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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明


随堂讲义
专题四 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明

预测2016年高考中一定有线性规划小题,利用不等 式性质与基本不等式的小题一般也会考到,且基本不等 式也可能在大题中求最值问题中用到.但由于现在常用 导数方法研究函数最值问题,故直接利用基本不等式求 最值机会变小,但仍然有考到的可能,特别是在小题中 可能性很大.

r /> 例 1 (1)设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中 正确的是( ) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.b+a>0 D.a2-b2<0 2 (2)已知 a>b>0,且 ab=1,设 c= ,p=logca,m a+b =logc(ab),n=logcb,则 m,n,p 的大小关系是________.

思路点拨: (1)可以根据 a-|b|>0 去掉绝对值号得到 a 与 b 的大小关系,从而作出判断,亦可以在 a,b∈R 的前 提下取满足 a-|b|>0 的特殊实数 a,b 验证. (2)可以由已知先得到 a,b,ab 三者的大小关系,再 判定 c 与 1 的大小关系,最后利用对数函数的单调性比较 大小.亦可以用特殊值法比较.

解析:(1)解法一 由 a-|b|>0,得 a> |b|, ∴-a<b<a,∴a+b>0 且 a-b>0, ∴b-a<0,A 错. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ?? ? b? ?? ?2 3 2? =(a+b)??a-2? + b ?>0,∴B 错. 4 ? ? ?? 而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴D 错.故选 C. 解法二(特殊值法) ∵a,b∈R 且 a-|b|>0, ∴取 a=2,b=-1. 则 b-a=-1-2=-3<0,∴A 错. a3+b3=8-1=7>0,∴B 错. a2-b2=22-(-1)2=3>0,∴D 错.故选 C.

(2)解法一 ∵a>b>0 且 ab=1, ∴a>1,0<b<1.∴a>ab>b>0, 2 2 2 又 0<c= = < =1, 1 a+b 1 a+ 2 a· a a ∴y=logcx 在(0,+∞)为减函数,∴p<m<n. 解法二(特殊值法) ∵a>b>0 且 ab=1, 1 2 4 ∴取 a=2,b= .∴c= = <1, 2 a+b 5 1 4 4 4 p=log 2<0,m=log 1=0,n=log >0,∴p<m<n. 5 5 52 答案:(1)C (2)p<m<n

(1)判断不等式的正误,常利用不等式的性质、 基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等. (2)比较大小常利用: ①函数的单调性法; ②图 象法;③不等式的性质或基本不等式法;④作差法; ⑤特殊值法.

c c 1.设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ;②ac a b <bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是(D) A.① B.①② C.②③ D.①②③ c c 解析:由 a>b>1,c<0 得 > ,故①正确;由幂函数 a b 的单调性知: ac<bc, 故②正确; 由对数函数的单调性知: logb(a -c)>loga(b-c),故③正确.故选 D.

例 2 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产 品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已 知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元.

解析:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则 z=200x+300y,甲、乙 两种设备生产 A,B 两类产品的情况如下表所示: 产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品/ B 类产品/ 租赁费/元 件 件 5 6 10 20 200 300

? ?x+6y≥10, ?5x+6y≥50, ? ? 5 则满足的关系为?10x+20y≥140,即?x+ 2y≥14, ? ?x≥0,y≥0, ? ? ?x≥0,y≥0. 作出不等式表示的平面区域, 当 z=200x+300y 对应的直 6 线过两直线 x+ y=10,x+2y=14 的交点(4,5)时,目标函数 5 z=200x+300y 取得最小值,为 2 300 元. 答案:2 300
误区警示:本题易由于画图不准,而将顶点确定错.

(1)线性规划问题一般有三种题型: 一是求最值;二是求 区域面积; 三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范 围. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域, 再注意目标函 数所表示的几何意义, 数形结合找到目标函数达到最值时可 行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整 点问题要验证解决.

2.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产 品 1 桶需耗 A 原料 1 千克, B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利 润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产 这两种产品的计划中, 要求每天消耗 A, B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙 两种产品中,公司共可获得的最大利润是(C) A.1 800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 D.3 100 元

解析:设公司每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,公 司共可获得利润为 z 元,则由已知,得 z=300x+400y, ? ?x+2y≤12, ?2x+y≤12, 且? ?x≥0, ? ?y≥0, 画可行域(如图所示),

3 z 目标函数 z=300x+400y 可变形为 y=- x+ ,这是 4 400 随 z 变化的一组平行直线.
? ?2x+y=12, ? ?x= 4, 解方程组? 得? 即 ? ? ?x+ 2y=12, ?y=4,

A(4,4).

∴zmax=300×4+400×4=2 800.

例 3 某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部 是边长分别为 x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为 x 的等 腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 平方米. (1)求 y 与 x 的解析式,并求 x 的取值范围; (2)x,y 分别为多少时用料最省? 思路点拨: 先根据题意找出数量关系, 再由基本不等式求 最值.

1 x 解析:(1)由题意,得 x· y+ x· =8, 2 2 8 x ∴y= - .由 x>0,y>0,得 0<x<4 2. x 4 (2)设框架用料长度为 l(单位:米),则 l=2x+2y+ 2x=
?3 ? ?2+ ? ? 16 ? 2?x+ ≥4 x ? ?3 当且仅当? ?2+ ?

6+4 2=8+4 2.
? 16 ? 2?x= ,即 x ?

x=8-4 2,y=2 2时,等号

成立.0<x=8-4 2<4 2,满足题意. 即:当 x=(8-4 2)米,y=2 2米时,用料最少.

本题考查利用基本不等式解决实际问题, 是面积固 定求周长最省料的模型, 解题时, 列出一个面积的等式, 代入周长所表示的代数式中, 消去一个末知数, 这是常 用的解题方法.

3.为了保护环境,实现城市绿化.某房地产公司要 在拆迁地长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造公 园,公园一边落在 CD 上,但不得越过文物保护区△AEF 的 EF,问如何设计才能使公园占地面积最大?并求这个 最大面积(其中 AB=200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF =40 m).

解析:设 CG= x,矩形 CGPH 面积为 y. 2x-280 EN x-140 作 EN⊥PH 于点 N,则 = ?EN= . 40 60 3 2x-280 760-2x ∴HC=160- = . 3 3 ? 760-2x 1 1? ?760?2 72 200 y=x· = ·2x(760-2x)≤ ? ? = . 3 6 6? 2 ? 3

当 2x=760-2x?x=190,即 CG 长为 190 m 时,最大面 72 200 2 积为 m. 3

1.应用均值不等式解题常用到“和定积最大,积定和 最小”,其解题步骤是“一正、二定、三相等”, “二定” 指含变数的两项的和(积)为常数, 合理拆添项或拼凑因式是 常用的技巧,而拆和凑的前提是要求等号能够成立. 2.当用均值不等式求最值取不到等号时,常利用函数 a y=x+ (a>0)的单调性求解. x 1 3.注意函数 y=x+ (x<0)的单调性及推导方法. x

4. 线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何意 义是与直线的截距符号相同还是相反. 5.作差法的依据是 a>b?a-b>0,证明中常用到 配方法、分解因式、均值不等式等方法;作商法的依据 a + 是 a,b∈R ,a>b? >1,适用于指数、幂的形式. b


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