? ? ?1?
2 k ?1

P 1

P2

k

P2 ? k ? N? , k ? 2?

, 其 中

. kP1P2 ? kP2P3 ? kP3P4 ? P 1 ? P
? xP1 ? xP2 4 ? xP2 ? xP3 4 ?

kP2 k P1

xP3 ? xP4 4

?

? ? ?1?

2 k ?1

xP2 k ? xP1 4
P 1 P 2

?

xP1

?1 ? ? ?1?2 k ?1 ? ? 0 . ? 4 ?
P ? k ? N1? , k ? 2? 2







n ? 2k ? 1
? ? ?1?


2 k ?1?1



k?

,



. kP1P2 ? kP2P3 ? kP3P4 ? P 1 ? P
? xP1 ? xP2 4 ? xP2 ? xP3 4 ?

kP2 k ?1P1

xP3 ? xP4 4

?

? ? ?1?

2 k ?1?1

xP2 k ?1 ? xP1 4

?

xP1

?1 ? ? ?1?2 k ?1?1 ? ? 1. ? 4 ?







n




? ? ?1?
n ?1

PP 1 2
kPn P1
n ?1

Pn

? k ? N? , n ? 3?

,





P ? kP2 P3 ? kP3P4 ? 1 ? P . kP 1P 2
? xP1 ? xP2 4 ? xP2 ? xP3 4 ?

xP3 ? xP4 4

?

? ? ?1?

xPn ? xP1 4

?1 ? ? ?1?n?1 ? ? ? ? 4 ?

xP1

1 ? ? ?1? 2

n ?1

. 22 、 【 解 】 (1) 当 ,
x1 ? x2 ? 0

时 等

, 式

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 f ? 1 2 ?? ? ? ?0 2 4 4 ? 2 ?





75

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立;当 0 ? x1 ? x2 时, f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 则不等式 f ? 1 2 ?? ? ? ? 0, 2 2 2 ? 2 ?
? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成 f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?

立;
x ?x x1 ? x2 ? 2 1 2 1 x1 ? x2 x2 当 x1 ? 0 ? x2 , 且 x1 ? x2 ? 0 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 2 2 2 2 2 4 ? 2 ? 1

则 不等式 f ? ?
x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ?? 2 ? 2 ?
1 x ?x x ? x1 ? x2 ? 2 1 2 x1 ? x2 f? ? ? ?? 1 ?0, ? 2 2 4 ? 2 ?

当 x1 ? 0 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 0 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 2 则 不等式 f ? ?

x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立. ?? 2 ? 2 ? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立.所以 f ? x ? ? M ?? 2 ? 2 ?

综合以上,不等式 f ? ?

(2) 例如函数 f ? x ? ? ? x2 ,取 x1 ? ?1 , x2 ? 1 ,则

f ? ?1? ? f ?1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 0 ? ? ?1 ? 0 ?f? 1 2? ? 2 2 ? 2 ?

. 所 以 f? ? x? . M 也 可 以 从 f ? x ? ? ? x2 的 图 象 看 出 ,
x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,不满足 f? .所以 ? ?? ? 2 ? 2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2?? 2 ? 2 ?

f

? x? ?

. ?2 x ?M
? x 2 , x ? 1, ? f ? x? ? ? ? ? x, x ? 1.

(3) 例 如 函 数

满足 f? x ? ? M,

lim
n ??

f ? n? n2 ? lim 2 ? 1 2 n ?? n n



76
f ? ?n ? ?n ? lim ?1. n ?? ?n ?n

lim
n ??

23、 【解】(1) x1 ? 4.74, x2 ? 4.67, x3 ? 4.65 ,猜想 xn?1 ? xn ; (2)
xn ? xn ?1 ?

1 1 ? a ? 1 1 ? xn ?1 ? xn ? ? xn ? 1 ? xn ? ? xn ?1 ? xn ? xn ? ? ? ? 2 2 2? xn ? 2 2
? 1 ? ?? 2 ?

a 1 ? xn?1 xn 2

1? a ? ? x ? n ? 1 2? xn ?1 ?

1 a 1 ? xn ?1 ? 2 xn 2

a 1 ? xn ?1 2

a a ? xn 2

xn ? xn ?1 xn ?1 xn

① ,所以

因 为 xn ? 3 a , 所 以 x
xn ? xn?1 .

1? a ? ? ? x ? ?? n ?xn ?1 ? x n n ? 2? xn ? ?

3 1? a ? 1 xn ? a x ? ? ? ?0 ? ? n 2? xn ? xn ? ? 2

1 由①式, xn ? xn ?1 ? ? xn ?1 ? xn ? ? 2

a 2

xn ? xn ?1 xn ?1 xn

所以 xn ? xn ?1 ? ?0,
?

1 ? xn ?1 ? xn ? . 2

(3) 由(2) 0 ? xn ? xn?1 ? 1 ? xn?1 ? xn ? ?
2

1 ? xn?2 ? xn?1 ? ? 22

1 1 ? x1 ? x2 ? ? n ? x0 ? x1 ? , 2n ?1 2

所以只要

1 x ? x1 ? ? 10?4 即可,于是 2n ? 104 ? x0 ? x1 ? , n ? 0 2

因为 x0 ? x1 ?

? 4 10 ? 10 ? 1? 10 ? n ? log 2 ? 所以 所以 n ? 16 . ? x0 ? ?, ? ?10 ? ? ? 15.1 . ? 2 2? x ? ? 0 ? ?

