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2016届湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)解析版


2016 年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题 1. (5 分) (2016?长沙一模)设 i 为虚数单位,则复数 3﹣i 的虚部是( ) A.3 B.﹣i C.1 D.﹣1 2. (5 分) (2016?长沙一模) 记集合 A={x|x+2>0}, B={y|y=sinx, x∈R}, 则 A∪B= ( ) A. (﹣2,+∞) B.[﹣1,1] C.[

﹣1,1]∪[2,+∞) D. (﹣2,1] 3. (5 分) (2016?长沙一模)某空间几何体的三视图中,有一个是正方形,则该空间几何体 不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.棱锥 D.棱柱 4. (5 分) (2016?长沙一模)已知向量 =(cosα,sinβ) , =(sinα,cosβ) ,若 ∥ ,则 α, β 的值可以是( A.α= ,β=﹣ ) B.α= ,β= C.α= ,β=﹣ D.α= ,β=﹣

5. (5 分) (2016?长沙一模)已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不 可能是( ) A.an=(﹣1) C.an=2sin
n﹣1

+1

B.an=

D.an=cos(n﹣1)π+1

6. (5 分) (2016?长沙一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 f(x) = ,则下列函数值为 1 的是( )

A.f(2.5) B.f(f(2.5) ) C.f(f(1.5) ) D.f(2) 7. (5 分) (2016?长沙一模)某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响, 部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 4 8 12 学习成绩优秀 16 2 18 学习成绩不优秀 20 10 30 合计 附表: 2 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 p (K ≥k0) 0.15 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k0 经计算 K =10,则下列选项正确的是: ( ) A.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
2

8. (5 分) (2016?长沙一模)函数 ( A. ) B. C. D.

的单调递增区间是

9. (5 分) (2016?长沙一模)平面直径坐标系 xOy 中,动点 P 到圆(x﹣2) +y =1 上的点 的最小距离与其到直线 x=﹣1 的距离相等,则 P 点的轨迹方程是( ) A.y =8x B.x =8y C.y =4x D.x =4y 10. (5 分) (2016?长沙一模)非负实数 x、y 满足 ln(x+y﹣1)≤0,则关于 x﹣y 的最大值 和最小值分别为( ) A.2 和 1 B.2 和﹣1 C.1 和﹣1 D.2 和﹣2 11. (5 分) (2016?长沙一模) 如果执行如图所示的程序框图, 则输出的数 S 不可能是 ( )
2 2 2 2

2

2

A.0.7 B.0.75 C.0.8 D.0.9 x 12. (5 分) (2016?长沙一模)已知函数 f(x)=e ,g(x)=x+1,则关于 f(x) ,g(x)的 语句为假命题的是( ) A.? x∈R,f(x)>g(x) B.? x1,x2∈R,f(x1)<g(x2) C.? x0∈R,f(x0)=g(x0) D.? x0∈R,使得? x∈R,f(x0)﹣g(x0)≤f(x)﹣g(x) 二、填空题 13. (5 分) (2016?长沙一模)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,1) ,B(﹣1,1,2) , 则线段 AB 的长度为 . 14. (5 分) (2016?长沙一模)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2a3,S5=15,则 a2016= . 15. (5 分) (2016?长沙一模)△ABC 的周长等于 2(sinA+sinB+sinC) ,则其外接圆半径等 于 . 16. (5 分) (2016?长沙一模)M,N 分别为双曲线 ﹣ =1 左、右支上的点,设 是平

行于 x 轴的单位向量,则|

? |的最小值为



三、解答题 17. (12 分) (2016?长沙一模)如图,OPQ 是半径为 2,圆心角为 上的一动点,记∠COP=θ,四边形 OPCQ 的面积为 S. (1)找出 S 与 θ 的函数关系; (2)试探求当 θ 取何值时,S 最大,并求出这个最大值. 的扇形,C 是扇形弧

18. (12 分) (2016?长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空 气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级:0~50 为优;51~100 为良;101~ 150 为轻度污染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;>300 为严重污染. 一环保人士记录了去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数; (按这个月总共 30 天计 算) (2)若从样本的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污 染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.

