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【红对勾】2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件:1-3-2诱导公式五、六 (数理化网)


系列丛书

第一章
三角函数

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1.3 三角函数的诱导公式

RJA版· 数学· 必修4

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第一章

三角函数<

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第2课时 预习篇

诱导公式五、六 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 五、六 2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值.

重点难点
重点:诱导公式五、六的应用; 难点:诱导公式的推导与证明.

预习篇01
新知导学

诱导公式

?π ? 公式五:sin?2-α?= ? ? ?π ? 公式六:sin?2+α?= ? ?

cosα

?π ? ,cos?2-α?= ? ?

sinα

. .

? ? cosα ,cos?π+α?= -sinα 2 ? ?

?π ? ?π ? 1.如何用sinα,cosα表示tan?2-α?,tan?2+α?? ? ? ? ? ?π ? ? ? ?π ? sin?2-α? cosα 1 ? ? 答:tan 2-α = ?π = sinα =tanα; ? ? ? cos?2-α? ? ? ?π ? ? ? ?π ? sin?2+α? cosα 1 tan?2+α?= ?π = =- . ? tan α -sinα ? ? cos?2+α? ? ?

关于该组公式的记忆

π α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的 余弦(正弦) 2± 函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符 号.

2.你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗? 答:诱导公式六的推导过程如下: π π ∵ +α= -(-α),由诱导公式三、五,得 2 2
?π ? ?π ? sin?2+α?=sin?2-?-α?? ? ? ? ?

=cos(-α)=cosα,

?π ? ?π ? cos?2+α?=cos?2-?-α?? ? ? ? ?

=sin(-α)=-sinα.
?π ? 即sin?2+α?=cosα, ? ? ?π ? cos?2+α?=-sinα. ? ?

3.诱导公式五、六的作用是什么? 答:(1)公式五、六都是将一个复角的三角函数转化为 一个单角的三角函数.(2)将一个角的正弦(余弦)转化为另 一个角的余弦(正弦).所以借助于诱导公式可以将任意一个 π 角转化为0到4之间的角.

1.三角形中的诱导公式 A+B π C 由于A+B+C=π,所以A+B=π-C,所以 2 =2- 2 . 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;
?π C ? A+B C ? ? sin =sin 2- 2 =cos ; 2 2 ? ? ?π C ? A+B C ? ? cos =cos 2- 2 =sin . 2 2 ? ?

2.解读六组诱导公式 (1)诱导公式一至诱导公式六揭示了终边具有某种对称 关系的两个角的三角函数之间的关系. π (2)这六组诱导公式可归纳为k· α(k∈Z)的三角函数值 2± 与α的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得角α的同名三 角函数值,当k为奇数时得角α的异名三角函数值.然后前 面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号.可简记 为“奇变偶不变,符号看象限”.

课堂篇02
合作探究

利用诱导公式解决求值问题

【例1】 ( ) A.k C.± k

(1)已知sin10° =k,则cos620° 的值等于

B.-k D.不能确定

5π 1 (2)(2013· 广东卷)已知sin( 2 +α)=5,那么cosα=( 2 A.-5 1 C.5 1 B.-5 2 D.5

)

(3)计算sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° =________.

【解析】

(1)∵cos620° =cos(2×360° -100° )

=cos(-100° )=cos100° =cos(90° +10° ) =-sin10° ∴cos620° =-k,故选B.
?5π ? (2)sin? 2 +α? ? ? ? ? ?π ? π =sin?2π+2+α?=sin?2+α? ? ? ? ?

1 =cosα=5.故选C

(3)因为sin21° +sin289° =sin21° +cos21° =1, sin22° +sin288° =sin22° +cos22° =1, sin2x° +sin2(90° -x° )=sin2x° +cos2x° =1(1≤x≤44,x ∈N), 所以原式=(sin21° +sin289° )+(sin22° +sin288° )+?+ (sin 44° +sin 46° )+sin
【答案】
2 2 2

? 45° =44+? ? ?

2? ?2 89 =2. 2? ?

(1)B (2)C

89 (3) 2

通法提炼 已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路 (1)观察:①观察已知的角和所求角的差异,寻求角之 间的关系; ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差 异. (2)转化:运用诱导公式将不同的角转化为相同的角; 将不同名的三角函数化为同名的三角函数.

?π ? 2 已知cos?6-α?= ,求下列各式的值: ? ? 3 ?π ? (1)sin?3+α?. ? ? ? 2π? (2)sin?α- 3 ?. ? ?

?π ? 解:(1)sin?3+α? ? ? ? π ?π ?? ? =sin?2-?6-α?? ? ?? ? ? ?π ? 2 =cos?6-α?= . ? ? 3 ? 2π? (2)sin?α- 3 ? ? ? ? π ?π ?? ? =sin?-2-?6-α?? ? ?? ? ?

? π ?π ?? ? =-sin?2+?6-α?? ? ?? ? ? ?π ? 2 ? ? =-cos 6-α =-3. ? ?

利用诱导公式化简

【例2】

化简:

π 7π sin?2π+α?cos?π-α?cos?2-α?cos? 2 -α? . 5π cos?π-α?sin?3π-α?sin?-π+α?sin? 2 +α? 【分析】 式的形式. 分析角的特点,把角变形到能用诱导公

【解】

原式= π sinα?-cosα?sinαcos[2π+?π+ -α?] 2

π -cosαsin[2π+?π-α?]sin[-?π-α?]sin[2π+? +α?] 2 π sinαsinαcos[π+?2-a?] = π sin?π-α?[-sin?π-α?]sin?2+α?