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十四) 【考试时间:2014 年 1 月 6 日下午 2:15—— 4:15,共 120 分钟】 班级: 成绩: 一、选择题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分。在每 小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填写 在答题卡上。 1.已知集合 M ? {1, 2,3, 4},集合 N ? {1,3,5} ,则 M
A. {2} B. {2,3} C. {1,3}
N 等于(

姓名:

座号:



D.{1, 2,3, 4,5}

3 2 2

3

77

2.复数

1? i 在复平面内对应的点在( i

) C .第三象限

A 第一象限 D.第四象限

B .第二象限

3. 已知命题 p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0, 则 A. ?p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 C. ?p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0





B. ?p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 D. ?p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0

4. 一个空间几何体的三视图如右图所示,这个几何体的体积是 ( ) A. 2 B.4 C.6 D.8

5. 要得到函数 y ? 2 sin(x ? ( )

? )的图象,只要将函数 y ? 2 sin x 的图象 6

? 6 ? (C)向左平移 个单位 3

(A)向左平移 个单位

? 6 ? (D)向右平移 个单位 3

(B)向右平移 个单位

6.已知一个算法,其流程图如右图所示,则输出的结 果是( )
A. 3 B. 9 C. 27 D. 81

7. 在空间中,下列命题正确的是( ) A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行 8. 若 AD 为 ?ABC 的中线,现有质地均匀的粒子散落在 ?ABC

78

内,则粒子在 ?ABD 内的概率等于(
4 5 2 D. 3 A. B. 3 4


C. 1 2

9. 计算 sin 240? 的值为(
A. ? 3 2
4


B. ? 1 2 C. 1 2

3 2

D.

⒑ "tan ? ? 1" 是 "? ? ? " 的





(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条 件 (D)既不充分也不必要条件 11. 下列函数中,在 (0,??) 上是减函数的是(
A.


y ? 2x
D.

y?

1 x

B.

y ? x2 ?1

C.

y ? l o 3gx

⒓已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? ? 3( x ?1) , 那么此直线的倾 斜角为(
6 5? D. 6 A.


B.

?

?
3

C.

2? 3

13. 已知实数 x 、 ( )
A. 0
D.5

? x≥0 ? y 满足 ? y≥0 ,则 z ? x ? y 的最小值等于 ? x ? 4 y≥4 ?

B. 1

C. 4

14、设椭圆的两焦点为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于

79

点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A、
2 2

B、

2 ?1 2

C、 2 ? 2

D、 2 ? 1

厦门市海沧中学高职高考 数 学 模 拟 试 卷 答 题 卡 一、 请将选择题答案填入: 题 号 答 案 非选择题(共 80 分) 二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。请把 答案写在答题卡相应的位置上。 15.如果 a ? 0 ,那么 a ?
1 ? 1 的最小值是 a

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1


[ a, 2a ]

16. 函 数 f ( x) ? l o a g x(0 ? a ? 1) 在 区 间 ___________ 17. 在△ ABC 中,若 ?B ?

上的最大值是

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4


F C

18.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F D 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、

E

证明过程或演算步骤. 19.(本小题满分 8 分)
A B

已知等差数列 ?an ?满足:a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26,?an ? 的前 n 项和为 S n 。 (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn 和 Tn 。
? 1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项 a ?1
2 n

80

20.(本小题满分 8 分)设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? sin 2x ? a(a ? R) , (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; ( 2)当
x ? [0, ] 时,f(x)的最大值为 6

?

2,求 a 的值。

21.(本小题满分 10 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, CG ?
PC ? BC;
1 CB. 3

(I)求证:

(II)求三棱锥 C—DEG 的体积;

(III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在, 求 AM 的长;否则,说明理由。

81

22. (本小题满分 10 分)已知椭圆 G: 为
6 3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2

, 右焦点为 ?2 2,0?, 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、 B 两点,

以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2) 。 (1)求椭圆 G 的方 程; (2)求 ? PAB 的面积。

82

23.(本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称 为可入肺颗粒物. PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量 为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二 级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监 测数据如茎叶图所示. (Ⅰ) 计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标; (Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅲ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级 的概率. PM2.5 日均值(微克 /立方米) 2 3 5 6 8 10 1 7 9 0 5 4 3 6 7 6

83

24.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x , a ? R .(Ⅰ)讨 论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 对 ?x ? (0, ??) , f ( x) ? bx ? 2 恒 成立,求实数 b 的取值范围.

84

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十四)参考答案 一 . 选 择 题 ( 每 题 5 分 , 共 70 分 ) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 号 答 C D A C A D B C A A 案 二 . 填 空 题 ( 每 题 5 分 , 共 20 分 ) 15. 3 16. 1 17. 1050 或
7? 12

A

C

B

D

18.

2

三.解答题 19. (本小题满分 8 分)

85

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
? n 4(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 3 n n ?1

即,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 分 20.(本小题满分 8 分) 解: (1) 分)
则f(x)的最小正周期T= 2?

n 。 4(n+1)

8

f ?x ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ? a ?1

。 。 。 。 。 (2

?

??

??

?????3 分
且当2k? -

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ?时,f(x)单调递增,

f ?x ?

即 间。

3? ?? ? ?k? ? 8 , k? ? 8 ??k ? Z ? ? ?

的 单 调 递 增 区

???????5 分 (2) 当
?
2 ,即x ?

? ?? x ? ?0, ? ? 6?


)=1



?
4

? 2x ?

?
4

?

7? 12

当2 x ?

?
4

?