19. (12 分) (2016?长沙一模) 如图, 矩形 BDEF 垂直于正方形 ABCD, GC 垂直于平面 ABCD, 且 AB=DE=2CG=2. (1)求三棱锥 A﹣FGC 的体积. (2)求证:面 GEF⊥面 AEF.

20. (12 分) (2016?长沙一模)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的顶点到直线 l1:y=x

的距离分别为





(1)求 C1 的标准方程; (2)设平行于 l1 的直线 l 交 C1 与 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点,求直 线 l 的方程.

21. (12 分) (2016?长沙一模)已知函数 f(x)=x + (a 为实常数) . (1)若 f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)判断是否存在直线 l 与 f(x)的图象有两个不同的切点,并证明你的结论. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?长沙一模)如图,C,D 是以 AB 为直径的半圆上两点,且 (1)若 CD∥AB,证明:直线 AC 平分∠DAB; 2 (2)作 DE⊥AB 交 AC 于 E,证明:CD =AE?AC. = .

2

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?长沙一模)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 2 立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρcosθ+3=0,θ∈[0,2π]. (1)求 C1 的直角坐标方程;

(2)曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数) ,求 C1 与 C2 的公共点的极坐标.

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?长沙一模)设 α、β、γ 均为实数. (1)证明:|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|;|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|. (2)若 α+β+γ=0.证明:|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.

2016 年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分) (2016?长沙一模)设 i 为虚数单位,则复数 3﹣i 的虚部是( A.3 B.﹣i C.1 D.﹣1 【分析】直接由复数的基本概念得答案. 【解答】解:∵复数 3﹣i, ∴复数 3﹣i 的虚部是:﹣1. 故选:D. 【点评】本题考查了复数的基本概念,是基础题.



2. (5 分) (2016?长沙一模) 记集合 A={x|x+2>0}, B={y|y=sinx, x∈R}, 则 A∪B= ( A. (﹣2,+∞) B.[﹣1,1] C.[﹣1,1]∪[2,+∞) D. (﹣2,1] 【分析】先化简集合 A,B,再根据并集的定义即可求出. 【解答】解:集合 A={x|x+2>0}=(﹣2,+∞) ,B={y|y=sinx,x∈R}=[﹣1,1], 则 A∪B=(﹣2,+∞) , 故选:A. 【点评】本题考查了集合的基本运算,掌握三角形函数的性质是关键,属于基础题.



3. (5 分) (2016?长沙一模)某空间几何体的三视图中,有一个是正方形,则该空间几何体 不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.棱锥 D.棱柱 【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形,即可得出结论. 【解答】解:圆锥的三视图中一定不会出现正方形, ∴该空间几何体不可能是圆锥. 故选:B. 【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题.

4. (5 分) (2016?长沙一模)已知向量 =(cosα,sinβ) , =(sinα,cosβ) ,若 ∥ ,则 α, β 的值可以是( A.α= ,β=﹣ ) B.α= ,β= C.α= ,β=﹣ D.α= ,β=﹣

【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断. 【解答】解:向量 =(cosα,sinβ) , =(sinα,cosβ) ,若 ∥ , ∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=0, 即 cos(α+β)=0, ∴α+β=kπ+ ,k∈Z,

对于 A:α+β=0,不符合, 对于 B,α+β=π,不符合, 对于 C:α+β=﹣ 对于 D,α+β= ,符合, ,不符合,

故选:C. 【点评】本题考查了向量的平行的条件以及两角和的余弦公式,属于基础题. 5. (5 分) (2016?长沙一模)已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不 可能是( ) A.an=(﹣1) C.an=2sin
n﹣1

