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《函数与导数》解题方法总结 教案


《函数与导数》解题方法总结
解题策略

教案

1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中的条件,避 免忽略实际意义对定义域的影响.? 2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,扬长避短.? 3.对于含参数的函数,研究其性质时,一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对含参数的二次函数问题,应 分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,指、对数函数的底数含有字母参数 a 时,需按 a>1 和 0<a<1 分两种情况讨论.? 4.解答函数性质有关的综合问题时,注意等价转化思想的运用. 5.在理解极值概念时要注意以下几点:①极值点是区间内部的点,不会是端点;②若 f ( x ) 在(a,b)内有极值, 那么 f ( x ) 在(a,b)绝不是单调函数;③极大值与极小值没有必然的大小关系;④一般的情况,当函数 f ( x ) 在[a,

b]上连续且有有限个极值点时,函数 f ( x) 在[a,b]内的极大值点和极小值点是交替出现的;⑤导数为 0 的点是该
点为极值点的必要条件,不是充分条件(对于可导函数而言).而充分条件是导数值在极值点两侧异号.? 6.求函数的最值可分为以下几步:①求出可疑点,即 f / ( x) =0 的解 x0;②用极值的方法确定极值;③将(a,

b)内的极值与 f (a ) , f (b) 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当 f ( x) 在(a,b)内只有一个可疑点
时,若在这一点处 f ( x ) 有极大(小)值,则可以确定 f ( x ) 在该点处了取到最大(小)值.?
' 7.利用求导方法讨论函数的单调性,要注意以下几方面:① f ( x) >0 是 f ( x ) 递增的充分条件而非必要条件

( f ( x) <0 亦是如此) ;②求单调区间时,首先要确定定义域;然后再根据 f ( x) >0(或 f ( x) <0)解出在定义域 内相应的 x 的范围;③在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.? 8.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现,解决这类问题要注意:(1)综合运用所学的数学思想方法 来分析解决问题;(2)及时地进行思维的转换,将问题等价转化; (3)不等式证明的方法多,应注意恰当运用,特别 要注意放缩法的灵活运用;(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题. 典型例题 考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法 例 1、函数 y ? A. (?4, ? 1)

'

'

'

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4
B. (?4, 1)

的定义域为

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

解:由 ?

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1.故选 C ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1
x

例 2、用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f ( x ) =min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f ( x ) 的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

【解析】 :利用数形结合,画出函数的大致图象,如图所示,

很容易的得到函数的最大值是当 x ? 4 时, f ? x ? 的最大值为 6

考点二. 函数的零点 例 1、函数 (x)= ? f A.0 B.1
2

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
C.2

的零点个数为 ( D.3

)

解:当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以选 C。 【方法总结】 :求函数 y ? f (x) 的零点:①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;②(几何法)对于不能用求根公 式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 例 2、设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。

?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ?a ? ? x 2 ? 5 x ? 3 ? 2 解:原方程等价于 ? 即? 构 造 函 数 y ? ? x ? 5x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 1? x ? 3 a?x?0 ? ? ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x ?
y ? a ,作出它们的图像,易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得:①当 1 ? a ? 3 或 a ? 13 时,原方

4

程有一解;②当 3 ? a ?

13 时,原方程有两解;③当 a ? 1 或 a ? 13 时,原方程无解。 4 4

【方法总结】 :图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观 估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断。 例 3、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求实数 a 的取值范围。 解:当 a=0 时,函数为 f ( x) =2x -3,其零点 x=

3 不在区间[-1,1]上。当 a≠0 时,函数 f ( x) 在区间[-1,1]分 2

为两种情况:①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时 ?

?? ? 4 ? 8a(?3 ? a) ? 0 ? f (?1) f (1) ? (a ? 5)(a ? 1) ? 0

?? ? 4 ? 8a(?3 ? a) ? 0 ?3? 7 ? 或? 解得 1≤a≤5 或 a= 1 2 ?? 1 ? ? 2a ? 1 ?
a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a<

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 或? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3? 7 2

综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数 a 的取值范围为(-∞,

?3 ? 7 ]∪[1, +∞) 2

【方法总结】 :函数零点(即方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决 该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集 R 上恒成立问题可利用判别式直接求解,即 f(x)>0 恒成立 ?

