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平面向量题目


高中“互教互学,高校课堂”数学素质检测题

设计﹕隆光诚

审定﹕

新课标高中数学人教 A 版必修 4 章节素质测试题——第二章 平面向量
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)姓名__________评价_________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四

个备选答案中,只有一个正确) 1.(09 湖北文 1) 若向量 a ? (1,1),b ? (?1,1), c ? (4,2) ,则 c ? ( A. 3a ? b B. 3a ? b C. ? a ? 3b

?

?

) D. a ? 3b )

2.(11 湖北文 2)若向量 a ? (1,2), b ? (1,?1) ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于( A. ?

?

?

? 4

B.

?
6

C.

?
4

D.

3? 4

3.(10 新课标文 2) a 、 b 为平面向量,已知 a ? (4, 3),2a ? b ? (3,18) ,则 a 、 b 夹角的余弦值等
于( A. )

8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65


a ?b ? ? 4.(11 全国Ⅰ文 3)若向量 a 与 b 满足 | a |?| b |? 1,
A. 2 B. 3

1 ,则 | a ? 2b |? ( 2

C. 5

D. 7 )

5. (10 湖南文 6)若非零向量 a 、 b 满足 | a |?| b | , (2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150°

6. (10 湖北理 5) 已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AB ? AC ? m AM 成立,则 m =( A.2 ) B.3 C.4 D.5 )

7.(09 宁夏文 7)已知 a ? (?3, 2),b ? (?1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

8.(09 陕西文 8)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则科

AP ? (PB ? PC) 等于(
A.

) B.

4 9

4 3

C. ?

4 3
2

D.

?

4 9

9. (10 四川理 5) 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外,BC ? 16, AB ? AC ? AB ? AC , 则 AM ? ( A. 8 ) B. 4 C. 2 D.1

10. (10 全国Ⅱ理 8) △ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB ? a, CA ? b, | a |? 1, | b |? 2, 则

1

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CD ? (
A.

) B.

1 2 a? b 3 3

2 1 a? b 3 3

C.

3 4 a? b 5 5

D.

4 3 a? b 5 5

11.(10 山东理 12)定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令

a e b ? mq ? np .下面说法错误的是(
A.若 a与b 共线,则 a e b ? 0 C.对任意的 ? ? R, 有(?a) e b=?(a e b)

) B. a e b ? b e a
2 2 D. (a e b) ? (a ? b) ? a b 2 2

12.(11 全国Ⅰ理 12)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a ? b ? ? 大值等于( A.2 ) B. 3 C. 2

1 , a ? c, b ? c = 60 0 ,则 c 的最 2
D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在对应题号后的横线上)

b 满足 | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? , 13. (10 江西文 13) 已知向量 a , 则 b 在 a 上的投影是

.

14. (09 安徽文 14) 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若 AC ? ? AE ? ? AF , 其中 ? , ? ? R ,则 ? ? ? ? _________.
? 15.(12 新课标理 13)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ .

16.(09 天津文 15)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

1 2 CB ? CA ,则 6 3

MA ? MB ? ________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)如图, 已知│ AB │= 3,│ AC │= 6, AB 与 AC 的夹角为 60?. (Ⅰ)求│ AB ? AC │; (Ⅱ)求 AB ? AC 与 AC 的夹角. C

A

B

2

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18. (本题满分 12 分)已知 a 、 b 是非零向量,且满足 | a |? 2, (a ? b)(a ? b) ? 1 ,若 a ? b ? ? 3 , 求 a 与 b 的夹角.

19.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (1,1), 当 k 为何值时, b ? (2,?3), (Ⅰ) k a ? 2b 与 a ? b 垂直? (Ⅱ) k a ? 2b 与 a ? b 平行? 平行时它们是同向还是反向?

20. (本题满分 12 分)已知三点 A(? sin ?, 0)、B(2 cos?, 3)、C (? cos?, 0),? ? ?

?? ? ,? ? , 且 ?2 ?

AB ? AC .
(Ⅰ)求 tan ? 的值;
2 2 (Ⅱ) 求 sin ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos ? 的值.

3

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21.(本题满分 12 分,07 广东 16)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (Ⅰ)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (Ⅱ)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

22.(本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个角 ? 、 ? ,它们的 终边分别与单位圆相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求 OA 、 OB 的坐标及 OA 、 OB 夹角的余弦; (Ⅱ)推导公式 cos(? ? ? ) 和 cos(? ? ? ) 的公式. O y A

?

?