+1

B.an=

D.an=cos(n﹣1)π+1

【分析】令 n=1,2,3,4 分别代入验证:即可得出答案. 【解答】解:令 n=1,2,3,4 分别代入验证:可知 C:a3=﹣2,因此不成立. 故选:C. 【点评】本题考查了数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 6. (5 分) (2016?长沙一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 f(x) = ,则下列函数值为 1 的是( )

A.f(2.5) B.f(f(2.5) ) C.f(f(1.5) ) D.f(2) 【分析】由 f(x+1)=﹣f(x) ,得到函数的周期是 2,根据分段函数的表达式结合函数的周 期性进行求解即可. 【解答】解:由 f(x+1)=﹣f(x) ,得 f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) , 则函数的周期是 2, 则 f(2.5)=f(2+0.5)=f(0.5)=﹣1, f(f(2.5) )=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1)=﹣1 f(f(1.5) )=f(f(2﹣0.5) )=f(f(﹣0.5) )=f(1)=﹣1, f(2)=f(0)=1, 即列函数值为 1 的 f(2) , 故选:D. 【点评】 本题主要考查函数值的计算, 根据函数的周期性结婚分段函数的表达式利用代入法 和转化法是解决本题的关键. 7. (5 分) (2016?长沙一模)某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响, 部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 4 8 12 学习成绩优秀 16 2 18 学习成绩不优秀

合计 附表:

20

10 0.005 7.879 0.001 10.828

30

2 0.10 0.05 0.025 0.010 p (K ≥k0) 0.15 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 k0 2 经计算 K =10,则下列选项正确的是: ( ) A.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 2

【分析】根据观测值 K ,对照数表,即可得出正确的结论. 2 【解答】解:因为 7.879<K =10<10.828, 对照数表知,有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响. 故选:A. 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题,是基础题目.

8. (5 分) (2016?长沙一模)函数 ( A. 【分析】由 2kπ﹣ ) B. ≤ + ≤2kπ+ C. D.

的单调递增区间是

(k∈Z)与 x∈[﹣2π,2π]即可求得答案. ≤ + ≤2kπ+ (k∈Z)得:

【解答】解:y=sin( + 4kπ﹣ ≤x≤4kπ+

)的单调递增区间由 2kπ﹣ (k∈Z) ,

∵x∈[﹣2π,2π], ∴﹣ 故选 A. 【点评】本题考查复合三角函数的单调性,求得 y=sin( + 属于中档题. 9. (5 分) (2016?长沙一模)平面直径坐标系 xOy 中,动点 P 到圆(x﹣2) +y =1 上的点 的最小距离与其到直线 x=﹣1 的距离相等,则 P 点的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A.y =8x B.x =8y C.y =4x D.x =4y 【分析】设动点 P(x,y) ,由已知得|x+1|= ﹣1,由此能求出点 P 的
2 2

≤x≤

.即 y=sin( +

)的单调递增区间为[﹣



].

)的单调递增区间是关键,

轨迹方程. 【解答】解:设动点 P(x,y) , 2 2 ∵动点 P 到直线 x=﹣1 的距离等于它到圆: (x﹣2) +y =1 的点的最小距离, ∴|x+1|= ﹣1,

化简得:6x﹣2+2|x+1|=y , 2 当 x≥﹣1 时,y =8x, 2 当 x<﹣1 时,y =4x﹣4<﹣8,不合题意. 2 ∴点 P 的轨迹方程为:y =8x. 故选:A. 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间距离公 式的合理运用. 10. (5 分) (2016?长沙一模)非负实数 x、y 满足 ln(x+y﹣1)≤0,则关于 x﹣y 的最大值 和最小值分别为( ) A.2 和 1 B.2 和﹣1 C.1 和﹣1 D.2 和﹣2 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 【解答】解:由题意得 ,

2

作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=x﹣y,由 z=x﹣y,得 y=x﹣z 表示,斜率为 1 纵截距为﹣z 的一组平行直线, 平移直线 y=x﹣z,当直线 y=x﹣z 经过点 C(2,0)时,直线 y=x﹣z 的截距最小,此时 z 最大, 最大为 zmax=2﹣0=2 当直线经过点 A(0,2)时,此时直线 y=x﹣z 截距最大,z 最小. 此时 zmin=0﹣2=﹣2. 故选:D.