?a ? 0 ;f(x)<0 恒成 ? ?? ? 0

立? ?

?a ? 0 .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. ?? ? 0

考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性 例 1、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区 间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 解:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由 f (x) 为奇函数, 所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) , 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 又因为 f (x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示, 那么方程 f (x) =m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由对称 性知 x1 ? x2 ? ?12

x3 ? x4 ? 4

所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8

答案:-8

【方法总结】 :本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题

? x 2 ? 4 x, x ? 0 2 例 2、已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 2 ?4 x ? x , x ? 0
A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

2 2 解:由已知,函数在整个定义遇上单调递增的故 f (2 ? a ) ? f (a) ,等价于 a ? a ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 1

答案 C 【方法总结】 :在处理函数单调性时,可以充分利用基本函数的性质直接处理,显得更加简单、方便

考点四.函数的图象 例 1、右图是函数 y ? f ( x)的导函数y ? f ?( x) 的图象,给出下列命题: ①—3 是函数 y ? f (x) 的极值点;②—1 是函数 y ? f (x) 的最小值点; ③ y ? f (x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f (x) 在区间(—3,1)上单调递增。 则正确命题的序号是 A.①② B.①④ ( C.②③ D.③④ )

y?
例 2、函数

1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 (
6 4 2 -4 -2 y

) y y

6 4 2 -2 o 2 4 -2 -4 y x

6 4 2 x -4

6 4 2 x

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

例 3、方程 A、0

2 x3 ? 6 x 2 ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为
B、1 C、2 D、3

(

)

函数的图象答案: 1、C 2、A 3、B 考点五. 利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围

2 例 1、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值
(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?C 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b
2


由 f?(

2 12 4 1 - a+b=0 - 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表:

x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

1

(1,+?)

f? x) + ( f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2

考点六 抽象函数 例 1、 定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足 f (3) =log 2 3 且对任意 x, y∈R 都有 f ( x ? y ) = f ( x ) + f ( y ) . (1)求证 f ( x ) 为奇函数;(2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 解:(1): f ( x ? y ) = f ( x ) + f ( y ) (x,y∈R),①令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.令 y=-x, 代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数.
x x x

(2):f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函
数.f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2), k·3 <-3 +9 +2,3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.
2 x x x x x x x x 2x

-(1+k)·3 +2>0 对任意 x∈R 成立.令 t=3

x

x

R 恒成立. 【方法总结】 :利用抽象条件,通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函 数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等,再运用相关性质去解决有关问题,是求解抽象函数问题的常规思 路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。

考点七:利用导数研究导数的单调性 例 1、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) (1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2
2 ? 1, x ? (0,?? ), 所 以 x

解 ( 1 ) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

f ?? x? ?

x2 ? x ? 2 因 此 f ? ? 2? ? 1 , 即 曲 线 x2

又 y ? f ( x)在点( 2 f ( 2)) , 处的切线斜率为 , . f (2) ? ln 2 ? 2, 所以曲线 1

y ? f ( x)在点(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2, 即 x ? y ? ln 2 ? 0.
(2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

ax2 ? x ? 1 ? a 1? a 1 a ?1 ? 1,所以 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x x2

x ? (0,??) ,

令 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), 当 a ? 0 时, g ( x) ? ?x ?1, x ? ? 0, ??? , 所以 当 x ? ? 0,1? 时, g ? x ? >0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增.
2 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 ,即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1. a

1 时, x1 ? x2 , g ? x ? ? 0 恒成立,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 ? 1 ? 1 ? 0 , x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减 ② 当 0 ? a ? 时, a 2
① 当a ?

? 1 ? ?1 ? x ? ?1, ? 1? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增 x ? ? ? 1, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 , ? a ? ?a ?
函数 f ? x ? 单调递减 ③ 当 a ? 0 时,由于

1 ? 1 ? 0 , x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减: a

x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增.
综上所述:当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增 当a?

