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导数及其应用


领航教育
1. 导数的概念

2015 年暑假 3-8 人班

VIP 精品教案 —



导数及其应用
?y 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值 ? x 叫做 ?

y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ?x 函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 ? x = 。如果当 ?x ? 0 时, ? x 有极限,
我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。

即 f(x 0 )= ?x ?0

lim

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ? x = ?x ?0 ?x 。

说明:
1) . 导数的物理意义: 瞬时速率。 一般的, 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim
?x ?0 ?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

P 时,直线 PT 与曲线相切。容易知 2). 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P n 趋近于
道,割线 PP n 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) P 时,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT ,当点 P n 趋近于 xn ? x0

的斜率 k,即 k ? lim

?x ?0

f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

3). 导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记 作 y? ,即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

?y ?y 4).函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, ? x 有极限。如果 ? x 不存在极限,就说函数在点 x 0 处不可导,
或说无导数。 5). ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳) :

(1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ;

? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x (2)求平均变化率 ? x = ;

?y ?x ?0 ?x (3)取极限,得导数 f’(x 0 )= 。 lim

例 : 若 f / (1) ? 2 0 1 , 2 则 lim ?x ? 0
?x ? 0

lim

f (1) ? f (1 ? ?x) = 4?x

f (1 ? ?x) ? f (1) f (1 ? ?x) ? f (1) lim = ,? = x ?0 ?x ? ?x f (1 ? 2?x) ? f (1) lim , ? = 。 x ?0 ?x



2.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 5 若 f ( x) ? a x ,则 f ?( x) ? a x ln a
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

2 若 f ( x) ? x? ,则 f ?( x) ? ? x? ?1 ; 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 6 若 f ( x) ? e x ,则 f ?( x) ? e x 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ?

1 x ln a

1 x

3 导数的运算法则 ① [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ② [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ③[

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

4. 复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
例、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(2) y ?

1 1 ? ; 1? x 1? x
x ; 4x
2 x

(3) y ? x ? sin x ? ln x ; (5) y ?

(4) y ?

1 ? ln x . 1 ? ln x
' 3 ' 3 ' ' ' 2

(6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ;

解: (1) y ? ( x ? 2x ? 3) ? ( x ) ? (2 x) ? (3) ? 3x ? 2 ,

y ' ? 3x 2 ? 2 。

(2) y ? (
'

1 ' 1 ' (1 ? x )' (1 ? x )' ) ?( ) ? ? 1? x 1? x (1 ? x )2 (1 ? x )2
? 1

1 ?

2 x ? 2 x (1 ? x ) 2 (1 ? x ) 2

?

1

2 x (1 ? x )

[

1
2

?

1 (1 ? x )2

]

?

(1 ? x )2 ? (1 ? x )2 (1 ? x)2 2 x 1 ?

?

(1 ? x) x x(1 ? x)2

y' ?

(1 ? x) x x(1 ? x)2

(3) y' ? ( x ? sin x ? ln x)' ? [( x ? ln x) ? sin x]'

? ( x ? ln x)' ? sin x ? ( x ? ln x) ? (sin x)'
1 ? (1? ln x ? x ? ) ? sin x ? ( x ? ln x) ? cos x x ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x

y' ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x
(4) y ' ? (

x ' x' ? 4x ? x ? (4 x )' 1? 4 x ? x ? 4 x ln 4 1 ? x ln 4 , ) ? ? ? 4x (4 x )2 (4 x )2 4x

y' ?

1? x l n 4 。 4x

1 1 ? ln x 2 1 2 x (5) y ' ? ( )' ? (?1 ? )' ? 2( )' ? 2 ? ? 2 1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? ln x (1 ? ln x) x(1 ? ln x) 2
(6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ? (2 x ? 5x ? 1) ? (e )
' 2 ' x 2 x '

y' ?

2 x( 1? l n x 2)

? (4x ? 5) ? ex ? (2x2 ? 5x ? 1) ? e x ? (2x2 ? x ? 4) ? e x ,

y' ? (2x2 ? x ? 4) ? ex 。

练习
1、 y ? 3 x 2 ? x sinx 2、 y ? e x ln x 3、 y ?

ln x ? 2x x?1

4. y ? ln sin2 x
x

5. y ? sin2 ( 2 x ? ? )
3

6. y ? 3 x

2

?2 x?3

5 .函数的单调性 一般的, 在某个区间 ( a, b) 内, 如果 f ?( x) ? 0 (等于) , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 (等于) ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减;如果恒有 单调减区间内,可以存在 f (x)=0 )
'

