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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学一轮复习 第十一章 第3讲 二项式定理配套训练 理 新人教A版


第3讲

二项式定理

分层训练 A 级 基础达标演练 (时间:30 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011·陕西卷改编)(4 -2 ) (x∈R)展开式中的常数项是________. 解析 Tr+1=C6(2 )
4 4 6

x

-x 6

r />
r

2x 6-r

(-2 ) =(-1) C6·(2 )

-x r

r r

x 12-3r

,r=4 时,12-3r=0,故第 5 项是常

数项,T5=(-1) C =15. 答案 15 2?n ? 2.若二项式? x- ? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能为________.

?

x?

解析 Tr+1=Cn( x) 答案 12

r

n-r

?-2?r=(-2)rCrxn-3r,当 r=4 时,n-3r=0,又 n∈N*,∴n=12. ? x? n 2 2 ? ?

3.(2011·天津改编)在? 解析 在?

? x 2 ?6 - ? 的二项展开式中,x2 的系数为________. x? ?2

? x 2 ?6 - ? 的展开式中,第 r+1 项为 x? ?2

Tr+1=Cr 6?

? x?6-r?- 2 ?r r?1?6-r 3-r r ? ? ? =C6?2? x (-2) , ? ? 2 x ? ? ? ?

3 2 1?1?5 当 r=1 时为含 x 的项,其系数是 C6? ? (-2)=- . 8 ?2? 3 答案 - 8 4.已知?x- ? 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x

? ?

a?8

?

________. 解析 由题意知 C8·(-a) =1 120,解得 a=±2,令 x=1,得展开式各项系数和为(1 -a) =1 或 3 . 答案 1 或 3 5.设?5x-
8 8 8 4 4

? ?

1 ?n

x?

? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展

开式中 x 的系数为________. 解析 由已知条件 4 -2 =240,解得 n=4,
4-r Tr+1=Cr 4(5x) ?-

n

n

? ?

3r 1 ?r r 4-r r 4- ? =(-1) 5 C4x 2 ,

x?

1

3r 令 4- =1,得 r=2,T3=150x. 2 答案 150 6 .已知 (1 - x) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x ,则 (a0 + a2 + a4)(a1 + a3 + a5) 的值等于 ________. 解析 已知(1-x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x , 令 x=1,则 0=a0+a1+a2+a3+a4+a5, 令 x=-1,则 2 =a0-a1+a2-a3+a4-a5. ∴a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16. 则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256. 答案 -256 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分)
5 5 2 3 4 5 5 2 3 4 5

?1 ?n 7.已知? +2x? , ?2 ?
(1)若展开式中第 5 项, 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系 数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 解 (1)∵Cn+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0.∴n=7 或 n=14,当 n=7 时,展开式中二项 式系数最大的项是 T4 和 T5. 35 3?1?4 3 4?1? 3 4 ∴T4 的系数为 C7? ? 2 = ,T5 的系数为 C7? ? 2 =70,当 n=14 时,展开式中二项式系 2 ?2? ?2?
7 ?1? 7 7 数最大的项是 T8.∴T8 的系数为 C14? ? 2 =3 432. ?2? 4 6 5 2

(2)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大,

0

1

2

2

?1 ?12 ?1?12 12 ∵? +2x? =? ? (1+4x) , ?2 ? ?2?
? ?C124 ≥C12 4 , ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ?
k k k-1 k-1

∴9.4≤k≤10.4,

∴k=10.∴展开式中系数最大的项为 T11,
2 10 10 10 T11=C10 12·? ? ·2 ·x =16 896x . 2

?1? ? ?

8.在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律; (2)在数表中试求第 n 行(含第 n 行)之前所有数之和; (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是 3∶4∶5,并证
2

明你的结论. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
r

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 1 1 5 1 1

6 15 20 15 6
r r-1

解 (1)Cn+1=Cn+Cn . (2)1+2+2 +…+2 =2
r-1 r r+1
2

n

n+1

-1.

(3)设 Cn ∶Cn∶Cn =3∶4∶5, Cn 3 r 3 由 r = ,得 = , Cn 4 n-r+1 4 即 3n-7r+3=0, 由 Cn 4 r+1 4 = , r+1= ,得 Cn 5 n-r 5 ②
r r-1



即 4n-9r-5=0 解①②联立方程组得,n=62,r=27, 即 C62∶C62∶C62=3∶4∶5.
26 27 28

分层训练 B 级 创新能力提升 1.(2010·四川卷)?