π sinαsinα[-cos?2-α?] = sinα?-sinα?cosα sinα?-sinα? = =tanα. ?-sinα?cosα

通法提炼 化简变形时,通常先用诱导公式将三角函数式的角度 统一后,再用同角三角函数的基本关系,这样可以避免公 式交错使用时导致混乱.

? 7π? sin?2π-α?cos?α- 2 ? tan?3π-α? ? ? 化简 + ? . ? 3π 3π sin?π-α?sin? -α? sin? +α?cos?2π+α? 2 ?2 ?

解:tan(3π-α)=-tanα,sin(π-α)=sinα,
?3π ? sin? 2 -α?=-cosα,sin(2π-α)=-sinα, ? ? ? ? 7π? π? cos?α- 2 ?=cos?α+2?=-sinα, ? ? ? ? ?3π ? sin? 2 +α?=-cosα,cos(2π+α)=cosα, ? ?

-tanα -sinα?-sinα? 所以,原式= + sinα?-cosα? -cosαcosα

1 sin2α =cos2α-cos2α 1-sin2α cos2α = cos2α =cos2α=1.

利用诱导公式证明等式

【例3】

证明下列等式:

?π ? ?π ? sin?θ-5π?cos?2-θ?sin?2+θ? ? ? ? ? (1) =-1. ?3π ? cos?3π-θ?cos? 2 +θ?sin?-4π-θ? ? ? ?3π ? tan?2π-α?cos? 2 -α?cos?6π-α? ? ? (2) =tanα. ? 3π? ? 3π? sin?α- 2 ?cos?α+ 2 ? ? ? ? ?

【证明】

-sin?5π-θ?sinθcosθ 左边= cos?π-θ?sinθ[-sin?4π+θ?]

-sin?π-θ?sinθcosθ -sinθ = = sinθ =-1 -cosθsinθ?-sinθ? =右边, 故原式得证.
?π ? tan?-α?[-cos?2-α?]cos?-α? ? ? (2)左边= ? π? ? π? sin?α+2?cos?α-2? ? ? ? ?

-tanα?-sinα?cosα = =tanα=右边, cosαsinα 所以原式成立.

通法提炼 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应 用,其证明的常用方法有: ?1?从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简. ?2?左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子. ?3?针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形, 以消除其差异,即化异为同.

cos?x-5π?tan?2π-x? 2 2 求证: + tan (π - x ) = 1 + tan x. ?3π ? cos? 2 +x? ? ?

cos?4π+π-x?· tan?2π-x? 2 证明:左边= + tan x ? π ? cos?π+2+x? ? ? cos?π-x?· tan?-x? 2 = + tan x ?π ? -cos?2+x? ? ? cosx· tanx = +tan2x sinx =1+tan2x=右边.

提高篇03
自我超越

——规范解答系列—— 诱导公式的综合应用 【例】 (2013· 蚌埠高一检测)
? 3π? sin?α-3π?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

已知f(α)=

cos?-π-α?sin?-π-α?

.

(1)化简f(α). (2)若α是第三象限的角,且cos 值. 31π (3)若α=- 3 ,求f(α)的值.
? 3π? ?α- ? 2? ?

1 = 5 ,求f(α)的

【思路分析】 即可.

(1)由f(α)的表达式,利用诱导公式化简

(2)由此条件利用诱导公式化简,根据角α的范围,可确 定sinα和cosα的符号. (3)利用诱导公式将三角函数值转变为0~π内的终边相 同的特殊角的三角函数值.

【解】

(1)f(α)=

? 3π? sin?α-3π?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

cos?-π-α?sin?-π-α?

?-sinα?· cosα· ?-cosα?① = ?-cosα?· sinα =-cosα.
? 3π? 1 (2)因为cos?α- 2 ?=-sinα= , 5 ? ?

1 所以sinα=-5,

又α是第三象限的角,所以cosα=- 2 2 =-5 6.所以f(α)=5 6. 5π 31π (3)因为- =-6×2π+ , 3 3
? 31π? ? 31π? 所以f?- 3 ?=-cos?- 3 ? ? ? ? ? ? 5π?③ =-cos?-6×2π+ 3 ? ? ?


? 1? ② 1-?-5?2 ? ?

5π π 1 =-cos 3 =-cos3=-2, 1 所以f(α)=-2.

【解后反思】

(1)在解答过程中,若诱导公式把握不

准,就会在①处出现符号或三角函数名称的错误. (2)在解答过程中,若忽略角α是第三象限的角,就会在 ②处求解cosα的值时出现符号的错误,是本题不应该失分 的地方. (3)若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不 会转化,则在③处出现角的错误,此时导致错误答案.

已知:f(α)=

?π ? sin?-α?cos?π+α?cos?2-α? ? ?

cos?π-α?sin?2π+α?tan?π+α?

.

(1)化简f(α). 3 (2)若α的终边在第二象限且sinα=5,求f(α).

π sin?-α?cos?π+α?cos?2-α? 解:(1)f(α)= cos?π-α?sin?2π+α?tan?π+α? -sinα?-cosα?sinα = =-cosα. -cosαsinαtanα 4 (2)由题意知cosα=- 1-sin2α=-5, 4 所以f(α)=-cosα=5.

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