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解 决此类问题的基本方法.本题难度较大,综合性较强. 11. (5 分) (2016?长沙一模) 如果执行如图所示的程序框图, 则输出的数 S 不可能是 ( )

A.0.7 B.0.75 C.0.8 D.0.9 【分析】模拟执行程序,可得此程序框图的功能是计算并输出 S= + 的值,结合选项,只有当 S 的值为 0.7 时,n 不是正整

数,由此得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n, 求 由于 S= + + 的值 S,并输出 S, =1 +… + ﹣ =1﹣ = ,

令 S=0.7,解得 n= ,不是正整数,而 n 分别输入 2,3,8 时,可分别输出 0.75,0.8,0.9. 故选:A. 【点评】本题主要考查了直到型循环结构的程序框图,解题的关键是判断程序框图功能,属 于基础题. 12. (5 分) (2016?长沙一模)已知函数 f(x)=e ,g(x)=x+1,则关于 f(x) ,g(x)的 语句为假命题的是( ) A.? x∈R,f(x)>g(x) B.? x1,x2∈R,f(x1)<g(x2) C.? x0∈R,f(x0)=g(x0) D.? x0∈R,使得? x∈R,f(x0)﹣g(x0)≤f(x)﹣g(x) 【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可. x 【解答】解:设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,则 h(x)=e ﹣x﹣1, x 则 h′(x)=e ﹣1, 当 x<0 时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 当 x>0 时,h′(x)>0,则 h(x)单调递增, 即当 x=0 时,函数 h(x)取得极小值同时也是最小值 h(0)=0, 即 h(x)≥0,即? x∈R,f(x)>g(x)不一定成立,故 A 是假命题, 故选:A
x

【点评】本题主要考查命题的真假判断,构造函数,求函数的导数,判断函数的单调性和最 值是解决本题的关键. 二、填空题 13. (5 分) (2016?长沙一模)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,1) ,B(﹣1,1,2) , 则线段 AB 的长度为 . 【分析】根据两点间的距离公式,进行计算即可. 【解答】解:空间直角坐标系中,点 A(1,0,1) ,B(﹣1,1,2) , 所以线段 AB 的长度为|AB|= = .

故答案为: . 【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题,是基础题目. 14. (5 分) (2016?长沙一模)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2a3,S5=15,则 a2016= 2016 . 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d. ∵S3=2a3,S5=15, ∴ d=2(a1+2d) , d=15,

解得 a1=d=1. 则 a2016=1+(2016﹣1)×1=2016. 故答案为:2016. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 15. (5 分) (2016?长沙一模)△ABC 的周长等于 2(sinA+sinB+sinC) ,则其外接圆半径等 于 1 . 【分析】利用正弦定理得出 a,b,c 和外接圆半径 R 的关系,根据周长列出方程解出 R. 【解答】解:设△ABC 的三边分别为 a,b,c,外接圆半径为 R, 由正弦定理得 ,

∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, ∵a+b+c=2(sinA+sinB+sinC) , ∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2(sinA+sinB+sinnC) , ∴R=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了正弦定理,属于基础题.

16. (5 分) (2016?长沙一模)M,N 分别为双曲线



=1 左、右支上的点,设 是平

行于 x 轴的单位向量,则|

? |的最小值为 4 .