?
8

时,sin(2x+

?
4


f ?x?m ? 2 ? 1 ? a ? 2,? a ? 1 ? 2

以 ??????? 8分 a

21. (本小题满分 10 分)本题主要考查线面平行与垂直关系、多 面体体积计算等基础知识, 考查空间想象能、 逻辑思维能力、 运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化

86

思想。满分 10 分。 (I)证明:? PD ? 平面 ABCD,? PD ? BC ????1 分 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD, ∵PD ? CD=D ∴BC⊥平面 PCD 又∵PC ? 面 PBC ∴PC⊥BC ????4 分 ????2 分

(II)解:∵BC⊥平面 PCD,∴GC 是三棱锥 G—DEC 的高。 ????5 分 ∵E 是 PC 的中点,? S ?EDC
1 ?VC ? DEG ? VG ? DEC ? GC ? S ?DEC 3 1 1 1 S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 ??6 分 2 2 2 1 2 2 ? ? ?1 ? ????7 分 3 3 9 ?

(III)连结 AC,取 A C 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M, 则 PA//平面 MEG。 ????8 分 下面证明之 ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点, ∴EO//PA, 又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面MEG ∴PA//平面 MEG ????9 分 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,

87

? ?OCG ≌ ?OAM

? AM ? CG ?

2 , 3
2 . 3

∴所求 AM 的长为 分

???? 10

22. (本小题满分 10 分)
?c ? 2 2 解: (1)由已知得 ? ?c 6 ? ? 3 ?a

,。 。 。 。 。 。1 分,解得 a=2 3 ,。 。 。 。 。 。 。

2 分, 又 b2
? a 2 ? c 2 ? 4. 。 。 。 。3

分, 分
?y ? x ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? ? 12 4

所以椭圆 G

x2 y2 的方程为 ? ? 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 12 4

( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 为 y=x+m, 由 。 。 。 。 。 (5 4 x 2 ? 6mx ? 3m 2 ? 12 ? 0(1) 。
x0 ?



分)

设 A,B 的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ?( x1 ? x2 ),AB 中点为 E?x0 , y0 ? ,则
x1 ? x 2 3m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 。 。 。 。 。 。 (6 分) 2 4 4 因为 AB 是等腰三角形 ?PAB 的底边,所以 PE ? AB, 所以 m 2? 4 ? ?1, 解得 m=2. k? 3m ?3? 4

PE 的斜率

(。 。 。 。 。 。 。7 分) 此时方程(1)为 4x 2 ? 12x ? 0, 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0, 所以 y1 ? ?1, y2 ? 2 所以 AB ? 3 2 。 (。 。 。 。 。 8 分) 此时, 点P (-3,2) 到直线 AB: x-y+2=0 的距离 d=
?3? 2? 2 2 ? 3 2 , 2

(。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分) 所以 ?PAB 的面积 S ? 解: (Ⅰ)X
? 1 9 AB ? d ? . 2 2

(。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分)

23. (本小题满分 12 分)
21 ? 26 ? 37 ? 59 ? 60 ? 63 ? 85 ? 86 ? 104 ? 107 ? 64.8 , ???? 10

88

2分 64.8 在 35 与 75 之间,空气质量属于二级,未超 ????3 分 标. (Ⅱ)记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A,
P ( A) ? 2?4 3 ? . 10 5

??

??6 分 (Ⅲ)由茎叶图知 PM2.5 数据在 0 ~ 35 之间的有 21、26,PM2.5 数据在 35 ~ 75 之间的有 37、59、60、63,从这六个数据中,任意 抽取 2 个的结果有: (21,37),(21,59),(21 ,60),(21,63),(26,37),(26, 59),(26 ,60),(26,63),(21,26),(37,59),(37 ,60), (37, 63), (59, 60), (59, 63), (60 , 63) . 共有 15 个. ???? 10 分 记 “这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一 天为一级” 为事件 B,
P( B) ? 8 . 15

????12 分 24. (本小题满分 12 分) 解 : (
1 ax ? 1 ? . x x
a?0











?0, ???



,

f ?( x) ? a ?

????????1 分
f ?( x) ? 0

①若 数;

,则

, f ( x) 是 区 间 ?0, ??? 上 的 减 函

?????3 分
1 a

②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? .

89

在区间 (0,
a

1 ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; a

在区间 ( 1 , ??) 上,

f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数;

综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x) 的递减区间是 ?0, ??? ,无递增区 间; ②当
1 (0, ) . a
a?0

时 , f ( x) 的 递 增 区 间 是 ( 1 , ??) , 递 减 区 间 是
a

????5 分

(II)因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 解 意. 由
f ( x) ? bx ? 2,1 ?



a ?1















????7 分 已
1 ln x ? ?b x x
g ( x) ? 1 ?



f(

?

?

x)



b

2

x

???????8 分
1 ln x ? x x


g ?( x ) ? ?





1 1 ? ln x ln x-2 ? ? x2 x2 x2
g ( x)

???????10 分

易 得 增, 所
b ? 1? 1 e2



?0, e ?
2

上 递 减 , 在

?e ,???
2

上 递

???????11 分 以 .
g ( x) m ? g (e 2 ) ? 1 i? 1 e2
n





????12 分

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十) 班级: 成绩: 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 姓名: 座号:

90

1.下列说法正确的是( (A) ? ? N*
2 ?Q


? 2?Z

(B)

(C)

0??

