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《柱、锥、台和球的体积》教案


《柱、锥、台和球的体积》教案 教学目标 1、了解柱、锥、台的体积的计算方法。 2、了解祖暅原理。 3、棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。 教学重难点 重点:棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖暅原理。 难点:祖暅原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。 教学过程 一、导入 1、祖暅原理: 祖暅(音gèng),一名祖暅之,是祖冲之的儿子,他的活动时期大约在公元504—526年。 祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》 。他推导球体积公式的方法非常巧妙。 2、祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带,原理中含有三个条件,条 件一是两个几何体夹在两个平行平面之间, 条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可 截得两个平面,条件三是两个截面的面积总相等,这三个条件缺一不可,否则结论不成立. 这个原理是非常浅显易懂的, 例如取一摞纸张堆放在桌面上, 将它们如下图的右图那样 改变一下形状,这时高度没有改变,每页纸的面积也没有改变,因而这摞纸的体积与变形前 相等. 3、祖暅提出的“幂势既同,则积不容异” ,及“体积之比等于对应截面积之比” ,在这 里是当作公理使用.提法“幂势既同,则积不容异” ,在西方通常叫做“卡瓦列利原理” (Cavalierisches,Prinzip).卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不 可分几何》中提出这一原理,这本书出版于1635年. 二、棱柱和圆柱的体积 1.柱体(棱柱和圆柱)的体积等于它的底面积S和高h 的积. 即V柱体=S·h. 设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体,它们的底面积 相等,都等于S,高都等于h,它们的下底面都在同一平面上. 因为它们的上底面和下底面平 行,并且高相等,所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内.用与底面平行的任 意平面去截它们时,所得的截面面积都等于S,根据祖暅原理,它们的体积相等. 由于长方 体的体积等于它的底面积和高的乘积,于是我们得到柱体的体积计算公式是V柱体=S·h.. 底面半径是R,高为的圆柱体的体积的计算公式是S圆柱=π R2h. 三、棱锥和圆锥的体积 1. 如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是h,那么它的体积是V锥体= 1 Sh. 3 2. 如果圆锥的底面半径是R,高是,则它的体积是V圆锥= 如何理解锥体体积的推导? 1 π R2h. 3 在推导棱锥的体积公式时, 是将三棱柱分为三个三棱锥, 这三个三棱锥变换它们的底面 和顶点,可以得到它们两两之间等底面积、等高,因此它们的体积相等,都等于三棱柱体积 的三分之一,在这个过程中一是运用了等积转换的方法,二是运用了割补法,这些方法在今 后解题时要灵活运用. 四、棱台和圆台的体积 1. V台体= ( S ? SS ' ? S ')h ;其中S、S’分别为台体上、下底面面积,h为台体的高. 1 3 2.V圆台= 1 π (r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径,高为h. 3 五、球的体积 V球= ? R ,其中R为球的半径. 3 4 3 柱体、锥体、台体的体积公式间的关系 六、多面体体积的求法 多面体体积的常用求法有: 1.直接法;2.换底法;3.分割法;4.补体法. 七、例子: (1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为[ ] (2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G,则棱 锥B-EFG的体积是平行六面体


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