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河南省三门峡市陕州中学2015-2016学年高一上学期第二次精英对抗赛数学试题


2015-2016 学年上期高一第二次精英对抗赛
数学试卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每題给出的四个选中,只有一项是符 合题目要求) 1.集合 M ? {x | x ? A. M ? N

/>
k 1 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? , k ? Z } ,下列说法正确的是( 2 3 3
C. N ? M D. M ? N ? ? ) D. log a x ? log a y )



B. M ? N

2.设 x ? y ? 1, 0 ? a ? 1 ,则下列关系正确的是( A. x? a ? y ? a
2

B. ax ? ay

C. a x ? a y

3.函数 y= loga (2x -3x+1)当 x ? 3时y ? 0, 则函数的单调递减区间是( A. (-∞,

3 ) 4

B. (

3 ,+∞) 4


C. (-∞,

1 ) 2

D. (1,+∞)

4.下列函数中,值域为 (0, ? ?) 的是( A. y ? 2 x
1
2 B. y ? lg x ? 1

?

?

C. y ?

(

1 x ) ?1 2

D. y ? (

1 2? x ) 5

5.已知函数 f (2 ? x) ? 4 ? x 2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为( A. ?0, ?? ? B. ?0,16? C. ?0, 4?

) D. ?0, 2?

6. 若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( )

A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 . B.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 . C.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 . D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 . 7. 已知函数 f ( x ) ? log 2 x ? ( ) ,若实数 x 0 是方程 f ( x) ? 0 的解, 且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 )
x

1 3

的取值是( A.恒为负

) B.等于零 C.恒为正 D.不小于零

8. 我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是 分 贝 (dB) , 对 于 一 个 强 度 为 I 的 声 波 , 其 音 量 的 大 小 ? 可 由 如 下 公 式 计 算 :

? ? 10 ? lg

I (其中 I 0 是人耳能听到的声音的最低声波强度),设?1 ? 70dB 的声音强度为 I0

7

I1 ,?2 ? 60dB 的声音强度为 I 2 ,则 I1 是 I 2 的(
A.

7 倍 6

B. 10 倍

C. 106 倍

D. ln

7 倍 6

9. 函数 y ?

x3 的图像大致是( 3x ? 1



2 x 10. 已知函数 f ( x) ? x ? a , (a ? 0, a ? 1) , 当 x ? ( ?1,1) 时均有 f ( x ) ?

1 , 则实数 a 的取值 2

范围是(

) B. [ ,1) ? (1,4]

A. (0, ] ? [2, ??)

1 2

1 4

C. [ ,1) ? (1, 2]

1 2

D. (0, ] ? [4, ??)

1 4

11. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容 器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )

500? cm3 3 1372? cm3 C. 3
A.

866? cm3 3 2048? cm3 D. 3
B.

12. 定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ?

?lg | x ? 2 |,( x ? 2) , 若关于 x的方程f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰 ? 1 ,( x ? 2)


有 5 个不同的实数解 x1, x2 , x3, x4 , x5 , 则f ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 等于( A.1 B. 3lg 2 C. 2 lg 2 D. 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中的横线上)
' ' ' 13 . 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a, 那 么 正 三 角 形 ABC 的 直 观 图 三 角 形 A B C 的 面 积



.
2

a 14. 函数 f ? x ? ? x

? 2 a ?3

(常数 a ? Z )为偶函数且在 ? 0, ??? 是减函数,则 f ? 2? ?

.

15.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。 若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r = .