(D)

2.三个数 a ? 30.7 , b ? 0.73 , c ? log3 0.7 的大小顺序为( (A) b ? c ? a 3. 2sin
?
12 ? cos
1 2



(B) b ? a ? c (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 的值为( (B)
2 2

?
12

) (C)
3 2

(A)

(D)1

4. 函数 y ? 4sin 2 x( x ? R) 是 ( (A) 周期为 2? 的奇函数 为 ? 的奇函数

) (B) 周期为 2? 的偶函数 (C) 周期

(D) 周期为 ? 的偶函数 )

5.已知 a ? (1, 2) , b ? ? x,1? ,当 a + 2b 与 2a - b 共线时, x 值为( (A) 1 (B)2 (C)
1 3

(D)

1 2

6. 某公司有员工 150 人,其中 50 岁以上的有 15 人,35~49 岁 的有 45 人,不到 35 岁的有 90 人.为了调查员工的身体健康 状况,采用分层抽样方法从中抽取 30 名员工,则各年龄段人 数分别为( ( A ) 5, 10, 15
3, 10, 17

) (B)
5, 9, 16

(C) 3, 9, 18

(D)

7. 在下列函数中:① f ( x) ? x , ② f ( x) ? x ,③
f ( x) ? x ,

1 2

2 3

f ( x) ? cosx,④

其中偶函数的个数是 ( (A)0 (B)1

) ( C)2 (D)3

91

8. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示, 则数据在[50,70)的频率约为( ) (A)0.25 (D)0.025 9. 把函数 y ? cos( x ? ( B)0.05
4? ) 的图象向右平移 ? 3

(C)0.5 ( ? >0)个单位,所得的 )
2? 3

图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小值为( (A)
? 6

(B)

? 3

(C)

(D)

4? 3

10. 如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成 一个小正方形. 直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖 落在小正 方形内的概率为( (A)
4 13 1 13


2 13

(B)

(C)

3 13

(D)

11. 已知 x、y (A)6 (D)-12

? x ? y ? 5 ? 0, 满足条件 ? 则 ? x ? y ? 0, ? x ? 3. ?

2x+4y 的最小值为( (C)


Input x if-6 x>0 then

(B) 12

y ? cos x

Else

12.条件语句⑵的算法过程中,当输入 x ? 输出的结果是( A.
? 3 2

4? 3

时,
3 2

y ? sin x
End Print y 第7题


1 2

B.

?

C.

1 2

D. )

13.下列各对向量中互相垂直的是(

92

A. a ? (4,2),b ? (?3,5) C. a ? (5,2),b ? (?2,?5)

B. a ? (?3,4) , b ? (4,3) D. a ? (2,?3),b ? (3,?2)

14.对于常数 m,n, “mn>0”是方程 mx2 ? ny2 ? 1 的曲线是椭圆”的 ( ) B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.

A. 充分不必要条件

既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中的横线上) 15.设 ? , ? 是两个不同的平面,l 是一条直线,给出四个命题:① 若 l ? ? , ? ? ? , 则 l ? ? ; ② 若 l / /? , ? / / ? , 则 l ? ? ③ 若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? ; ④若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? .则真命题的 序号为 . 16.在等差数列 {an } 中,已知 a2 ? a8 ? 10, 则a5 的值为 .
主视图 2 2

2

2 左视图

17.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯 视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积为


俯视图

18.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不 等式: ① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ; 其中正确的是 全写上) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明 或演算步骤) 19.(8 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ② f (a) ? f (b) ? ④ f (a) ? f (b) ?
f (?a) ? f (?b) ;

f (?a) ? f (?b) .

(把你认为正确的不等式的序号

93

cos

A+C 3 = 2 3. (Ⅰ)求 cosB 的值; (II)若 BA · BC =2,b=2 2,求 a 和 c 的值.

20. (8 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点, (1 ) 证明:EF//平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V。

94

21.(10 分) 某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师 按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (I)求课外兴趣小组中男、女同学的人数; (II)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定随机选出 两名同学分别去做某项试验,求选出的两名同学中恰有一名 女同学的概率; (III)在(II)的条件下,两名同学的试验结束后,男同学做 试验得到的试验数据为 68、70、71、72、74,女同学做试验 得到的试验数据为 69、70、70、72、74,请问哪位同学的试 验更稳定?并说明理由.

22.(10 分) 已知圆 M 过两点 A (1,-1), B (-1,1),且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PC 、PD 是圆 M 的两条 切线, C 、 D 为切点,求四边形 PCMD 面积的最小值.

95

23.(12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n?1 . (Ⅰ)设 bn ?
an 3n

.证明:数列 ?bn ? 是等差数列;

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

96

24.(12 分)已知函数 f(x)= x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1,(1)a= ? 2 时。求函 数 f(x)的单调区间; (2)若 x ? ?2,??? 时,f(x) ? 0 ,求 a 的取值范 围。

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十) 参考答案与评分标准

一、选择题 1.B;2.D;3.A;4. C;5. D;6.C;7.C;8. B;9. B;10. A;11. C; 12. B. 13.B 14.B

97

二、填空题 15. (3) ;16.5;17.
4 3



解:∵由三视图知,三棱锥是底面是等腰直角三角形,底边上的 高是 2 ,一条侧棱与底面垂直,且这条侧棱的长度是 2,故
1 ?1 4 ? v ? ?? ?2 2 ? 2??2 ? 3 ?2 3 ?