【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可. 【解答】解:由向量数量积的定义知 求| 即求 ? |的最小值, 在 x 轴上的投影的绝对值的最小值, ? |的最小值为 4, ? 即向量 在向量 上的投影| |模长的乘积,故

由双曲线的图象可知| 故答案为:4

【点评】 本题主要考查双曲线性质的应用, 根据向量数量积的定义转化为投影关系是解决本 题的关键. 三、解答题 17. (12 分) (2016?长沙一模)如图,OPQ 是半径为 2,圆心角为 上的一动点,记∠COP=θ,四边形 OPCQ 的面积为 S. (1)找出 S 与 θ 的函数关系; (2)试探求当 θ 取何值时,S 最大,并求出这个最大值. 的扇形,C 是扇形弧

【分析】 (1)由面积公式即可得到 S 与 θ 的函数关系. (2)对三角函数化简,由 θ 的范围,得到 S 的最大值. 【解答】解: (1)∵S=S△ OPC+S△ OQC= OP?0Csin∠POC+ OQ?OCsin∠QOC =2sinθ+2sin( ﹣θ) (θ∈(0, ) ) ﹣θ)

(2)由(1)知,S=2sinθ+2sin( =sinθ+ cosθ=2sin(θ+ )

∵θ∈(0, ∴当 θ+ =

) ,∴θ+ ,即 θ=

∈(





时,S 最大,为 2.

【点评】本题考查三角形面积公式以及对三角函数化简. 18. (12 分) (2016?长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空 气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级:0~50 为优;51~100 为良;101~ 150 为轻度污染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;>300 为严重污染. 一环保人士记录了去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数; (按这个月总共 30 天计 算) (2)若从样本的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污 染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.

【分析】 (1) 由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数, 可得概率, 用总天数乘以概率可得; (2)该样本中轻度污染共 4 天,分别记为 a,b,c,d,中度污染为 1 天,记为 A,重度污 染为 1 天,记为 α,列举可得总的基本事件共 15 个,其中空气质量等级恰好不同有 9 个, 由概率公式可得的. 【解答】解: (1)由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为 1, 空气质量为良的天数为 3,故空气质量优良的概率为 = ,

故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为 30× =12; (2)该样本中轻度污染共 4 天,分别记为 a,b,c,d, 中度污染为 1 天,记为 A,重度污染为 1 天,记为 α, 则从中随机抽取 2 天的所有可能结果为: (a,b) (a,c) (a,d) (a,A) (A,α) (b,c) (b,d) (b,A) (b,α) (c,d) (c,A) (c,α) (d,A) (d,α) (A,α)共 15 个,其中空气质量等级恰好不同有(a,A) (A,α) (b,A) (b,α) (c,A) (c,α) (d,A) (d,α) (A,α)共 9 个, 该两天的空气质量等级恰好不同的概率 P= =

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及发生的概率,涉及茎叶图的知识,属基础题. 19. (12 分) (2016?长沙一模) 如图, 矩形 BDEF 垂直于正方形 ABCD, GC 垂直于平面 ABCD, 且 AB=DE=2CG=2. (1)求三棱锥 A﹣FGC 的体积. (2)求证:面 GEF⊥面 AEF.

【分析】 (1)由平面 BDEF⊥平面 ABCD 得 FB⊥平面 ABCD,故 FB⊥AB,又 AB⊥BC, 于是 AB⊥平面 FBCG,即 AB 为棱锥 A﹣FCG 的高; (2)建立空间坐标系,分别求出平面 AEF 和平面 EFG 的法向量,证明他们的法向量垂直 即可. 【解答】解: (1)∵平面 BDEF⊥平面 ABCD,平面 BDEF∩平面 ABCD=BD,FB⊥BD,FB ? 平面 BDEF, ∴FB⊥平面 ABCD,∵AB? 平面 ABCD, ∴AB⊥FB,又 AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BCGF, ∴VA﹣FGC= = = .

