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考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积


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考点 31
一、选择题

空间几何体的结构及其三视图和直观图、 空间几何体的结构及其三视图和直观图、 空间几何体的表面积与体积

1. (2011·安徽高考理科·T6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积为 (A)48 (B)32+ 8 17 (C)48+ 8 17 (D)80

【思路点拨】将三视图还原成直观图,可以知道这是一个底面为等腰梯形的直 棱柱,之后利用面积公式,求出六个面的面积. 【精讲精析】选 C.三视图还原为直观图,如图,这是一个底面为等腰梯形的直 棱柱,两底面等腰梯形的面积和为 2 ×

1 ( 四个侧面的面 × 2 + 4) 4 = 24, × 2

积为 4 × 4 + 2 + 2 17) 24 + 8 17, 所以该几何体的表面积为 48+ 8 17 . ( = 2.(2011·新课标全国高考理科·T6)在一个几何体的三视图中,正视 图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为

A

B

C

D

S

【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图,然后再推出侧视图. 【精讲精析】选 D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体 (如右图所示) ,且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心, 可知侧视图为等腰三
A

角形,且轮廓线为实线,故选 D
B

C

3. (2011·辽宁高考文科·T10)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S-ABC 的体积为

-1-

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(A)

3 3

(B)

2 3 3

(C)

4 3 3

(D)

5 3 3

【思路点拨】找到直径 SC 的垂截面是解决本题的关键. 【精讲精析】选 C,设球心为 O ,则 AO, BO 是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高,斜边 SO = 4, 故

AO = BO = 2 ,且有 AO ⊥ SC , BO ⊥ SC .
∴ VS ? ABC = VS ? AOB + VC ? AOB =

1 1 3 4 3 S ?AOB ( SO + OC ) = × × 22 × 4 = . 3 3 4 3

4.(2011·广东高考文科·T7)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它 的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A.20 B.15 C.12 D.10

【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念,由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选 D.上底面内的每个顶点,与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线,可构成正五棱柱 的对角线,所以共 10 条,故选 D. 5.(2011·广东高考文科·T9)如图 1-3,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分 别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为

(A) 4 3

(B)4

(C) 2 3

(D)2

【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥,然后由图中数据求出底面面积及高,再由锥体体积公 式求解. 【精讲精析】选 C.由三视图可得原几何体是一四棱锥,底是边长为 2 的菱形,其一条对角线长为 2,则另 一条对角线长为 2 3 ,从而底面面积 S 底 = 1 × 2 × 2 3 = 2 3 .该棱锥其中两条侧棱长为 2 3 ,另外两条侧棱长
2

相等,从而得棱锥的高 h = (2 3 ) 2 ? ( 3 ) 2 = 3 ,所以几何体的体积 V = 1 × 2 3 × 3 = 2 3 ,故选 C.
3

-2-

世纪金榜 圆您梦想 6.(2011·广东高考理科·T7) 如图l—3.某几何体的正视图(主视图)是 平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是 矩形,则该几何体的体积为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3

【思路点拨】先由三视图还原直观图,然后再求体积. 【精讲精析】选 B.由三视图得,几何体为一平行六面体,底面是边长为 3 的正方形,高 h = 2 2 ? 1 = 3 .所 以几何体的体积 V = 3 × 3 3 = 9 3 .故选 B. 7.(2011·山东高考理科·T11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视 图、俯视图如右下图.其中真命题的个数是 (A)3 (C)1 (B)2 (D)0

【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体,三棱柱,正四棱柱,圆柱. 【精讲精析】 A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱, 选 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧; ②正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真. 8.(2011·辽宁高考理科·T12)已知球的直径 SC =4, A, B 是该球球面上的两点, AB = 3 ,

∠ASC = ∠BSC = 30° ,则棱锥 S ? ABC 的体积为
(A) 3 3 (B) 2 3 (C) 3 (D)1

【思路点拨】找到直径 SC 的垂截面是解决本题的关键. 【精讲精析】选 C.由题意可知 ?SAC 和 ?SBC 是两个全等的直角三角形,过直角顶点 A, B 分别作斜边上 的高线 AH , BH ,由于 ∠ASC = ∠BSC = 30° ,求得 AH = BH =

3 ,所以等边 ?ABH 的面积为

S ?ABS =

3 3 3 × ( 3) 2 = ,所求棱锥 S ? ABC 的体积等于以 ?ABH 为底的两个小三棱锥的体积的和, 4 4
1 3 3 × ×4 = 3 . 3 4

