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高中数学中二次函数根的分布问题详解详析


二次函数根的分布问题
1、 二次函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在闭区间 [m, n] 上的值域和最值问题。
2

① 当对称轴 x ? ?

b ? m 时,函数 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 在闭区间 [m, n] 是单 2a
2

调递增函数,所以 ymax ? f (n) ? an ? bn ? c , ymin ? f (m) ? am ? bm ? c ;
2

b m?n ? ? 在 ? (m , ]时 , 函 数 y ? f ( x) ? a2x ? b x c( a 0 ) 区 间 2a 2 b b (m ,? ] 上 是 单 调 递 减 函 数 , 在 区 间 ( ? , n] 上 是 单 调 递 增 函 数 , 且 2a 2a b b ym ? fa (n) ?x an 2 ? bn ? c , 所 以 , | ? ? m |?| ? ? n | 2a 2a b b b ymin ? f (? ) ? a(? )2 ? b(? ) ? c ; 2a 2a 2a b m?n ③ 当 对 称 轴 x ? ? ?( , n] 时 , 函 数 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在 区 间 2a 2 b b (m ,? ]上 是 单 调 递 减 函 数 , 在 区 间 (? , n] 上 是 单 调 递 增 函 数 , 且 2a 2a b b ym ? a (m) x am2 ? bm ? c f ? , 所 以 , | ? ? m |?| ? ? n | 2a 2a b b b ymin ? f (? ) ? a(? )2 ? b(? ) ? c ; 2a 2a 2a b ④ 当对称轴 x ? ? ? n 时,函数 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 在闭区间 [m, n] 是单 2a
② 当对称轴 x ?? 调递减函数,所以 ymax ? f (m) ? am ? bm ? c , ymin ? f (n) ? an ? bn ? c 。
2 2

其中,值域就是在最大值与最小值之间。 综上所述:

ymax

b m?n ? 2 ? f (n) ? an ? bn ? c ( x ? 2a ? 2 ) ? ?? ? f (m) ? am 2 ? bm ? c ( x ? b ? m ? n ) ? 2a 2 ?

ymin

b ? f (m) ? am 2 ? bm ? c (x ? ? ? m) ? 2a ? b b b b ? ? ? f ( ? ) ? a ( ? ) 2 ? b( ? ) ? c ( m ? x ? ? ? n) 2a 2a 2a 2a ? b ? 2 (x ? ? ? n) ? f (n) ? an ? bn ? c 2a ?

2.二次函数 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在区间 (??, n] 上的值域和最值问题。
b 2 ) x a) ? (?? ,n ]时 , 函 数 y ? f( x ? a x? b? ( c ?0在 2a b b 在 (??, ? ] 单调递减, (? , n] 单调递增所以 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 2a 2a b b b 无最大值,最小值 ymin ? f (? ) ? a ( ? ) 2 ? b( ? ) ? c ; 2a 2a 2a b 2 ② 当对称轴 x ? ? 函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在 (??, n] 上是减 ? n 时, 2a
① 当 对 称 轴 x?? 函数,所以无最大值,最小值 ymin ? f (n) ? an ? bn ? c 。
2

2、 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在区间 [n, ??) 上的值域和最值问题。
① 当对称轴 x ? ?

b ? (??, n) 时,函数 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 在 [n, ??) 2a
2

) 单 调 递 增 , 所 以 y ? f( x ? a x ?
ymin ? f (n) ? an 2 ? bn ? c ;
② 当对称轴 x ? ? 递减,在 (? 最小值 ymin

b ? (c ?0无 最 大 值 , 最 小 值 为 x a)

b b ? n 时,函数 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在 [n, ? ] 单调 2a 2a

b , ??) 单调递增,所以 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 无最大值, 2a b b b ? f ( ? ) ? a ( ? ) 2 ? b( ? ) ? c ; 2a 2a 2a
2

3、 二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在闭区间 [m, n] 上的值域和最值问题。 ① 当对称轴 x ? ?

b 2 函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在闭区间 [m, n] 是 ? m 时, 2a
2 2

单调递减函数,所以 ymax ? f (m) ? am ? bm ? c , ymin ? f (n) ? an ? bn ? c ; ② 当对称轴 x ? ?

b m?n ? (m, ] 时 , 函 数 y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在 区 间 2a 2 b b (m, ? ] 上 是 单 调 递 增 函 数 , 在 区 间 (? , n] 上 是 单 调 递 减 函 数 , 且 2a 2a b b b b b | ? ? m |?| ? ? n | , 所 以 ymax ? f (? ) ? a(? )2 ? b(? ) ? c , 2a 2a 2a 2a 2a
ymin ? f (n) ? an 2 ? bn ? c ;

③ 当对称轴 x??

b m?n ? ?( ,n ]时 , 函 数 y ? f ( x) ? a2x ? b x c( 2a 2

a0) 区间 ? 在

b b ] 上 是 单 调 递 增 函 数 , 在 区 间 ( ? , n] 上 是 单 调 递 减 函 数 , 且 2a 2a b b b b b | ? ? m |?| ? ? n | , 所 以 , ymax ? f (? ) ? a(? )2 ? b(? ) ? c ; 2a 2a 2a 2a 2a (m, ?
ymin ? f (m) ? am2 ? bm ? c
④ 当对称轴 x ? ?

b 2 函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在闭区间 [m, n] 是单 ? n 时, 2a
2

调递增函数,所以 ymax ? f (n) ? an ? bn ? c , ymin ? f (m) ? am ? bm ? c 。
2

其中,值域就是在最大值与最小值之间。 综上所述:

ymin

b m?n ? 2 ? f (n) ? an ? bn ? c ( x ? 2a ? 2 ) ? ?? ? f (m) ? am 2 ? bm ? c ( x ? b ? m ? n ) ? 2a 2 ?

ymax

b ? 2 (x ? ? ? m) ? f (m) ? am ? bm ? c 2a ? b b b b ? ? ? f ( ? ) ? a ( ? ) 2 ? b( ? ) ? c ( m ? x ? ? ? n) 2a 2a 2a 2a ? b ? 2 (x ? ? ? n) ? f (n) ? an ? bn ? c 2a ?

4、 二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在区间 (??, n] 或 [n, ??) 上的值域和最值问题。
2



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