,则在这一区间上为常函数。(单调增或

6. 函数的极值与导数 极值: 设函数 是函数 是函数 设函数 (Ⅰ)如果在点 (Ⅱ)如果在点 在点 附近 (区间) 有定义, 如果对 ;如果对 。 处连续,判定 ,右侧 ,右侧 是极大(小)值的方法是: ,则 ,则 为极大值; 为极小值; 附近的所有点, 都有 附近的所有点,都有 , 则说 ,则说

的一个极大值,记作 的一个极小值,记作 可导,且在点 附近的左侧 附近的左侧

注意:导数为 0 的不一定是极值点,如

;函数 y=f(x)在一点的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这

点取极值的既不充分又不必要条件
区间上所有函数值中的最小值。 ) 8. 综合:求函数最大值最小值的步骤 ①单调性: (Ⅰ)确定函数 当 时,



7.函数的最大值与最小值(最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义

的定义域; (Ⅱ)求导数

; (Ⅲ)令 时

,解出相应的 x 的范围。

在相应区间上为增函数;当 ; (Ⅱ)求方程

在相应区间上为减函数。 不存在的点; 在这一点取得

②极值: (Ⅰ)求导数 考察

的实根及

在上述方程的根以及

不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则

极大值,若左负右正,则 ③最值: ( I )求 将 的各极值与 在 ,

在这一点取得极小值。 内的极值; ( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ; ( III )

比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。

常考题型:
一、函数的单调性。 例.已知 f ?x? ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2 2 解析:函数 f ?x ? 的导数为 f ' ?x ? ? 3ax ? 6 x ? 1 。对于 x ? R 都有 f ' ?x ? ? 0 时, f ?x ? 为减函数。由

?a ? 0 ,解得 a ? ?3 。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 对 x ? R 3ax2 ? 6x ? 1 ? 0?x ? R? 可得 ? ? ? ? 36 ? 12a ? 0
为减函数。

1? 8 ? (1) 当 a ? ?3 时, f ?x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3? x ? ? ? 。 3? 9 ?
3 2

3

由函数 y ? x 3 在 R 上的单调性,可知当 a ? ?3 是,函数 f ?x ? 对 x ? R 为减函数。 (2) 当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上存在增区间。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上不是单调递减函 数。 综合(1) (2) (3)可知 a ? ?3 。 答案: a ? ?3

二、导数的意义及其基本分析
1、f(x)=x3, f′(x0)=6,则 x0=( A. 2 ) C.± 2 ) D. ln 2 D.± 1 B.- 2

2、设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B. e C.

ln 2 2

3、若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图 象可能是( )

4.

,f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ? 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1 ? (1)


1 x?2 , 则 2

f ( 1?) f ?

解析:因为 k ?

1 1 5 5 ,f (1)) ,可得点 M 的纵坐标为 ,所以 f ?1? ? , ,所以 f ' ?1? ? ,由切线过点 M (1 2 2 2 2

所以 f ?1? ? f ' ?1? ? 3

三、利用导数的几何意义求函数的切线方程
1、曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( A.30° B.45°
2

) D.120°

C.60°

2、 (山东文)曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (C)9 (D)15 b 3、设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. (A)-9 (B)-3

4.曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1 , ? 3) 处的切线方程是



? 3) 处切线的斜率为 k ? 3 ? 4 ? 4 ? ?5 , 解析:y' ? 3x 2 ? 4x ? 4 , 所以设切线方程为 y ? ?5 x ? b , ? 点 (1, , ? 3) 带入切线方程可得 b ? 2 ,所以,过曲线上点 (1, ? 3) 处的切线方程为: 5 x ? y ? 2 ? 0 将点 (1

四、利用导数的正负性判断函数的增减性
1、函数 y ? 4 x ?
2

1 单调递增区间是( x
B. (??,1)



A. (0,??)

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

2、已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; 2 1? (2)设函数 f(x)在区间? ?-3,-3?内是减函数,求 a 的取值范围.

五、导数与极值
1. 已知函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如右,则( A.函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f(x)有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f(x)有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f(x)有 1 个极大值点,3 个极小值点 2.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。 (1)求 a、b 的值; )

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。 (2)若对于任意的 x ? [0,
2

2 解析: (1) f ?( x) ? 6x ? 6ax ? 3b ,因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .即

?6 ? 6 a ? 3b ? 0, ,解得 a ? ?3 , b ? 4 。 ? ?24 ?12 a ?3 b ?0 .
(2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) 。
3 2 2

1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 。所以,当 x ? 1 时, f ( x) 当 x ? (0,

取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c 。则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c 。 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) 。

六、导数与最值
1、函数 y ? A. e
?1

ln x 的最大值为( x
B. e C. e


2

D.

10 3

2.已知 a 为实数, f ?x ? ? x 2 ? 4 ?x ? a ? 。求导数 f ' ? x ? ; (2)若 f ' ?? 1? ? 0 ,求 f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最 大值和最小值。 解析: (1) f ?x? ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,? (2) f ' ?? 1? ? 3 ? 2a ? 4 ? 0 ,? a ?