其高的和即为球的直径 SC ,故 VS ? ABC =

9.(2011·新课标全国高考文科·T8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的 侧视图可以为

-3-

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A

B

C

D

【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图,然后再推出侧视图.
S

【精讲精析】 D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体 选 (如 下图所示) ,且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心, 可知侧视图为等腰三角形, 且轮廓线为实线,故选 D
A

10.(2011·北京高考理科·T7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面
B

C

积中最大的是 A.8 B. 6 2 C.10 D. 8 2 P 4 C 4 正(主)视图 3 侧(左)视图 A B

俯视图 【思路点拨】先画出直观图,标出尺寸后,再分别求出四个面的面积,逐个比较. 【精讲精析】选 C.该四面体的直观图,如图所示, ∠B = 90 , PA ⊥ 面ABC ,PA=4,AB=4,BC=3.该四面
0

体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为 S ?ABC = 6, S ?PAB = 8, S ?PBC = 6 2, S ?PAC = 10. 故最大 面积为 10. 11.(2011·北京高考文科·T5)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( ) (A)32 (B) 16 + 16 2 (C)48 (D) 16 + 32 2

-4-

世纪金榜 圆您梦想 2 正(主)视图 侧(左)视图 2 4 4 4 俯视图 【思路点拨】作出直观图,如上图,先求出斜高,再计算表面积. 【精讲精析】选 B.斜高为 2 + 2 = 2 2 ,表面积为 4 × ( × 4 × 2 2) + 4 = 16 + 16 2 .
2 2

4

1 2

2

12.(2011·湖南高考理科·T3)设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. π + 12
3

9 2 9 B. π + 18 2
C. 9π + 42

2 3 正视图 侧视图

D. 36π + 18 【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的 能力. 【精讲精析】选 B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为 的球,下面是一个底面边长为 3 高为 2 的正四棱柱. 13.(2011·湖南高考文科 T4)如图是某几何体的三视图的体积为 (A) 9π + 42 . (B) 36π + 18 .

俯视图 图1

3 2

9 π + 12 2 9 (D) . π + 18 2
(C) . 【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选 D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为 2 的正四棱柱. 14.(2011·江西高考文科·T9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左 视图为

3 的球,下面是一个底面边长是 3 高为 2

-5-

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A

B

C

D

【思路点拨】在左视图中,长方体的体对角线投到了侧面,成了侧面的面 对角线,易得. 【精讲精析】选 D.根据正投影的性质,结合左视图的要求知,长方体体对角线投到了侧面,成了侧面的面 对角线,结合选项即得答案. 15. (2011·陕西高考理科·T5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积 是( ) (A) 8 ? (B) 8 ?

π

2π 3 3

(C) 8 ? 2π (D)

2π 3

【思路点拨】 根据已知的三视图想象出空间几何体, 然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算. 【精讲精析】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体,即一个正方体中间 去掉一个圆锥体,所以它的体积是

1 2π V = 23 ? × π × 12 × 2 = 8 ? . 3 3

16.(2011·浙江高考理科·T3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直 观图可以是

【思路点拨】逐个检验筛查. 【精讲精析】选 D.由正视图来看符合条件的只有 C,D.从俯视图来看只有 D 选项中的几何体符合.
-6-

世纪金榜 圆您梦想 17.(2011·浙江高考文科·T7)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选 B. 选项 A B C D 具体分析 正、俯视图不相符 三视图均符合 正、俯视图不相符 侧视图不相符 结论 错误 正确 错误 错误

二、填空题 18.(2011·新课标全国高考理科·T15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB = 6, BC = 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 __ . 【思路点拨】画出图形,找出球心位置,然后数形结合求出棱锥 O-ABCD 的 体积. 【精讲精析】 8 3 如图所示, OO′ 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,垂足为 O′ ,
O D O'

连接 O′ B , OB ,则在 Rt ? OO′B 中,由 OB=4, O′B = 2 3 ,可得 OO′ = 2,∴VO ? ABCD =

C

1 1 S ? OO′ = × 6 × 2 3 × 2 = 8 3. 3 3

A

B

19.(2011.天津高考理科.T10)一个几何体的三视图如右图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为 __________ m
3

【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键. 【精讲精析】答案: 6+p 组合体的底座是一个长、宽、高分别为 3、2、1 的长方体,上面是一个底面半径 为 1,高位 3 的圆锥,所以所求的体积是:
-7-

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1 V = V圆锥 + V长方体 = π × 12 × 3 + 3 × 2 × 1 = 6 + π 3
20.(2011·新课标全国高考文科·T16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都 在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 者的高的比值为________ 【思路点拨】画出图形,利用数形结合然后利用球及圆的性质求解 【精讲精析】

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大 16

1 如图设球的半径为 R ,圆锥的底面 圆半径为 r ,则依题意得 3

π r2 =

3 r 3 × 4π R 2 ,即 = cos ∠O′CO = , 16 R 2

∴∠O′CO = 30°,∴ OO′ =

1 1 1 R ,∴ AO′ = R ? R, BO′ = R + R , 2 2 2

1 R AO′ 2 1 ∴ = = . BO′ 3 R 3 2
21.(2011·辽宁高考理科·T15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中

的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是____________. 【思路点拨】先求底面边长,再求矩形的面积.