本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原直观图, 只要主视图和侧视图是三角形, 那么这个几何体一定是一个 椎体,由俯视图得到底面是几边形,确定是几棱锥. 18.①④. 三、解答题 A+C 3 B π A+C 3 19 . 解: (1)∵cos 2 = 3 , ∴sin 2 = sin( 2 - 2 ) = 3 , 2分 B 1 ∴cosB=1-2sin2 2 =3. ......................................... 4 分 1 (2)由 BA · c· cosB=2,又 cosB=3,故 ac=6,6 分 BC =2 可得 a· 由 b2=a2+c2-2accosB 可得 a2+c2=12, ............. 7 分 ∴(a-c)2=0,故 a=c,∴a=c= 6. ........................ 8 分 20.见考试说明 P149—P150 页。 21.解: (I) P ? n ? 4 ? 1 ? 每个同学被抽到的概率为 1 . 2
m 60 15 15

分 课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 3,1. ..... 4 分 (II) 把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1 , a2 , a3 , b 则选取两名同学的基 本事件有 (a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, b),(a2 , a3 ),(a2 , b),(a3 , b), 共 6 种,其中有一名女同学 的有 3 种
? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ?
68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 , x2 ? ? 71 5 5 3 1 ? . 6 2

8分

(III) x1 ?

98

2 5 0 ..........10 分 ? 女同学的实验更稳定. 0 22.解:(1)法一:线段 AB 的中点为(0,0), 其垂直平分线方程为 9 x ? y ? 0. 2 分 0 3 ? x ? y ? 0, 解方程组 ? 所以圆 M 2的圆心坐标为(1,1). ? x ? y ? 2 ? 0. 2 5 2

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? 5

? (74 ? 71) 2

2 ? 4 , s2 ?

(69 ? 71) 2 ?

? (74 ? 71) 2

? 3.2

故所求圆 M 的方程为: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 . ····· 4 分 法二:设圆 M 的方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,
?(1 ? a)2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 , ? 根据题意得 ?(?1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 , ?a ? b ? 2 ? 0. ?

········· 2 分

解得 a ? b ? 1, r ? 2 . 故所求圆 M 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 . ····· 4 分 (2)由题知,四边形 PCMD 的面积为
S ? S ?PMC ? S ?PMD ? 1 1 CM ? PC ? DM ? PD 2 2

. ······· 6 分

又 CM ? DM ? 2 , PC ? PD , 所以 S ? 2 PC ,而 PC
? | PM |2 ? | CM |2 ? | PM |2 ?4 ,

即 S ? | PM |2 ?4 . ··············· 7 分 因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可, 即在直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上找一点 P ,使得 PM 的值最小, 所以 PM min ?
? 3 , ·········· 32 ? 42 所以四边形 PCMD 面积的最小值为
S ? | PM |2 ?4 ? 2 32 ? 4 ? 2 5 .

3 ?1 ? 4 ?1 ? 8

9分

·········· 10 分
an ?1 an ? ? 1 ,于是 bn?1 ? bn ? 1 , 3n ?1 3n

23.解: (Ⅰ) an?1 ? 3an ? 3n?1 ,∴

∴ ?bn ? 为首项和公差为 1 的等差数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ)由 b1 ? 1 , bn ? n 得,
Sn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ?
an ? n .∴ an ? n ? 3n . · · · · · · · · · · · · · n 3

6分

? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n , ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,

3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ?

两式相减,得 2Sn ? n ? 3n?1 ? (31 ? 32 ? ? 3n ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

99

解出 Sn ? (

n 1 n ?1 3 ? )3 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 2 4 4



24.见考试大纲的说明 P150—151 页。
3 ? x 3 1 3 即 x ? ?2,??? 时, ? 3a ? x ? ? 2 恒成立,求 x ? ? x x x

解: x ? ?2,???, f ( x) ? 0, 即x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 ? 0, 即 x ?

1 ? ?3a , x2 1 在 ?2,??? 的最小 x2

值即可。 令 g ( x) ? x ?
g ' ( x) ? 1 ?

3 1 ? x x2

3 2 ? 3 2 x x

=

x 3 ? 3x ? 2 ,下面我们证 g ' ( x) ? 0 在 x ? ?2,??? 恒成 3 x

立。,也即 x 3 ? 3x ? 2 ? 0 在 x ? ?2,??? 恒成立。 令 h(x)=
x 3 ? 3x ? 2 , h ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) ,易知 h ' ( x) ? 0 在

x ? ?2,??? 恒成立,

所以 g(x)在 x∈[2,∞)为增函数,所以 h(x) ? h(2)=0,也就是 x?-3x-2 ? 0 在 x∈[2,∞)恒成立, 也即 g'(x) ? 0 在 x∈[2,∞)恒成立, g(x)在 x∈[2,∞)为增函数, 所以 g(x)的最小值为 g(2)=
15 15 5 ,所以 ? 3a ? g (2) ? ,得 a ? ? 。 4 4 4

福建省高考高职单招数学模拟试题(十)

100

班级: 成绩:

姓名:

座号:

一.选择题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分. 1.已知集合 A ? {?1, 0,1} ,则( A. 1 ? i ? A D. 1 ? i 4 ? A 2.已知命题 P:“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”,则命题 P 的否定为( A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 ) B. 1 ? i 2 ? A ) C. 1 ? i 3 ? A

3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题 中正确的是( ) A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? 4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? m ( m 为 常数) ,则函数 f ( x) 的大致图象为( )

101

5.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值 为( ) A. D.
2 3
4 5
C

D

E

F

B.

3 4

C.

4 3

B

A

x2 6.已知双曲线 2 ? y 2 ? 1的一个焦点为 (2, 0) ,则它的离心率为( a

)
第 7 题图

A. D.2

2 3 3

B.

6 3

C.

3 2
2 2

7. 如图, 已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形, 则 BA ? (BC ? AF ) 的 值为( ) A. ?1 B.1 C.
3

2 主视图

侧视图

D.0俯视图

8 .某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的表面积为 ( ) A. 3? B. 4? C. 6? D.
10?