1 1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减当 0 ? a ? 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 2 2

? 1 ? ?1 ? ? 1, ? 1? 上单调递增; 函数 f ? x ? 在 ? ? 1, ?? ? 上单调递减. ? a ? ?a ?
【方法总结】 :利用导数研究函数单调性的一般步骤。 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f ?( x ) ; (3)①若求单调 区间(或证明单调性) ,只需在函数 f ( x ) 的定义域内解(或证明)不等式 f ?( x ) >0 或 f ?( x ) <0。②若已知 f ( x ) 的 单调性,则转化为不等式 f ?( x ) ≥0 或 f ?( x ) ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。

考点八:导数与不等式的综合 例 1、设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.求实数 a 的取值范围;
3 2 2 ? ? ? 解: (1) y ? f ( x) ? 3x ? a, 若 f (x) 在 ?1,??? 上是单调递减函数,则须 y ? 0,即a ? 3x , 这样的实数 a 不存在.
2 故 f (x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数.若 f (x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3x ,

1 由于 x ? ? ,???, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3.
2

3 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a) 2 例 2、已知 a 为实数,函数 若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 ? f ( x) ? x 3 ? ax 2 ?
解:

3 3 3 x ? a ? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 , 2

? 函数 f ( x) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解
?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 3 9 3 3 ? 0 a2 ? ( ? ?, ? 2] ? [ 2, ?) ? 2 2 ,所以 a 的取值范围是 2 2 ,

考点九:导数与向量的结合

? 3 1 ? 1 3 a ? ( , ), b ? ( , ). ? 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使 例 1、设平面向量

x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ?sa ? tb,且x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1 ? ? ? 上是单调函数,求 k 的取值范围。
a?(
解: (1)

? ? 3 1 1 3 ? ? ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1,? b ? 0 a 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? 又 x ? y, x ? y ? 0,得 ? ? ? ? ? a ? t 2 ? k)(? sa ? tb) 0, ( b? ? ? ? ?2 ?2 ? ? 即 ? sa ?(t 2 ? k) -(t ? st 2 ? sk) ? b ? 0。 t b a ?? s ? t 2 ? k)t ? 0,故s ? (t) t 3 ? kt。 ( f ?
( 2 )

? ( ? f (t) 3t 2 ? k且f(t)在?1 ? ??上是单调函数, 在 ?1,??? 上 有 f ?(t ) ? 0或f ? t) 0 由 ? , 则

f ?(t ) ? 0 ? 3t 2 ? k ? 0 ? k ? 3t 2 ? k ? (3t 2 ) min ? k ? 3 ;
2 2 ? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。因为在 t∈ ?1,??? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,??? 上恒

2

2

成立。故 k 的取值范围是 k ? 3 。

专题练习: 1、已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ?12a ? 4?a ? R? (Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x) 在x ? 0

的切线过点(2,2); (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得最小值,x0 ? 求 (1,3), a 的取值范围。
【解析】(Ⅰ) f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4 , f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 6a ,故 x=0 处切线斜率 k ? 3 ? 6a , 又 f (0) ? 12a ? 4,?切线方程为y ?12a ? 4 ? (3 ? 6a) x 即 (3 ? 6a) x ? y ? 12a ? 4 ? 0 , 当 x ? 2 , ? 时 , y 2

(3 ? 6a) ? 2 ? 2 ? 12a ? 4 ? 6 ? 12a ? 2 ? 12a ? 4 ? 0 故曲线 y ? f ( x)在x ? 0处的切线过点(2, 2)
(Ⅱ)? x0处取极小值 ,令 g ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 6a,由题意知g ( x)在(1,3)有解

?? ? (6a) 2 ? 4 ? 3(3 ? 6a) ? 0 ? 且x ? x0时g(x) ? 0; x ? x0时g(x) ? 0 ,故 ? g (1) ? 0 ? g (3) ? 0 ? ?? ? (6a) 2 ? 4 ? 3(3 ? 6a) ? 0 ? 或 ? g (1) ? 0 ? a ? 2 ?1 ? g (3) ? 0 ?
2、 设函数 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax(a ? 0)(Ⅰ) f ( x ) 单调区间 求 (Ⅱ) 求所有实数 a , e ? 1? f ( ) ?e 使 x 恒成立,注: e 为自然对数的底数 【解析】 : (Ⅰ) 因为 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax(a ? 0) 所以 f ?( x) ? 的增区间为 (0, a ) ,减区间为 (a, ??) 。
2 (Ⅱ)由题意得 f (1) ? a ? 1 ? e ? 1即 a ? e 。由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [1, e] 单调递增,要使 e ? 1 ? f ( x) ? e 2