(2)以 B 为原点,AB,BC,BF 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图: 则 A(﹣2,0,0) ,E(﹣2,2,2) ,F(0,0,2) ,G(0,2,1) , ∴ =(0,2,2) , =(2,﹣2,0) , =(0,2,﹣1) . =(a,b,c) ,

设平面 AEF 的法向量为

=(x,y,z) ,平面 EFG 的法向量为





,即





令 z=1 得 ∴ ∴

=(﹣1,﹣1,1) ,令 c=1 得 =﹣ , =0.

=( , ,1) .

∴平面 AEF⊥平面 EFG.

【点评】本题考查了线面垂直的判定,面面垂直的性质与判定,棱锥的体积计算,属于中档 题.

20. (12 分) (2016?长沙一模)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的顶点到直线 l1:y=x

的距离分别为





(1)求 C1 的标准方程; (2)设平行于 l1 的直线 l 交 C1 与 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点,求直 线 l 的方程. 【分析】 (1)由 a>b,可设顶点(a,0)到直线 y=x 的距离为 ,又顶点(0,b)到直线 y=x 的距离为 ,运用点到直线的距离公式,计算可得 a=2,b=1,进而得到椭圆方程;
2 2

(2)设直线 l 的方程为 y=x+t(t≠0) ,代入椭圆方程 x +4y =4,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 运用韦达定理和判别式大于 0,以及直径所对的圆周角为直角,由向量垂直的条件:数量积 为 0,化简整理,可得 t,进而得到所求直线 l 的方程. 【解答】解: (1)由 a>b,可设顶点(a,0)到直线 y=x 的距离为 , 可得 = ,即 a=2, ,可得 = ,即 b=1,

又顶点(0,b)到直线 y=x 的距离为 则椭圆方程为
2

+y =1;
2 2 2

2

(2)设直线 l 的方程为 y=x+t(t≠0) , 代入椭圆方程 x +4y =4,可得 5x +8tx+4t ﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 即有△=64t ﹣20(4t ﹣4)>0,解得﹣ <t< ,且 t≠0, x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

y1y2=(x1+t) (x2+t)=x1x2+t +t(x1+x2)=

2

+t ﹣

2

=



以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点,可得 OA⊥OB, 即有 ? =0,即 x1x2+y1y2=0, + =0, ,满足﹣ <t< . ,且 t≠0,

即为

解得 t=±

则直线 l 的方程为 y=x±

【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用点到直线的距离公式,考查直线方程的求法, 注意运用联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理,以及向量垂直的条件:数量积为 0,考查 化简整理的运算能力,属于中档题.

21. (12 分) (2016?长沙一模)已知函数 f(x)=x + (a 为实常数) . (1)若 f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)判断是否存在直线 l 与 f(x)的图象有两个不同的切点,并证明你的结论. 3 3 【分析】 (1)求出导数,由题意可得 2x ﹣a≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 a≤2x ,求出右 边函数的值域,即可得到 a 的范围; (2)不存在直线 l 与 f(x)的图象有两个不同的切点.假设存在这样的直线 l,设两切点为 (x1,f(x1) ) , (x2,f(x2) ) ,由假设可得 f′(x1)=f′(x2)= 和函数的解析式,化简整理,即可得到矛盾. 【解答】解: (1)函数 f(x)=x + 的导数为 f′(x)=2x﹣ 由 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 可得 2x ﹣a≥0 在(0,+∞)上恒成立, 3 3 3 即 a≤2x ,由 2x 在(0,+∞)上递增,可得 2x 的值域为(0,+∞) , 则 a≤0,即有 a 的取值范围为(﹣∞,0]; (2)不存在直线 l 与 f(x)的图象有两个不同的切点. 证明:假设存在这样的直线 l, 设两切点为(x1,f(x1) ) , (x2,f(x2) ) , 由假设可得 f′(x1)=f′(x2)= ,
3 2

2

,运用导数

=



由 f′(x1)=f′(x2) ,可得 2x1﹣

=2x2﹣



即有 2(x1﹣x2)=a?

