2013-1-北京市海淀区2012-2013高二年级第一学期期末练习

海淀区高二年级第一学期期末练习

数
学校___________ 班级
本试卷共 100 分,考试时间 90 分钟.

学 （理科）
姓名 成绩 ___

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的. 1. 如果 a ? b , 则( A． a ? b ? 0 ) B． ac ? bc C． a ? b ? 0 D． a ? b
2 2

2．已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? d （其中 d 为常数） ，若 a1 ? 1, a3 ? 11, 则 d =( A． 4 B．5 C． 6 D．7 )

)

3. 下列四个点中，在不等式组 ? A． ( 2,0)

? x ? y ? 1, 所表示的平面区域内的点是( ?x ? y ? 0
C． (0,2) ) D． (0,?2)

B． ( ?2,0)
2 n ?1

4. 已知数列 ?an ? 满足 an ? 2

，则(

A. 数列 {an } 是公比为 2 的等比数列 C. 数列 {an } 是公差为 2 的等差数列
2

B. 数列 {an } 是公比为 4 的等比数列 D. 数列 {an } 是公差为 4 的等差数列

x2 2 5.“ a ? 1 ”是“方程 2 ? y ? 1 表示椭圆”的( a
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
2

)

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知点 A( x0 , y0 ) 为抛物线 y ? 8x 上的一点， F 为该抛物线的焦点，若 | AF |? 6 ，则 x0 的 值为( A. 4 ) B. 4 2 C. 8 D. 8 2

x2 y 2 ? ? 1 上动点， F1 , F2 分别是椭圆 C 的焦点，则 PF1 ? PF2 的最 7. 已知点 P 为椭圆 C : 4 3
大值为( A. 2 ) B. 3 C. 2 3
-1-

D.

4

x2 y 2 8. 设 F 若椭圆 C 上存在点 P ， 使线段 PF1 1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的焦点， a b
的垂直平分线过点 F2 ，则椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ] ) D. [ , )

1 3

B. ( , )

1 2 2 3

C. [ ,1)

1 3

1 2 3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为_____________. 9.双曲线 4
10.命题 p : ?a, b ? R, a ? b ? 2ab ，则命题 ?p 是
2 2
2

.

11.已知集合 A 是不等式 x ? 2 x ? 0 的解集，集合 B ? {x | x ? m} .若 A ? B ? ? ,则 m 的最小 值是_______________. 12.已知点 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 上的动点， 且 | OP | 的最小值为 1， 其中 O 为坐标 4 b2

原点，则 b ? ________. 13. 设 x ? R ， x ? 0 . 给出下面 4 个式子： ① x 2 ? 1 ；② x 2 ? 2 x ? 2 ；③ x ? 其中恒大于 1 的是 14.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ?

1 1 ；④ x 2 ? 2 . x x

.（写出所有满足条件的式子的序号）

? an ? 1, n为奇数， 且 a1 ? 1 ，则 a3 ? a1 ? ____________； ? ?2an , n为偶数，

若设 bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ，则数列 {bn } 的通项公式为__________________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 10 分） 已知直线 l 交抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 于 A,B 两点，且 ?AOB ? 90? , 其中，点 O 为坐标
2

原点，点 A 的坐标为 (1, 2) . （I）求抛物线 C 的方程； （II）求点 B 的坐标.

-2-

16. （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 10n ? n (n ? N ) .
2 *

(I)求数列 {an } 的通项公式； (II)求 Sn 的最大值； (III)设 bn ? an ，求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

17. （本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2a )( x ? a ? 1) . （I）当 a ? 1 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 ； （II）若 ?x ? (5, 7) ，不等式 f ( x) ? 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.