?

?

f ' ?x? ? 3x 2 ? 2ax ? 4 。

1 2 。? f ' ?x? ? 3x ? x ? 4 ? ?3x ? 4??x ? 1? 2 4 令 f ' ?x ? ? 0 ,即 ?3x ? 4??x ? 1? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? , 则 f ?x ? 和 f ' ? x ? 在区间 ?? 2,2?上随 x 的变化情况 3
如下表:

x
f ' ?x ?
f ?x ?
f ?? 1? ?

?2

?? 2,?1?


?1
0 极大值

4? ? ? ? 1, ? 3? ?
— 减函数

4 3
0 极小值

?4 ? ? ,2 ? ?3 ?
+ 增函数

2

0

增函数

0

9 , 2

50 ?4? f ? ? ? ? 。所以, f ?x ? 在区间 ?? 2,2?上的最大值为 27 ?3?

9 50 ?4? ,最小值为 f ?? 1? ? 。 f? ??? 2 27 ?3?

1 3、已知函数 f(x)= x2+ln x-1. 2 (1)求函数 f(x)在区间[1,e](e 为自然对数的底)上的最大值和最小值; 2 (2)求证:在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方; 3

七、导数的综合问题(与不等式、方程综合)
3 1. 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导

函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。 (1)求 a , b , c 的值;

(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。 解析: (1)∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴ c ? 0 ,∵ f '( x) ? 3ax 2 ? b 的最小值为 ?12 ,∴ b ? ?12 ,又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为

1 ,因此, 6

f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ,∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 .
(2) f ( x) ? 2x3 ?12x 。

f '( x) ? 6x2 ?12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下:
? 2
0
极大

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

(? 2, 2)
?
减函数

2
0
极小

( 2, ??)

?
增函数

?
增函数

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) ,∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 , ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 。 2、已知函数 f ( x ) ? kx , g ( x ) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

ln x x

ln x 的单调区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0,??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围;

3. 设函数 f (x)=lnx+(x-a)2,a∈R. (Ⅰ)若 a=0,求函数 f (x)在[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若函数 f (x)在 [ , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 f (x)的极值点.

1 2

导数强化训练
(一)选择题 1. 已知曲线 y ? A.1

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
B.2 C.3 D.4 (



2. 曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1在点(1,-1)处的切线方程为 A. y ? 3 x ? 4 B. y ? ?3x ? 2 C. y ? ?4 x ? 3 (



D. y ? 4 x ? 5 )

3. 函数 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4

4. 已知函数 f ( x)在x ? 1处的导数为 3, 则f ( x) 的解析式可能为 A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) C. f ( x) ? 2( x ? 1) 2 D. f ( x) ? x ? 1 B. f ( x) ? 2( x ? 1)





5. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( (A)2 (B)3 (C)4 ) (D)5



6. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 是减函数的区间为(

(A) (2, ??) (B) ( ??, 2) (C) (??, 0) (D) (0, 2) 7. 若函数 f ?x? ? x 2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ? x ? 的图象是( y y y y )

o

x

o B

x

o C )

x

o D

x

A

8. 函数 f ( x) ? 2 x2 ? x3 在区间 [0 , 6] 上的最大值是( A.

1 3

32 3
3

B.

16 3

C. 12 (

D. 9 )

9. 函数 y ? x ? 3x 的极大值为 m ,极小值为 n ,则 m ? n 为 A.0 B.1
3

C.2

D.4 ) D. a ?

10. 三次函数 f ?x? ? ax ? x 在 x ? ?? ?,??? 内是增函数,则 ( A. a ? 0
3

B. a ? 0

C. a ? 1

11. 在函数 y ? x ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 A.3 B.2 C.1

? 的点中,坐标为整数的点的个数是 4
D.0

1 3





12. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( ) y y ? f ?( x) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个

(二)填空题 13. 曲线 y ? x 3 在点 ?1,1? 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角 形的面积为__________。 14. 已知曲线 y ?

b

a

O

x

1 3 4 x ? ,则过点 P (2, 4) “改为在点 P (2, 4) ”的切线方程是______________ 3 3

15. 已知 f ( n ) ( x) 是对函数 f ( x) 连续进行 n 次求导,若 f ( x) ? x6 ? x5 ,对于任意 x ? R ,都有 f ( n ) ( x) =0,则 n 的最少值为 。 16. 某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4 x 万元,要 使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. (三)解答题 17. 已知函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,当 x ? ?1 时,取得极大值 7;当 x ? 3 时,取得极小值.求这个极小值 及 a, b, c 的值.