9.已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z) ,且 a ? b ,若变量 x,y 第 8 题图
? x ? ?1 满足约束条件 ? ?y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?

,则 z 的最大值为 ( C.3

) D.4 )

A.1

B.2

10.若复数 z ? (x2 ?1) ? (x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B. 0 C.1 )

D. ?1 或1

11. 函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是 (

102

A.

B.

C.

D.
f ( x) ? 0 有实数解的是

12. 已知 f ( x) ? 2x2 ? 2x ,则在下列区间中, ( ) A. (-3,-2) D. (4,5)
1 1 , tan(? ? ? ) ? 则 tan ? ? ( 4 3 11 B. ? 7

B. (-1,0)

C.

(2,3)

13. 已知 tan ? ? A. D.
1 13

) C.
? 1 13

7 11

14. 我国潜艇外出执行任务,在向正东方向航行,测得某国的雷 达站在潜艇的东偏北 300 方向的 100 海里处,已知该国的雷达扫 描半径为 70 海里,若我国潜艇不改变航向,则行驶多少路程后 会暴露目标? A 、 50 海里 D、 50 3 海里 二.填空题:本大题共 5 小题,考生作答频率 4 /组距 小题,每小题 5 分,
160/3

( B 、 10 3(5 ? 2 2 ) 海里

) C 、 20 6 海里

满分 20 分.
120/3

15.函数 f ( x) ? 为

1 的定义域 lg( x ? 1)

100/3 80/3 60/3

.

40/3 20/3 pm2.5(毫克/ 立方米) 0 0.065 0.070 0.075 0.0800.0850.0900.0950.1000.105

16.近年来,随着以煤炭为主的能源

103

消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加,我国许多大城市灰霾现 象频发,造成灰霾天气的“元凶” 之一是空气中的 pm2.5(直径小

第 12 题图
24 小时平均浓度 (毫克/立方米)

于等于 2.5 微米的颗粒物).右图是某市某月(按 30 天计)根 据对“pm2.5” 24 小时平均浓度值测试的结果画成的频率分 布直方图,若规定空气中“pm2.5”24 小时平均浓度值不超 过 0.075 毫克 / 立方米为达标,那么该市当月有 “pm2.5”含量不达标. 17.在△ABC 中,已知 A ? 60 , b ? 4, c ? 5, 则 sin B = .
开始



18. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值 为 .

S=1,i=1

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 60 分. 19. (本小题满分 8 分)
i≤4 是 否

已知数列 ?an ? 是公比 q ? 1 的等比数列,且 a1 ? a2 ? 40 ,a1a2 ? 256, 又 bn ? log2 an .求数列{ bn }的通项公式;

S=S+2i i = i+1

输出S

结束

20. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? x) ? cos x,( x ? R) .

104

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (3) 若 f (? ) ? 1 ,? ? (0, ? ) ,求 sin ? ? cos ? 的值.
4 2

21. (本小题满分 10 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为
1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准 A ,ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大

表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂 的产品都符合相应的执行标准. 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成 一个样本,数据如下: 3 6 8 3 5 3 4 3 4 3 3 7 4 8 5 4 5 3 7 5 4 5 6 8 6 3 5 7 4 3

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数
5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5 的为三等品.

(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三 等品率;

105

(2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等 级系数都是 8 的概率.

22. (本小题满分 10 分) 如图①边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AB、BC
D 的中点,将△ BEF 剪去,将△ AED、△ DCF 分别沿 DE、DF 折起,使

A、C 两点重合于点 P 得一三棱锥如图②示.
P F

(1)求证: PD ? EF ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积;

E

106

① ②
第 22 题图

23. (本小题满分 12 分) 已知直线 l : y ? x ? m , m ? R . (1)若以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在
x 轴上,求该圆的方程;

(2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l ? 与抛物线 C : x 2 ? 求直线 l 的方程和抛物线 C 的方程.

1 y 相切, m

107

24. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 .( a ? R ). (1) 当 a ? 1 时, 求函数 f ( x) 的极值; (2)若对 ?x ? R ,有 f '( x) ?| x | ? 成立,求实数 a 的取值范围.
4 3

福建省高考高职单招数学模拟试题(十) 参考答案及评分说明 一.选择题:B C B B C ADBCA ABCB

解析:1.∵ A ? {?1, 0,1} , 1 ? i 2 ? 0 ? A ,故选 B. 4. 由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除 A、 C, 由 f ( x) 在
[0, ??) 为增函数,可排除
1 2

D,故选 B.
2 tan ? 4 ? ,选 2 1 ? tan ? 3

y

5.依题意知: tan ? ? ,从而 tan 2? ?
a 3 3

C.
y=x (1,1) x o 3x+2y-5=0 y=-2x

6.由 c ? 2, b ? 1 ? a2 ? 3 ? e ? c ? 2 ? 2 3 ,选 A. 7. BA ? (BC ? AF ) = BA ? (BC ? CD) ? BA ? BD =0,选 D.

x=-1 r ? 1, 高 8. 由三 视 图知, 该 几何 体 为圆锥 , 其底 面 的半径 为

108

h?2 2,

母线 l ? r 2 ? h2 ? 3 , 故 S表 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,故选 B. 9.∵ a ? b ∴ 2( x ? z) ? y ? z ? 0 ? z ? 2x ? y ,点 ( x, y) 的可行域如图示, 当直线 z ? 2 x ? y 过点(1,1)时,Z 取得最大值, zmax ? 2 ? 1 ? 3, 选 C.
1 1 ? tan ? ? tan(? ? ? ) 1 13. tan ? ? tan[? ? (? ? ? )] ? ? 4 3 ? ? ,选 1 ? tan ? tan(? ? ? ) 1 ? 1 13 12

C.