16. 若函数 y ? f ( x ) 对定义域中的每一个值 x1 ,都存在唯一的 x 2 ,使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ,则 称此函数为“滨湖函数”。下列命题正确的是________. ① y ? ln x是 “滨湖函数”; ② y ? e 是 “滨湖函数”;
x

?1 ? , x ? 0, ③ y ? ?x 2 ? ? x ? 2 x ? 1,

是“滨湖函数”;

x ? 0,

④ 若y ? f ( x),y ? g ( x)是"滨湖函数", 且定义域相等,则y ? f ( x) g ( x) 是“滨湖函数”. 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分) (1)计算: 2 (2)计算:
1 log 2 4 ? 2 3

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 100

log5 2 ? log7 9 ? log2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 1 3 log5 ? log7 4 3

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 , C ? x mx? 2 ? 0

?

?

?

?

?

?

(1)若 A ? (CR B) ? R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 C ? B ? C ,求实数 m 的取值集合.
19.(本小题满分 12 分) 已知幂函数 f ( x) ? x ?k
2

?k ?2

(k ? N ) ,满足 f (2) ? f (3)

(1)求 k 的值并求出相应的 f ( x) 的解析式;
(2) 对于(1)中的函数

f ( x) ,若 g ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ? m 在 [0,2] 上是单调函数,求实数

m 的取值范围.

20.(本题满分 12 分) 如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向做匀速运动,速度为 v ? v ? 0? , , 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c ? c ? R ? 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 | v ? c | ?S 成正比,比例系数是 其它面的淋雨量之和,其值为 积S ?

1 (2) 10

1 。记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量。当移动距离 d ? 100, 面 2

3 时, 2

(1)写出 y 的表达式; (2) 设 0 ? v ? 10,0 ? c ? 5, 试根据 c 的不同取值范围, 确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最少。

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x) . (1)求函数 f ( x ) 及 g ( x) 的解析式; (2)用函数单调性的定义证明:函数 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数; (3)若关于 x 的方程 f (2 ) ? m 有解,求实数 m 的取值范围.
x

22.(本小题满分 12 分)

若定义域为 D 的函数 f ( x) 同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 上是单调函数;②
存在区间 [a, b] ? D ,使得 f ( x) 在 [ a, b] 上的值域也为 [ a, b] .则称 f ( x) 为 D 上的“和谐”函 数. (1)判断函数 f ( x) ?| log1 x | ?2( x ? 0) 是否为“和谐”函数?并说明理由;
3

(2)求实数 m 的取值范围,使得函数 g ( x) ?

x ? 5 ? m 为“和谐”函数.

高一第二次精英对抗赛数学答案
18.解: (1) a 的取值范围是 (2,??) ...6 分

(2) m 的取值集合为 ?m | ?2 ? m ? ?1或m ? 0?
20.解: (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量

.........12 分

综上:① 0 ? c ?

10 3c 10 50 ? c ? 5 时, ymin ? 时, y min ? 20 ? ,②当 3 2 3 c

21.解: (1)∵ f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,∴ f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) .


f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x)



故 f (? x) ? g (? x) ? 2 log2 (1 ? x) ,即 ? f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x) ∴



f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2

1? x , x ? (?1,1) 1? x
..........4

分 (2)设任意的 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2 ,

1 ? x1 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log2 (1 ? x1 ) ? log2 (1 ? x2 ) ? log2 , 2 1 ? x2
2 2

2

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 0 所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,即
2 2

2

2

2

2

1 ? x1 1 ? x1 ? 1 ,所以 log2 ?0 2 2 1 ? x2 1 ? x2
...........8 分

2

2

所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,即函数 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数 (3)因为 f ( x) ? log 2

1? x 1? 2x x ,所以 f (2 ) ? log2 , 1? x 1? 2x
............9 分

设t ?

1? 2x 1? 2x 2 t ? ? ?1 ? ,则 x x 1? 2 1? 2 1? 2x

因为 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,所以 f (2x ) 的定义域为 ( ??, 0)
x 即 0 ? 2 ? 1 ,所以 0 ? t ? 1 , 则 log2 t ? 0

...........11 分

因为关于 x 的方程 f (2 ) ? m 有解,则 m ? 0 ,故 m 的取值范围为 (??,0) ...12 分
x


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