-3-

18. （本小题满分 12 分） 椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,点 A1 , A2 分别是椭圆的左、 右顶点, B 为椭圆的上顶点,一个焦点 为 F ( 3, 0) ,离心率为 于点 P ,直线 A2 M 与

3 .点 M 是椭圆 C 上在第一象限内的一个动点,直线 A1M 与 y 轴交 2

y 轴交于点 Q .
1 ； 4

（I）求椭圆 C 的标准方程； （II）若把直线 MA1 , MA2 的斜率分别记作 k1 , k2 ，求证： k1k 2 ? ? (III) 是否存在点 M 使 | PB |?

1 | BQ | ，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由. 2

-4-

海淀区高二年级第一学期期末练习

数 学（理科）
参考答案及评分标准
2013.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C

二.填空题：本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. y ? ? 12. 1

1 x 2
13.

10. ?a, b ? R , a ? b ? 2ab
2 2

11.
n ?1

0

①④

14. ? 5 ； bn ? ?5 ? ?2 ?

(第一空 2 分，第二空 2 分)

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. （本小题满分 10 分） 解: （I）因为点 A?1,2 ? 在抛物线 y 2 ? 2 px 上， 所以 2 2 ? 2 p , 解得 p ? 2 , 故抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . （II）设点 B 的坐标为 ? x0 , y 0 ? ,由题意可知 x0 ? 0 , 直线 OA 的斜率 k OA ? 2 ,直线 OB 的斜率 k OB ? -------------2 分 -------------3 分 -------------4 分

y0 , x0
-------------6 分

因为 ?AOB ? 90? ，所以 k OA ? k OB ?

2 y0 ? ?1 , x0

又因为点 B? x0 , y 0 ? 在抛物线 y 2 ? 4 x 上， 所以 y 0 ? 4 x0 , 联立 ?
2

-------------7 分 解得 ?

? y 0 2 ? 4 x0 , ? 2 y 0 ? ? x0 ,

? x0 ? 16 ? x0 ? 0 或 ? （舍）, ? y 0 ? ?8 ? y0 ? 0

-------------9 分

所以点 B 的坐标为 ?16,?8? .
-5-

-------------10 分

16． （本小题满分 12 分） 解: （I）当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 10 ? 1 ? 9 ；
2

-------------1 分

当 n ? 2 时， an ? S n ? S n ?1 ? 10n ? n 2 ? [10 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ] ? ?2n ? 11 .-----3 分 综上可知，数列 {an } 的通项公式为 a n ? ?2n ? 11 . （II）解法 1: S n ? 10 n ? n 2 ? ? ?n ? 5 ? ? 25 ，
2

-------------4 分 -------------6 分 -------------7 分

所以，当 n ? 5 时， Sn 取得最大值 25 . 解法 2:令 a n ? ?2 n ? 11 ? 0 ，得 n ?

11 , 2
-------------6 分

即此等差数列前 5 项为正数,从第 6 项起开始为负数, 所以, S5 最大, 故 ( S n ) max ? S 5 ? 10 ? 5 ? 5 ? 25 .
2

-------------7 分 -------------8 分

(III) 令 a n ? ?2n ? 11 ? 0 ，得 n ?

11 . 2

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ,
当 n ? 5 时， Tn ? S n ? 10 n ? n 2 . -------------9 分

当 n ? 5 时， Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a n ? ? S n ? 2 S 5

? 50 ? 10 n ? n 2 .
综上可知，数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? ? 17.（本小题满分 10 分） 解: （I）令 ( x ? 2a)( x ? a ? 1) ? 0, 得 x1 ? 2a, x 2 ? a ? 1,

-------------11 分
2 ? ?10 n ? n , n ? 5 . 2 ? 50 ? 10 n ? n , n ? 5 ?

-------12 分

-------------1 分

x1 ? x2 ? 2a ? ?a ? 1? ? a ? 1 ，
因为 a ? 1 ，所以 a ? 1 ? 0 ，即 2a ? a ? 1 ， 由 f ? x ? ? ? x ? 2a ?? x ? a ? 1? ? 0 ，解得 a ? 1 ? x ? 2a .
2

-------------2 分 -------------4 分 -----5 分

（II）解法 1：当 a ? 1 时， 2a ? a ? 1 ， f ? x ? ? ? x ? 2 ? ，不符合题意.