B x

4

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新课标高中数学人教 A 版必修 4 章节素质检测题——第二章 平面向量(参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 11 B 12 A

二、填空题 13. 1 . 14.

4 . 15. 3 2 . 16. ? 2 . 3

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)? | AB ? AC |2 ? ( AB) 2 ? 2 AB ? AC ? ( AC) 2

C

?| AB | 2 ?2 | AB | ? | AC | ? cos60?? | AC | 2 1 ? 9 ? 2 ? 3 ? 6 ? ? 36 2 ? 27,

? | AB ? AC |? 3 3.
A (Ⅱ) AB ? AC ? CB ,由(Ⅰ)知 | CB |? 3 3. B

? | AB |2 ? | CB |2 ? 36 ?| AC |2 , ??ABC ? 90?,?ACB ? 30?.
所以 CB 与 AC 的夹角为 150 ?. 故 AB ? AC 与 AC 的夹角为 150 ?. 18. 解:? | a |? 2,(a ? b)(a - b) ? 1,?(a) 2 ? (b) 2 ? 1. 即 | a | ? | b | ? 1,? 4? | b | ? 1.
2 2 2

从而 | b |?

3.

又? a ? b ? ? 3,

? cos ? ?
从而 ? ?

a ?b | a |?|b |

?

? 3

1 ?? . 2 2 3

2? . 3

5

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故 a 与 b 的夹角为

2? . 3

19. 解: (Ⅰ)? a ? (1,1),b ? (2,?3),

? k a ? 2b ? (k, k ) ? (4,?6) ? (k ? 4, k ? 6), a ? b ? (3,?2).
若 (k a ? 2b) ? (a ? b) ,则 (k a ? 2b) ? (a ? b) ? 0.

? 3(k ? 4) ? 2(k ? 6) ? 0. 解之得 k ? 24 .
所以当 k ? 24 时, (k a ? 2b)与(a ? b) 垂直. (Ⅱ)若 (k a ? 2b)与(a ? b) 平行,则 这时 k a ? 2b ? (?6,4), a ? b ? (3,?2). 所以当 k ? ?2 时, (k a ? 2b)与(a ? b) 平行,它们是反向. 20. 解: (Ⅰ)? AB ? (2 cos? ? sin ? ,3), AC ? (? cos? ? sin ? ,0), AB ? AC,

k ?4 k ?6 ? , 解之得 k ? ?2. 3 ?2

? AB ? AC ? (sin? ? 2 cos? )(sin? ? cos? ) ? 0.
?? ? ? ? ? ? ,? ?,? sin ? ? ?2 cos? . ?2 ?
故 tan ? ?
2

sin ? ? ?2 . cos ?
2

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? (Ⅱ) sin ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ?

?

(sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? ) ? cos2 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? cos2 ?

tan2 ? ? 2 tan? ? 3 ? tan2 ? ? 1 4?4?3 ? 4 ?1 11 ? . 5
21. 解: (Ⅰ) c ? 5时, AB ? (? 3, ? 4), AC ? (2,?4) ,

cos A ?

AB ? AC | AB | ? | AC |

?

10 5? 2 5

?

5 , 5

6

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? sin A ? 1 ? cos2 A ?
解法二:

2 5 . 5

若 c ? 5 ,则 | AB |? 5, | BC |? 5, | AC |? 2 5 . 设D是AC边的中点,则 BD ? AC , | AD |?

5 , | BD |? | AB | 2 ? | AD | 2 ? 2 5 .

? sin A ?

| BD | 2 5 . ? | AB | 5

(Ⅱ) AB ? (? 3, ? 4), AC ? (c ? 3,?4) ,若 A 为钝角,

则 cos A ?

AB ? AC | AB | ? | AC |

? 0.

? AB ? AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 0.
解之得 c ?

25 . 3

所以 c 的取值范围是 (

25 ,?? ). 3

22. 解: (Ⅰ)根据三角函数的定义,点 A、B 的坐标分别为 (cos? , sin ? )和(cos? , sin ? ) ,

?OA ? (cos? , sin ? ),OB ? (cos? , sin ? ).
设 OA 、 OB 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

y A

OA ? OB | OA | ? | OB |
O

?

?

B x

cos? cos ? ? sin ? sin ? 1? 1 ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ? ? ? ? ? ,

? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .
即 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . 用 ? ? 代替上式中的 ? ,得 cos(? ? ? ) ? cos? cos(?? ) ? sin ? sin(?? )

? cos? cos ? ? sin ? sin ? .
故 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .

7


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