海淀区高二年级第一学期期末练习
数
学校___________ 班级
本试卷共 100 分,考试时间 90 分钟.
学 (理科)
姓名 成绩 ___
2013.1
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 如果 a ? b , 则( A. a ? b ? 0 ) B. ac ? bc C. a ? b ? 0 D. a ? b
2 2
2.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? d (其中 d 为常数) ,若 a1 ? 1, a3 ? 11, 则 d =( A. 4 B.5 C. 6 D.7 )
)
3. 下列四个点中,在不等式组 ? A. ( 2,0)
? x ? y ? 1, 所表示的平面区域内的点是( ?x ? y ? 0
C. (0,2) ) D. (0,?2)
B. ( ?2,0)
2 n ?1
4. 已知数列 ?an ? 满足 an ? 2
,则(
A. 数列 {an } 是公比为 2 的等比数列 C. 数列 {an } 是公差为 2 的等差数列
2
B. 数列 {an } 是公比为 4 的等比数列 D. 数列 {an } 是公差为 4 的等差数列
x2 2 5.“ a ? 1 ”是“方程 2 ? y ? 1 表示椭圆”的( a
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
2
)
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知点 A( x0 , y0 ) 为抛物线 y ? 8x 上的一点, F 为该抛物线的焦点,若 | AF |? 6 ,则 x0 的 值为( A. 4 ) B. 4 2 C. 8 D. 8 2
x2 y 2 ? ? 1 上动点, F1 , F2 分别是椭圆 C 的焦点,则 PF1 ? PF2 的最 7. 已知点 P 为椭圆 C : 4 3
大值为( A. 2 ) B. 3 C. 2 3
-1-
D.
4
x2 y 2 8. 设 F 若椭圆 C 上存在点 P , 使线段 PF1 1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的焦点, a b
的垂直平分线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ] ) D. [ , )
1 3
B. ( , )
1 2 2 3
C. [ ,1)
1 3
1 2 3 3
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.
x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为_____________. 9.双曲线 4
10.命题 p : ?a, b ? R, a ? b ? 2ab ,则命题 ?p 是
2 2
2
.
11.已知集合 A 是不等式 x ? 2 x ? 0 的解集,集合 B ? {x | x ? m} .若 A ? B ? ? ,则 m 的最小 值是_______________. 12.已知点 P 为椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 上的动点, 且 | OP | 的最小值为 1, 其中 O 为坐标 4 b2
原点,则 b ? ________. 13. 设 x ? R , x ? 0 . 给出下面 4 个式子: ① x 2 ? 1 ;② x 2 ? 2 x ? 2 ;③ x ? 其中恒大于 1 的是 14.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ?
1 1 ;④ x 2 ? 2 . x x
.(写出所有满足条件的式子的序号)
? an ? 1, n为奇数, 且 a1 ? 1 ,则 a3 ? a1 ? ____________; ? ?2an , n为偶数,
若设 bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ,则数列 {bn } 的通项公式为__________________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 10 分) 已知直线 l 交抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 于 A,B 两点,且 ?AOB ? 90? , 其中,点 O 为坐标
2
原点,点 A 的坐标为 (1, 2) . (I)求抛物线 C 的方程; (II)求点 B 的坐标.
-2-
16. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 10n ? n (n ? N ) .
2 *
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求 Sn 的最大值; (III)设 bn ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2a )( x ? a ? 1) . (I)当 a ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 ; (II)若 ?x ? (5, 7) ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
-3-
18. (本小题满分 12 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,点 A1 , A2 分别是椭圆的左、 右顶点, B 为椭圆的上顶点,一个焦点 为 F ( 3, 0) ,离心率为 于点 P ,直线 A2 M 与
3 .点 M 是椭圆 C 上在第一象限内的一个动点,直线 A1M 与 y 轴交 2
y 轴交于点 Q .
1 ; 4
(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若把直线 MA1 , MA2 的斜率分别记作 k1 , k2 ,求证: k1k 2 ? ? (III) 是否存在点 M 使 | PB |?
1 | BQ | ,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 2
-4-
海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学(理科)
参考答案及评分标准
2013.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. y ? ? 12. 1
1 x 2
13.
10. ?a, b ? R , a ? b ? 2ab
2 2
11.
n ?1
0
①④
14. ? 5 ; bn ? ?5 ? ?2 ?
(第一空 2 分,第二空 2 分)
三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (I)因为点 A?1,2 ? 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, 所以 2 2 ? 2 p , 解得 p ? 2 , 故抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (II)设点 B 的坐标为 ? x0 , y 0 ? ,由题意可知 x0 ? 0 , 直线 OA 的斜率 k OA ? 2 ,直线 OB 的斜率 k OB ? -------------2 分 -------------3 分 -------------4 分
y0 , x0
-------------6 分
因为 ?AOB ? 90? ,所以 k OA ? k OB ?
2 y0 ? ?1 , x0
又因为点 B? x0 , y 0 ? 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 所以 y 0 ? 4 x0 , 联立 ?
2
-------------7 分 解得 ?
? y 0 2 ? 4 x0 , ? 2 y 0 ? ? x0 ,
? x0 ? 16 ? x0 ? 0 或 ? (舍), ? y 0 ? ?8 ? y0 ? 0
-------------9 分
所以点 B 的坐标为 ?16,?8? .