【精讲精析】答案: 2 3 .设棱长为 a ,由体积为 2 3 可列等式

3 2 a ?a = 2 3,a = 2, 4

所求矩形的底边长为

3 a = 3 ,这个矩形的面积是 3 × 2 = 2 3 . 2

22.(2011·天津高考文科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为 __________ m
3

【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键. 【精讲精析】答案:4.组合体的底座是一个长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体, 上面也是长、宽、高分别为 1、1、2 的长方体,所以所求的体积是:

V = V1 +V2 =2 创 1+2 创 1=4 1 1
-8-

世纪金榜 圆您梦想 23. (2011·福建卷理科·T12)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角 形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式 VP ? ABC =

1 ? S ?ABC ? PA 求体积. 3

【精讲精析】 3 .由题意得: VP ? ABC =

1 1 3 2 ? S ?ABC ? PA = × × 2 × 3 = 3. 3 3 4

三、解答题 24.(2011·江西高考文科·T18)如图,在

?ABC中,∠B= ,AB = BC = 2, P为AB边上一动点,PD//BC 交 AC 于点 D,现将 2

π

?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA ' ⊥ 平面PBCD.
(1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
' (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A ' B ⊥ DE.

【思路点拨】(1)首先根据面面垂直,证出 A' P ⊥ 面PBCD ,再将四棱锥的体积表 示出,借助导数求体积的最大值.(2)根据平行线的性质,两条平行线中有一条与一条 直线垂直,另一条也与该直线垂直,易证. 【精讲精析】 解: (1)设 PA = x ,则 VA′
2
PBCD

1 1 x2 = PA ? S 底面PDCB = x( 2 ? ) 3 3 x
3

令 f ( x ) = 1 x ( 2 ? x ) = 2 x ? x , ( x > 0) 3 2 3 6 则 f ′( x) = 2 ? x
3
2

2

x

(0,

2 3 ) 3

2 3 3

(

2 3 ,+∞) 3

f ′(x) f ( x)

+
单调递增

0
极大值

?
单调递减

由上表易知:当 PA = x = 2 3 时,有 VA′ ^ PBCD 取最大值.
3

(2)证明:作 A′B 的中点 F,连接 EF、FP 由已知得: EF // 1 BC // PD ? ED // FP
2

因为 ?A′PB 为等腰直角三角形, A′B ⊥ PF 所以 A′B ⊥ DE .
-9-

世纪金榜 圆您梦想 25.(2011·福建卷文科·T20)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上, 且 CE∥AB. (I)求证:CE⊥平面 PAD; (II)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【思路点拨】(1)由 CE / / AB 联想到,要证 CE ⊥ 平面PAD ,可证

AB ⊥ 平面PAD ,欲证 AB ⊥ 平面PAD ,只需证 AB ⊥ PA,AB ⊥ AD 即可.
(2)用公式 V四棱锥P -ABCD =

1 S ? PA 求体积. 3 四边形ABCD

【精讲精析】 (1)证明:因为 PA ⊥ 平面 ABCD, CE ? 平面 ABCD,所以 PA ⊥ CE . 因为 AB ⊥ AD, CE / / AB, 所以 CE ⊥ AD . 又 PA I AD = A ,所以 CE ⊥ 平面 PAD. (2)由(1)可知 CE ⊥ AD . 在 Rt ?ECD 中, DE = CD ? cos 45° = 1 , CE = CD ? sin 45° = 1 . 又因为 AB = CE = 1, AB / / CE ,所以四边形 ABCE 为矩形. 所以 S四边形ABCD=S矩形ABCE +S ?ECD=AB ? AE + = 1× 2+

1 CE ? DE 2

1 5 × 1×1= . 2 2
1 1 5 5 S四边形ABCD ? PA= × × 1= . 3 3 2 6

又 PA ⊥ 平面 ABCD, PA = 1 , 所以 V四棱锥P -ABCD =

- 10 -



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