二.填空题:15. {x | x ? 1且x ? 2} (或 {x |1 ? x ? 2或x ? 2} ;16. 27; 17.
2 7 7



15.由 ?

? x ?1 ? 0 ? x ? 1且x ? 2 . ? x ?1 ? 1

16 . 该 市 当 月 “ pm2.5 ” 含 量 不 达 标 有
( 8 0 ? 3 1 0 0 1 6 0 1 2 0 6 0 2 0 ? ? ? ) ? 0 . ?0 (天) 0 5? 3 0 ; ? 3 3 3 3 3 2 7

17. a ? 18.31

4 2 ? 5 2 ? 2 ? 4 ? 5 cos600 ? 21, sin B ?

bc sin A 2 2 7 ? ? ac 7 7

三.解题题: 19 . 解 : ( 1 ) 解 法 1 : ∵ a1 ? a2 ? 40 , a1a2 ? 256, 且
? a1 ? 8 ---------------4 ? ? a2 ? 32

q ?1

解得

分 ∴ 分



q?

a2 ?4 a1

an ? a1qn?1 ? 8 ? 4n?1 ? 22n?1 ---------------------------------6



109

bn ? log2 an

= log2 22n?1 ? 2n ?1 ----------------------------------

---------8 分 【解法 2:由 a1 ? a2 ? 40 , a1a2 ? 256, 且 q ? 1 得
q? a2 ?4 a1
? a1 ? 8 ? ? a2 ? 32



------------------------------------------------

---4 分 ∴
bn?1 ? bn ? log 2 an?1 ? log 2 an ? log 2 an?1 ? log 2 4 ? 2, ---------------------an

------5 分 又
b1 ? log2 a1 ? log2 8 ? 3,

---------------------------------------

----------------6 分 ∴ ?bn ? 是 以 3 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , ----------------------------------------7 分 ∴
bn ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1



---------------------------------------------------- 8 分 20 . 解
?





1





f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), x ? R 4

------------------------------

2分 ∴
T ? 2?





f ( x)













--------------------------------------3 分

110

( 2 ) 函 数

f ( x)

的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 分

2, ? 2 .---------------------------------- 5

(3)由 f (? ) ? 1 得 sin ? ? cos? ? 1
4

4 1 16



(sin ? ? cos? )2 ?



------------------------------------------------------6 分
1 ? sin 2? ? 1 15 ,sin 2? ? 16 16

-----------------------------------

-----------------7 分 ∴
(sin ? ? cos? )2 ? 1 ? sin 2? ? 1 ? 15 31 ? ------------------------------16 16

--------9 分 ∵ ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? cos ? ? 0
2


sin ? ? cos ? ? 31 4

. -----------------------------------------

-------------12 分 21.解: (1)由样本数据知,30 件产品中等级系数 ξ ? 7 有 6 件, 即 一 等 品 有 6 件 , 二 等 品 有 9 件 , 三 等 品 有 15 件 ----------------------------------------------------------3 分 ∴样本中一等品的频率为 一等品率为 0.2 ;-------4 分 二等品的频率为
9 ? 0.3 ,故估计该厂生产的产品的二等品率 30 6 ? 0.2 ,故估计该厂生产的产品的 30

为 0.3 ;---------------5 分

111

三等品的频率为

15 ? 0.5 ,故估计该厂生产的产品的三等品的 30

频率为 0.5 .-----------6 分 (2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等 级系数为 8 的也有 3 件,--7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、C2 、C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、 P2 、 P3 .则从样本的一等品中随机抽取 2 件的 所有可能为:
(C1, C2 ),(C1, C3 ),(C2 , C3 ), ( P 1, P 3 ),( P 2, P 3 ) , (C1 , P 1 ),(C1 , P 2 ),(C1 , P 3 ),(C2 , P 1 ), 1, P 2 ), ( P

(C2 , P2 ),(C2 , P 1 ),(C3 , P 2 ), (C3 , P 3 ) , (C3 , P 3 ) .共

15 种,

-------------------------------10 分 记从“一等品中随机抽取 2 件,2 件等级系数都是 8”为事件 A, 则 A 包含的基本事件有 (P 1, P 3 ),( P 2, P 3 ) 共 3 种, 1, P 2 ), ( P -------------------------11 分 故所求的概率
P ( A) ? 3 1 ? .--------------------------------------------15 5

----12 分 22 . ( 1 ) 证 明 : 依 题 意 知 图 ① 折 前
A ? D , A ?E C D C F ,------------------------------1分


PD ? PE , PF ? PD

,------------------------------------------

-------------2 分

112



PE

PF ? P

∴ 分

PD ?

平 面

PEF -----------------------------------4





EF ?





PEF
D

∴ 分
P

PD ? EF ---------------------------------------- 5

(2)解法 1:依题意知图①中 AE=CF= 在△BEF 中 EF ?
2BE ? 2 2

1 2

∴PE= PF= ,
F

1 2

,-----6 分
E

在 ?PEF 中, PE 2 ? PF 2 ? EF 2 ∴ S ?PEF
?

? PE ? PF

1 1 1 1 1 ? PE ? PF ? ? ? ? -------------------8 分 2 2 2 2 8 1 1 1 1 ∴ VP ? DEF ? VD ? PEF ? S?PEF ? PD ? ? ?1 ? .-----10 分 D 3 3 8 24 1 1 【(2)解法 2:依题意知图①中 AE=CF= ∴PE= PF= , 2 2

在△BEF 中 EF ?