,显然 x1+x2≠0,x1﹣x2≠0,

即有 a=﹣

,而

﹣f′(x1)=

﹣2x1+

=x1+x2﹣

﹣2x1+

=x2﹣x1+



=﹣

≠0,

即 f′(x1)=f′(x2)≠



故不存在直线 l 与 f(x)的图象有两个不同的切点. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,考查存在性问题的解法,以及不 等式恒成立问题的解法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?长沙一模)如图,C,D 是以 AB 为直径的半圆上两点,且 (1)若 CD∥AB,证明:直线 AC 平分∠DAB; 2 (2)作 DE⊥AB 交 AC 于 E,证明:CD =AE?AC. = .

【分析】 (1)证明:直线 AC 平分∠DAB,只要证明∠DAC=∠BAC,利用平行线的性质及 等弧对等角即可; 2 (2)作 DE⊥AB 交 AC 于 E,证明:△ADE∽△ACD,即可证明 CD =AE?AC. 【解答】证明: (1)∵CD∥AB, ∴∠DCA=∠BAC, ∵ = ,

∴∠DAC=∠DCA, ∴∠DAC=∠BAC, ∴直线 AC 平分∠DAB; (2)∵DE⊥AB, ∴∠ADE+∠DAB=90°, ∵AB 为直径, ∴∠DBA+∠DAB=90°, ∴∠ADE=∠ABD, ∵∠ABD=∠DCA, ∴∠ADE=∠ACD, ∴△ADE∽△ACD, 2 ∴AD =AE?AC, ∵AD=DC, 2 ∴CD =AE?AC. 【点评】本题考查平行线的性质,考查三角形相似的证明,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?长沙一模)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 2 立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρcosθ+3=0,θ∈[0,2π]. (1)求 C1 的直角坐标方程;

(2)曲线 C2 的参数方程为
2 2 2

(t 为参数) ,求 C1 与 C2 的公共点的极坐标.

【分析】 (1)把 ρ =x +y ,x=ρcosθ,代入曲线 C1 的极坐标方程可得直角坐标方程.

(2)由曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数) ,可知:此条直线经过原点,倾斜角



.因此 C1 的极坐标方程为:
2 2 2

,或

(ρ>0) .分别代入 C1 的极坐标方
2

程即可得出. 【解答】解: (1)把 ρ =x +y ,x=ρcosθ,代入曲线 C1 的极坐标方程 ρ ﹣4ρcosθ+3=0,θ∈ [0,2π], 2 2 2 2 可得:x +y ﹣4x+3=0,配方为: (x﹣2) +y =1.

(2)由曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数) ,可知:此条直线经过原点,倾斜角

为 将 将

.因此 C1 的极坐标方程为: 代入 C1 可得:ρ ﹣2 代入 C1 可得:ρ +2
2 2

,或 .

(ρ>0) .

ρ+3=0,解得 ρ= ρ+3=0,解得 ρ=﹣ .

,舍去.

故 C1 与 C2 的公共点的极坐标为

【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?长沙一模)设 α、β、γ 均为实数. (1)证明:|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|;|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|. (2)若 α+β+γ=0.证明:|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1. 【分析】 (1)利用和的余弦、正弦公式,结合三角不等式,即可证明结论; (2)由(1)可得|cos[α+(β+γ]=|cosα|+|sin(β+γ)|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|,即可证明 结论. 【解答】证明: (1)|cos(α+β)|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤ |cosα|+|sinβ|; |sin(α+β)|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|. (2)由(1)可得|cos[α+(β+γ)]≤|cosα|+|sin(β+γ)|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|, ∵α+β+γ=0, ∴|cos[α+β+γ]=1 ∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1. 【点评】本题考查和的余弦、正弦公式,考查绝对值三角不等式,考查学生分析解决问题的 能力,正确运用绝对值三角不等式是关键.


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