?2- 1 ? ?6 的展开式中的第四项是________. ? 3 x? ? ?

?2- 1 ? ?- 1 ? 160 6 3 3 3 ? ? 解析 的展开式中第 4 项为 T3+1=C62 ·? 3 ? =- . ? 3 x? ? ? x x? ? ? ?
160 答案 -

x

2.(2011·安徽卷)设(x-1) =a0+a1x+a2x +…+a21x ,则 a10+a11=________. 解析 Tr+1=C21x
r
21-r

21

2

21

(-1) =(-1) C21x
10 11

r

r r

21-r


11 10 10

由题意知 a10,a11 分别是含 x 和 x 项的系数,所以 a10=-C21,a11=C21,∴a10+a11=C21- C21=0. 答案 0
11

3

3.(2011·浙江卷)设二项式?x- 4A,则 a 的值是________. 解析 对于 Tr+1=C6x
r 6-r

? ?

a ?6 3 ? (a>0)的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B.若 B= x?

?-a? 3 r ? 1 ?r=Cr 6(-a) x6- r, ?x ? 2 ? 2?

4 2 2 B=C4 6(-a) ,A=C6(-a) .∵B=4A,a>0,∴a=2.

答案 2 1?5 ? a?? 4.(2011·新课标全国卷改编)?x+ ??2x- ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中 x x

?

??

?

常数项为________. 解析 1?5 1? ? 0 5 1 4? 2 令 x=1,由已知条件 1+a=2,则 a=1.?2x- ? =C5(2x) +C5(2x) ?- ?+C5

?

x?

? x?

1?2 3 ? 1?3 4 ? 1?4 ? 1?5 3? 2 (2x) ?- ? +C5(2x) ·?- ? +C5(2x)?- ? +?- ?

? x?

? x?
x

? x?

? x?

1 1 1 5 3 =32x -80x +80x-40 +10 3- 5,则常数项为 40.

x

x

答案 40 5.(2012·天一中学,淮阴中学,海门中学调研)把所有正整数按上小下大,左小右大的原 则排成如图所示的数表,其中第 i 行共有 2
i-1

个正整数,设 aij(i,j∈N )表示位于这个

*

数表中从上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i,j 表示 aij; (3)记 An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N ),求证:当 n≥4 时,An>n +Cn. 1 2 4 8 3 7 15
* 2 3

5 6

9 10 11 12 13 14 … … … … …

(1)解 a69=2 +(9-1)=40. (2)解 ∵数表中前(i-1)行共有 1+2+2 +…+2 个数是 2 ∴aij=2
i-1
2

5

i-2

=(2

i-1

-1)个数,则第 i 行的第一



i-1

+j-1.
i-1

(3)证明 ∵aij=2
2

+j-1,则 ann=2
n-1

n-1

+n-1(n∈N ),

*

∴An=(1+2+2 +…+2

)+[0+1+2+…+(n-1)]

4

=2 -1+

n

n n-
2


n

当 n≥4 时,An=(1+1) -1+

n n-
2

>Cn+Cn+Cn+Cn-1+
r

0

1

2

3

n n-
2

=n +Cn.

2

3

6.(2012·苏锡常镇调研)从函数角度看,组合数 Cn可看成是以 r 为自变量的函数 f(r),其 定义域是{r|r∈N,r≤n}. (1)证明:f(r)=

n-r+1 f(r-1); r
n

(2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时,(a+b) 的展开式中最中间一项的二项式系数 最大. 证明 (1)∵f(r)=Cn= 又∵f(r-1)=Cn = ∴ =
r-1 r

n! , r! n-r ! n! ! n-r+
, ! !

r-

n-r+1 n-r+1 f(r-1)= r r r- n! . r! n-r ! n-r+1 f(r-1)成立. r

n! ! n-r+

则 f(r)=

(2)设 n=2k, ∵f(r)= ∴

n-r+1 f(r-1),f(r-1)>0, r
2k-r+1 = .

f r f r-

r

2k-r+1 令 f(r)≥f(r-1),∴ ≥1.

r

1 则 r≤k+ (等号不成立). 2 ∴r=1,2,…,k 时,f(r)>f(r-1)成立. 反之,当 r=k+1,k+2,…,2k 时,f(r)<f(r-1)成立. ∴f(k)=C2k最大. 即(a+b) 的展开式中最中间一项的二项式系数最大. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总 复习》光盘中内容.
n k

5


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