-5-
-------------10 分
16. (本小题满分 12 分) 解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 10 ? 1 ? 9 ;
2
-------------1 分
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 10n ? n 2 ? [10 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ] ? ?2n ? 11 .-----3 分 综上可知,数列 {an } 的通项公式为 a n ? ?2n ? 11 . (II)解法 1: S n ? 10 n ? n 2 ? ? ?n ? 5 ? ? 25 ,
2
-------------4 分 -------------6 分 -------------7 分
所以,当 n ? 5 时, Sn 取得最大值 25 . 解法 2:令 a n ? ?2 n ? 11 ? 0 ,得 n ?
11 , 2
-------------6 分
即此等差数列前 5 项为正数,从第 6 项起开始为负数, 所以, S5 最大, 故 ( S n ) max ? S 5 ? 10 ? 5 ? 5 ? 25 .
2
-------------7 分 -------------8 分
(III) 令 a n ? ?2n ? 11 ? 0 ,得 n ?
11 . 2
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ,
当 n ? 5 时, Tn ? S n ? 10 n ? n 2 . -------------9 分
当 n ? 5 时, Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a n ? ? S n ? 2 S 5
? 50 ? 10 n ? n 2 .
综上可知,数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? ? 17.(本小题满分 10 分) 解: (I)令 ( x ? 2a)( x ? a ? 1) ? 0, 得 x1 ? 2a, x 2 ? a ? 1,
-------------11 分
2 ? ?10 n ? n , n ? 5 . 2 ? 50 ? 10 n ? n , n ? 5 ?
-------12 分
-------------1 分
x1 ? x2 ? 2a ? ?a ? 1? ? a ? 1 ,
因为 a ? 1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,即 2a ? a ? 1 , 由 f ? x ? ? ? x ? 2a ?? x ? a ? 1? ? 0 ,解得 a ? 1 ? x ? 2a .
2
-------------2 分 -------------4 分 -----5 分
(II)解法 1:当 a ? 1 时, 2a ? a ? 1 , f ? x ? ? ? x ? 2 ? ,不符合题意.
当 a ? 1 时, 2a ? a ? 1 ,若 ?x ? (5, 7) ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,
-6-
则有 ?
? a ? 1 ? 5, 7 解得 ? a ? 4 . 2 ? 2a ? 7,
-------------7 分
当 a ? 1 时, 2a ? a ? 1 ,若 ?x ? (5, 7) ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,
则有 ?
? 2a ? 5, ? a ? 1 ? 7,
a 无解.
------------9 分
综上,实数 a 的取值范围是
7 ? a ? 4. 2
-------------10 分
解法 2: f ? x ? ? ? x ? 2 a ?? x ? a ? 1? 的图像是开口向上的抛物线, --------5 分 若 ?x ? (5, 7) ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,需且仅需
? f (5) ? 0, ? ? f (7) ? 0,
?5 ? a ? 4, ? ?2 解得 ? ? 7 ? a ? 6, ? ?2
-------------7 分
所以
7 ? a ? 4. 2
故实数 a 的取值范围是 18. (本小题满分 12 分) 解: (I)由题意,可设椭圆 C 的方程为
7 ? a ? 4. 2
-------------10 分
c 3 x2 y2 , ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? ,则 c ? 3 , ? 2 a 2 a b
-------------2 分
所以 a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,
所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4
-------------3 分
(II)由椭圆 C 的方程可知,点 A1 的坐标为 ?? 2,0 ? ,点 A2 的坐标为 ?2,0 ? , 设动点 M 的坐标为 ? x0 , y 0 ? ,由题意可知 0 ? x0 ? 2 , 直线 MA1 的斜率 k1 ?
2
y0 y0 ? 0 ,直线 MA2 的斜率 k 2 ? ? 0, x0 ? 2 x0 ? 2
-------------4 分
所以 k1 ? k 2 ?
y0 , 2 x0 ? 4
-7-
因为点 M ? x0 , y 0 ? 在椭圆
2
x2 ? y 2 ? 1 上, 4
2
所以
x0 x 2 2 ? y 0 ? 1 ,即 y 0 ? 1 ? 0 , 4 4
1?
-------------5 分
2 x0 1 所以 k1 ? k 2 ? 2 4 ? ? . x0 ? 4 4
-------------6 分
(III)设直线 MA1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2 ? , 令 x ? 0 ,得 y ? 2k1 ,所以点 P 的坐标为 ? 0, 2k1 ? , 设直线 MA2 的方程为 y ? k 2 ? x ? 2 ? , 令 x ? 0 ,得 y ? ?2k 2 ,所以点 Q 的坐标为 ? 0, ?2k 2 ? , 由椭圆方程可知,点 B 的坐标为 ?0,1? , ---------8 分 --------7 分
1 1 BQ ,得 |1 ? 2k1 |? | ?2k 2 ? 1 | , 2 2 1 由题意,可得 1 ? 2k1 ? ( ?2k 2 ? 1) 2
由 PB ? 整理得 4k1 ? 2k 2 ? 3 , ---------9 分
1 2 联立,消 k1 可得 2k2 ? 3k2 ? 1 ? 0 , 4 1 解得 k2 ? ?1 或 k2 ? ? , 2
与 k1k2 ? ? 所以直线 MA2 的直线方程为 y ? ? ( x ? 2) 或 y ? ? 因为 y ? ?
---------10 分
1 ( x ? 2) , 2
1 ( x ? 2) 与椭圆交于上顶点,不符合题意. 2
2
把 y ? ?( x ? 2) 代入椭圆方程,得 5 x ? 16 x ? 12 ? 0 , 解得 x ?
6 或2, 5
---------11 分
因为 0 ? x0 ? 2 ,所以点 M 的坐标为 ?
?6 4? , ?. ?5 5?
---------12 分
说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.
-8-