当 a ? 1 时， 2a ? a ? 1 ，若 ?x ? (5, 7) ，不等式 f ( x) ? 0 恒成立，
-6-

则有 ?

? a ? 1 ? 5, 7 解得 ? a ? 4 . 2 ? 2a ? 7,

-------------7 分

当 a ? 1 时， 2a ? a ? 1 ，若 ?x ? (5, 7) ，不等式 f ( x) ? 0 恒成立，

则有 ?

? 2a ? 5, ? a ? 1 ? 7,

a 无解.

------------9 分

综上，实数 a 的取值范围是

7 ? a ? 4. 2

-------------10 分

解法 2： f ? x ? ? ? x ? 2 a ?? x ? a ? 1? 的图像是开口向上的抛物线， --------5 分 若 ?x ? (5, 7) ，不等式 f ( x) ? 0 恒成立，需且仅需

? f (5) ? 0, ? ? f (7) ? 0,
?5 ? a ? 4, ? ?2 解得 ? ? 7 ? a ? 6, ? ?2

-------------7 分

所以

7 ? a ? 4. 2

故实数 a 的取值范围是 18． （本小题满分 12 分） 解: （I）由题意，可设椭圆 C 的方程为

7 ? a ? 4. 2

-------------10 分

c 3 x2 y2 ， ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? ,则 c ? 3 ， ? 2 a 2 a b
-------------2 分

所以 a ? 2 ， b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ，

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

-------------3 分

（II）由椭圆 C 的方程可知，点 A1 的坐标为 ?? 2,0 ? ，点 A2 的坐标为 ?2,0 ? , 设动点 M 的坐标为 ? x0 , y 0 ? ，由题意可知 0 ? x0 ? 2 , 直线 MA1 的斜率 k1 ?
2

y0 y0 ? 0 ，直线 MA2 的斜率 k 2 ? ? 0, x0 ? 2 x0 ? 2
-------------4 分

所以 k1 ? k 2 ?

y0 , 2 x0 ? 4

-7-

因为点 M ? x0 , y 0 ? 在椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上， 4
2

所以

x0 x 2 2 ? y 0 ? 1 ,即 y 0 ? 1 ? 0 , 4 4
1?

-------------5 分

2 x0 1 所以 k1 ? k 2 ? 2 4 ? ? . x0 ? 4 4

-------------6 分

（III）设直线 MA1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2 ? ， 令 x ? 0 ，得 y ? 2k1 ，所以点 P 的坐标为 ? 0, 2k1 ? , 设直线 MA2 的方程为 y ? k 2 ? x ? 2 ? ， 令 x ? 0 ，得 y ? ?2k 2 ，所以点 Q 的坐标为 ? 0, ?2k 2 ? , 由椭圆方程可知，点 B 的坐标为 ?0,1? , ---------8 分 --------7 分

1 1 BQ ，得 |1 ? 2k1 |? | ?2k 2 ? 1 | , 2 2 1 由题意，可得 1 ? 2k1 ? ( ?2k 2 ? 1) 2
由 PB ? 整理得 4k1 ? 2k 2 ? 3 , ---------9 分

1 2 联立,消 k1 可得 2k2 ? 3k2 ? 1 ? 0 , 4 1 解得 k2 ? ?1 或 k2 ? ? , 2
与 k1k2 ? ? 所以直线 MA2 的直线方程为 y ? ? ( x ? 2) 或 y ? ? 因为 y ? ?

---------10 分

1 ( x ? 2) , 2

1 ( x ? 2) 与椭圆交于上顶点，不符合题意. 2
2

把 y ? ?( x ? 2) 代入椭圆方程,得 5 x ? 16 x ? 12 ? 0 , 解得 x ?

6 或2, 5

---------11 分

因为 0 ? x0 ? 2 ，所以点 M 的坐标为 ?

?6 4? , ?. ?5 5?

---------12 分

说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.

-8-