2BE ?

2 2

,-----------------------6 P分
M

F

取 EF 的中点 M,连结 PM 则 PM ? EF , ∴ S?PEF ∴
1 1 1 1 VP ? DEF ? VD ? PEF ? S ?PEF ? PD ? ? ? 1 ? 3 3 8 24

E

∴ PM ? PE 2 ? EM 2 ? 2 4

-------------7 分 分

?

1 1 2 2 1 EF ? PM ? ? ? ? ---------------8 2 2 2 4 8

. -----------------------

-------10 分】
y 23.解(1)解法 1.依题意得点 P 的坐标为 (?m,0) .------1分

∵以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P , ∴ MP ? l . kMP ? kl ?
0 ? (?1) ?1 ? ?1 ,解得 m ? ?1 .----3 ?m ? 2

P 0

x



M

∴点 P 的坐标为 ?1,0? .

113















r



则 分 为

r 2 ?| PM |2 ? 1 ? 1 ? 2 ,------------------------------------ 5















? x ? 2?


2

? ( y ? 1) 2 ? 2 . --------------------------------------6

【 解 法 2 . 设 所 求 圆 的 方 程 为 ? x ? 2 ?2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 , --------------------------------1 分 依
(?m









P









, ---------------------------------------------0 ) . 2

分 ∵以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P ? ?m,0? , ∴
?(2 ? m) 2 ? 12 ? r 2 , ? ? 2 ?1? m ? r. ? 2 ?





? ? m ? ?1, ------------------------------------------- 5 ? r ? 2. ? ?

分 为




? y?
2













? x ? 2?

2

(?

1 ) 2 . -----------------------------------6 分】

(2)解法 1.将直线方程 y ? x ? m 中的 y 换成 ? y , 可
y? ? x.





线

l?









?m -------------------------------------------7

分 由
? 2 1 ? x ? y, m ? ? ? y ? ? x ? m.



mx 2 ? x ? m ? 0



114

(m ? 0) ----------------------------------- 9
Δ ? 1 ? 4m2

分 ,

-------------------------------------------------------------10 分 ∵直线 l ? 与抛物线 C : x 2 ? ∴
m?? 1 2
??0

1 y 相切 m







. -----------------------------------------------

-----12 分 当 m ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 y , -------------13 分 当 m ? ? 时,直线 l 的方程为
x2 ? ?2 y .----------14
1 2 y ? x? 1 2 1 2 1 2

,抛物线 C 的方程为



【解法 2.将直线方程 y ? x ? m 中的 y 换成 ? y ,可得直线 l ? 的方程 为 y ? ? x ? m .-----7 分 设直线
l?

与抛物线

C : x2 ?

1 y m

相 切 的 切 点 为 ? x0 , y0 ? ,

---------------------------8 分 由
y ? mx2



y? ? 2mx





2mx0 ? ?1

---



-----------------------------------10 分
2 .---------③ y0 ? ? x0 ? m ------② y0 ? mx0

① ② ③ 联 立 得

1 1 ? ?m 4m 2m

? m2 ?

1 1 ?m?? 4 2



----------------------------12 分 当 m ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 y ,
1 2 1 2

115

-------------13 分 当 m ? ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为
x2 ? ?2 y .----------14
1 2 1 2

分】

24.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2
f '( x) ? 3x2 ? 2 x ?1

=

( x ? 1)(3x ? 1)



------------------------------------------ 2 分 令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? 当 当
1 , x2 ? 1. 3 1 f '( x) ? 0 时,得 x ? 1 或 x ? ? ; 3 1 f '( x) ? 0 时,得 ? ? x ? 1 . 3

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
x
f '( x) f ( x)
1 (??, ? ) 3 ? 1 3 1 ( ? ,1) 3 ?

1 0 极小

(1, ??)

+ 单调递增

0 极大

+ 单调递增

单调递减

------------------------------------------------------------------------------4 分 ∴ 当
x?? 1 3









f ( x)



极 分







1 5 f ( x)极大 =f (? ) ? 2 , -----------------------5 3 27


f(
极小

x ?1







f ( x)











x) ?

?

--------------------------------6分 f( 1 ) 1
4 3

(2)∵ f '( x) ? 3x2 ? 2ax ?1 ,∴对 ?x ? R , f '( x) ?| x | ? 成立, 即 3x 2 ? 2ax ? 1 ?| x | ? 对 ?x ? R 成立, --------------------------------------7 分
4 3

116

①当 x ? 0 时,有 3x 2 ? (2a ? 1) x ? 即 2a ? 1 ? 3 x ?

1 ?0, 3

1 ,对 ?x ? (0, ??) 恒成立, 3x

----------------------------------9 分 ∵ 3x ? ∴
2a ? 1 ? 2 ? a ?

1 1 1 ? 2 3x ? ? 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立, 3 3x 3x

1 -----------------------------------------2

------------11 分 ②当 x ? 0 时,有 3x 2 ? (1 ? 2a) x ? 即 1 ? 2a ? 3 | x | ?
1 ?0, 3

1 ,对 ?x ? (??, 0) 恒成立, 3| x |

1 ∵ 3| x | ? 1 ? 2 3| x | ? 1 ? 2 ,当且仅当 x ? ? 时等号成立,

3| x |

3| x |

3


1 ? 2a ? 2 ? a ? ? 1 -----------------------------------------2

----------13 分 ③当 x ? 0 时, a ? R 综 上 得 实 数
a









围 分



1 1 [? , ] .------------------------------------------- 14 2 2

117



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