18. 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a. (1)求 f ( x) 的单调减区间; (2)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

3 2 19. 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P

处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a, b, c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。

20. 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。

21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、宽、 高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

22. 已知函数 f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内各有一个极值点. 3 2

(1)求 a ? 4b 的最大值;

,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) 的图 (1) 当 a ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1
2

象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧进入另一侧) ,求函数 f ( x) 的表 达式.
强化训练答案: 1.A 2.B (一) 13. 3.D 4.A 填空题 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A

8 3

14.

y ? 4x ? 4 ? 0

15. 7

16.

20

(二) 17. 解:

解答题

f ' ?x? ? 3x 2 ? 2ax ? b 。
2

据题意,-1,3 是方程 3x

? 2ax ? b ? 0 的两个根,由韦达定理得

2a ? ?1? 3 ? ? ? ? 3 ? b ?? 1 ? 3 ? ? 3 ?
∴a ∴ ∵

? ?3, b ? ?9

f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c
f ?? 1? ? 7 ,∴ c ? 2

极小值

f ?3? ? 33 ? 3 ? 32 ? 9 ? 3 ? 2 ? ?25
? ?3, b ? ?9 , c ? 2 。

∴极小值为-25, a

18. 解: (1) 所以函数 (2)因为 所以

f ?( x) ? ?3x 2 ? 6x ? 9.



f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? 3,

f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1), (3,??).

f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a,

f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a,

f (2) ? f (?2).因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在[-1,2]上单调递增,又由于 f ( x) 在[-2,-1]
f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最大值和最小值.于是有 22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2.
因此

上单调递减,因此

故 即函数

f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2.

f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7,

f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最小值为-7.

19. 解: (1)因为函数 即t
3

f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 ,

? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 . g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
f ( x) , g ( x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ).

又因为



f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt.
? ?t 2 代入上式得 b ? t .
因此 c

将a (2)

? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .

y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )(x ? t ) .


y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减.
y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?
t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3



由题意,函数

y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3 3 3
又当 ? 9

? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??).

20. 解: (1)∵

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (2)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。

21. 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为

h?

18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3
从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 令V ' 当0
2

? ?

? ?0 ? x ? ?

3? ? 2?

(4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x).

?x? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 .
3 时, V ' ?x ? ? 0 , 2

? x ? 1 时, V ' ?x? ? 0 ;当 1 ? x ?

故在 x

? 1 处 V ?x ? 取得极大值,并且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值。

从而最大体积 V

? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3

? ?,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m.
3

答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3m 。 22. 解: (1)因为函数

f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内分别有一个极值点,所以 f ?( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 3 2

, , (1, 3] 内分别有一个实根, 在 [?11)
设两实根为 x1,x2 ( x1
2 ,则 x2 ? x1 ? a ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是 ? x2 )

x2 ? 3 ,即 a ? ?2 , b ? ?3 时等号成立.故 a 2 ? 4b 的最大值 0 ? a2 ? 4b ≤ 4 , 0 ? a2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1,
是 16. (2)解法一:由

f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线 l 的方程是

2 1 y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ? ? a , 3 2
因为切线 l 在点 所以 g ( x)

A(1,f ( x)) 处空过 y ? f ( x) 的图象,

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x)

?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

g?( x) ? x2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) .
若1 ?

?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点.
? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

所以 1 ? ?1 ? a ,即 a

1 3 x ? x2 ? x . 3

解法二:同解法一得 g ( x)

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 3 2 1 3a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2

因为切线 l 在点 ( m1 当 m1

A(1,f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象,所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,于是存在 m1,m2

. ? 1 ? m2 )

? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 .
3a ? ? 3a ? ? x 2 ? ?1 ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2? ?

或当 m1

设 h( x ) ?

当 m1

? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 .
? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ?1 ? 1 ?

或当 m1

由 h(1) ? 0 知 x 所以 a

3a ?0, 2

? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

高考试题分类汇编:导数
1. 【重庆理 8 】设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数

y ? xf ?( x) 的图象可能是

2.【陕西 9】设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x



) B.x=

1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 3.【辽宁 8】函数 y= (A) ( ? 1,1]

D.x=2 为 f(x)的极小值点

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
(B) (0,1] (C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

4.【福建 12】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.【辽宁 12】已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,
2

两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C)

?4

(D)

?8

6.【新课标 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 7.【北京 18】 (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。

8.【江苏 18】 (16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

9.【天津 20】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 错误!未找到引用源。其中 a>0. 3 2

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若函数 f ( x ) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围

10.【高考福建 22】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax sin x ?

? ?3 3 ? ?? ( a ? R ), 且在 , ? 0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。

11【新课标 21】(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

12.【重庆 17】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

(1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值.

13.【安徽 17】 (本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

14.【全国文 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值。

15.【山东文 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x ex


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