对 x ? [1, e]

a2 ( x ? a)(2 x ? a) ? 2x ? a ? 由于 a ? 0 所以 f ( x ) x x

对 x ? [1, e] 恒成立,只要 ?

f (1) ? a ? 1 ? e ? 1 解得 a ? e 2 2 2 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e ?
1 x

4、设 f ( x) ? ln x.g ( x) ? f ( x) ? f ? ( x) 。 (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系;

1 对任意 x >0 成立。 a 1 x ?1 解(Ⅰ)由题设知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ? ,∴ g ?( x) ? 2 , 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, x x
(Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) < 当 x ∈(0,1)时, g ?( x ) <0,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间。 当 x ∈(1,+∞)时, g ?( x ) >0,故(1,+∞)是 g ( x) 的单调递增区间,因此, x =1 是 g ( x) 的唯一值点,且为极 小值点,从而是最小值点,所以最小值为 g (1) ? 1.

1 1 1 ( x ? 1)2 ?( x) ? ? (II) g ( ) ? ? Inx ? x 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 1Inx ? x ? ,则 h , x x x x2

当 x ? 1 时, h(1) ? 0 即 g ( x ) ? g ( ) ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h?(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 即 g ( x) ? g ( ). (III)由(I)知 g ( x) 的最小值为 1,所以, g ( a ) ? g ( x ) ? 而得 0 ? a ? e 。

1 x

1 x

1 1 ,对任意 x ? 0 ,成立 ? g ( a ) ? 1 ? , 即 ln a ? 1, 从 a a

a ln x b ? ,曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 , x ?1 x ln x (1)求 a, b 的值 (2)证明:当 x ? 0, x ? 1时, f ( x ) ? 1? x x ?1 ? f (1) ? 1 ?b ? 1 a( ? ln x) b ? ? x ? 2 ,由题意知: ? 解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 1 即 ?a 1 ?a ? b ? 1 2 ( x ? 1) x f ?(1) ? ? ?b ? ? ? 2 ?2 2 ? ?
8、已知函数 f ( x ) ?

ln x 1 ln x 1 x2 ?1 ? ,所以, f ( x) ? ? (2 ln x ? ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ?1 x x ?1 1 ? x 2 x
设 h( x) ? 2 ln x ?

x2 ?1 ? ( x ? 1) 2 , ( x ? 0) 则, h?( x) ? 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0 x x2
1 h( x ) ? 0 1- x2

故,当 x ? (0,1)时h( x) ? 0,当x ? (1,??),时h( x) ? 0 得: 从而,当 x ? 0 时, f ( x) ?

ln x ln x ? 0, 即 f ( x ) ? x ?1 x ?1

点评:这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用(证明不等式) ;考查分析问题解答问题的能力;其中构造函 数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。


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重难点 教学 方法 重点:函数与导数、数学思想方法。...x| 设置目的:考察学 生的快速解题能 (2)函数f ...课堂小结 本节课是高三复习课,课题为函数与导数,是...


高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生_图文

会求函数在某点的导数 教学重点、 掌握导数的概念...《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念几何...极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时...


函数最值与导数教案

函数最值与导数教案_数学_高中教育_教育专区。函数的最值和导数 y a x1 o ...(2,3) 3 学生应用总结 出来的方法解 决实际问题,血 神黑板板书演 示解题...


几种常见函数的导数教案

教学时,可采用从特殊到一般的 教学方法.实际上,...说明牢记和应用导数公式解题 的重要性. 目的:通过这...课堂小结 四种常见函数导数公式. (1)(C)′=0(...


常见函数导数教案

常见函数导数教案_数学_高中教育_教育专区。课题 授课时间 课标要求 重、难点 学习...f ( x) ? x2 的导数 小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的...


导数在函数中的应用总结(一轮复习教案)

导数函数中的应用总结(一轮复习教案)_数学_高中教育_教育专区。教案标题 学科...并会 熟练地进行一切方程的求解,能根据条件灵活选用适当的方 法切线的方程...


高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生_图文

会求函数在某点的导数 教学重点、 掌握导数的概念...《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念几何...极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时...


函数总结与导数联系教案

《函数与导数》解题方法总... 暂无评价 9页 2财富值 函数与导数知识点总结 ...函数与导数教案3 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...

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