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导数概念及运算导学案


第三章 导数及其应用 学案 13 导数的概念及运算
导学目标:1.了解导数概念的实际背景,理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义,求函数 y=C (C 为常 1 数),y=x,y=x2,y= ,y= x的导数.熟记基本初等函数的导数公式(c,xm (m 为有理数), x x x sinx,cosx,e

,a ,lnx,logax 的导数),能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算 法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b))的导数.

自主梳理 1.函数的平均变化率 一般地,已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx=x1-x0,Δy=y1- Δy y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当 Δx≠0 时,商________________________= 称作函 Δx 数 y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平均变化率. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 函数 y=f(x)在点 x0 处的瞬时变化率______________通常称为 f(x)在 x=x0 处的导数,并 记作 f′(x0),即______________________________. (2)几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 过 曲 线 y = f(x) 上 点 (x0 , f(x0)) 的 ____________. 导函数 y=f′(x)的值域即为__________________. 3.函数 f(x)的导函数 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是可导的,就说 f(x)在开区间(a,b)内可导, 其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作 f(x)的导函数,记作____________. 4.基本初等函数的导数公式表 原函数 f(x)=C f(x)=xα (α∈Q*) F(x)=sinx F(x)=cosx f(x)=ax (a>0,a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,a≠1,且 x>0) f(x)=lnx 导函数 f′(x)=______ f′(x)=______ (α∈Q*) f′(x)=__________ f′(x)=____________ f′(x)=____________(a>0, a≠1) f′(x)=________ f′(x)=__________(a>0, a≠1, 且 x>0) f′(x)=__________

5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=__________; (2)[f(x)g(x)]′=______________; f?x? ? (3)? ?g?x??′=______________[g(x)≠0]. 6.复合函数的求导法则:设函数 u=φ(x)在点 x 处有导数 ux′=φ′(x),函数 y=f(u)在 点 x 处的对应点 u 处有导数 yu′=f′(u),则复合函数 y=f(φ(x))在点 x 处有导数,且 y′x= y′u· u′x,或写作 f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).

自我检测 Δy 1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则 为( ) Δx 1 1 A.Δx+ +2 B.Δx- -2 Δx Δx 1 C.Δx+2 D.2+Δx- Δx 2.设 y=x2· ex,则 y′等于 ( ) 2 x x A.x e +2x B.2xe C.(2x+x2)ex D.(x+x2)· ex 1 1 3.(2010· 全国Ⅱ)若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的 2 2 面积为 18,则 a 等于 ( ) A.64 B.32 C.16 D.8 - 4.(2011· 临汾模拟)若函数 f(x)=ex+ae x 的导函数是奇函数,并且曲线 y=f(x)的一条切 3 线的斜率是 ,则切点的横坐标是 ( ) 2 ln2 A.- B.-ln2 2 ln2 C. D.ln2 2 π π 5.(2009· 湖北)已知函数 f(x)=f′( )cosx+sinx,则 f( )=________. 4 4

探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数; x 1 (2)f(x)= . x+2

变式迁移 1 求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率,并求出其导函数.

探究点二 导数的运算 例 2 求下列函数的导数: 1 lnx (1)y=(1- x)?1+ ?;(2)y= ; x x? ? x (3)y=xe ;(4)y=tanx.

变式迁移 2 求下列函数的导数: lnx (1)y=x2sinx;(2)y=3xex-2x+e;(3)y= 2 . x +1

探究点三 求复合函数的导数 例 3 (2011· 莆田模拟)求下列函数的导数: 1 (1)y=(1+sinx)2;(2)y= ; 1+x2 (3)y=ln x2+1;(4)y=xe1
-cosx

.

变式迁移 3 求下列函数的导数: 1 (1)y= ; ?1-3x?4 π? (2)y=sin2? ?2x+3?; (3)y=x 1+x2.

探究点四 导数的几何意义 1 4 例 4 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程.

变式迁移 4 求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程.

1.准确理解曲线的切线,需注意的两个方面: (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,若直线与曲线只有一个公共点,则 直线不一定是曲线的切线,同样,若直线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个 以上的公共点. (2)曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线 y=x3 在其过(0,0)点的切线 y=0 的两侧. 2.曲线的切线的求法: 若已知曲线过点 P(x0,y0),求曲线过点 P 的切线则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点 两种情况求解. (1)点 P(x0,y0)是切点的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (2)当点 P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P′(x1,f(x1)); 第二步:写出过 P′(x1,f(x1))的切线方程为 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1); 第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1; 第四步:将 x1 的值代入方程 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点 P(x0,y0)的切线方程.

3.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算, 再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,联 系基本初等函数求导公式,对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) f?1-2Δx?-f?1? 的值为( ) Δx ?x ?0 A.10 B.-10 C.-20 D.20 2 2.(2011· 温州调研)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x) 的零点所在的区间是 ( ) 1.已知函数 f(x)=2ln(3x)+8x,则 lim

1 1? A.? ?4,2? 1 ? C.? ?2,1?

B.(1,2) D.(2,3)

3.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 4 4.(2010· 辽宁)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α e +1 的取值范围是( ) π π π? π 3π? 3π ? ? A.? B.? C.? D.? ?0,4? ?4,2? ? 2, 4 ? ? 4 ,π? 5 . (2011· 珠海模拟 )在下列四个函数中,满足性质:“对于区间 (1,2)上的任意 x1, x2 (x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有 ( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=|x| x C.f(x)=2x D.f(x)=x2 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 3 6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为 3 2 零的时刻是__________. 7.若点 P 是曲线 f(x)=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ________. x3 8.设点 P 是曲线 y= -x2-3x-3 上的一个动点,则以 P 为切点的切线中,斜率取得 3 最小值时的切线方程是__________________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)求下列函数在 x=x0 处的导数.

ex ex + ,x0=2; 1- x 1+ x x-x3+x2lnx (2)f(x)= ,x0=1. x2 (1)f(x)=

10.(12 分)(2011· 保定模拟)有一个长度为 5m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿 地板以 3m/s 的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚 1.4m 时,梯子上端下滑的速度.

1 11.(14 分)(2011· 平顶山模拟)已知函数 f(x)= x2-alnx(a∈R). 2 (1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

自主梳理

f ( x0 ? △x) ? f ( x0 ) △x △y △y f '( x0 ) ? lim 2.(1) lim △x ? 0 △ x △x ? 0 △ x
1. 3.y′或 f′(x) 4.0 αxα
-1

(2)切线的斜率 切线斜率的取值范围

1 1 xln a x 5.(1)f′(x)± g′(x) (2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3) [g?x?]2 自我检测 1.C 2.C 3.A 4.D 5.1 π 解析 ∵f′(x)=-f′( )sin x+cosx, 4 π ∴f′( )= 2-1. 4 π ∴f( )=1. 4 课堂活动区 cosx -sinx axlna ex Δy 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式 中的分母 Δx 这一因式约掉 Δx 才可能求出极限,所以目标就是分子中出现 Δx,从而分子分母相约分. (2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”. “有理化”是处理根式问题常用的方法, 有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”. (3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别: 例 1

( f ( x0 ? △x) ? f ( x0 ) ; △x ?0 △x f ( x ? △x) ? f ( x) f '( x) ? lim ; △x ?0 △x f '( x0 ) ? lim

(4)用导数的定义求导的步骤为: Δy ①求函数的增量 Δy;②求平均变化率 ;③化简取极限. Δx Δy f?1+Δx?-f?1? 解 (1) = Δx Δx

1 ?1 1 ? △x = △x 1 ? 1 ? △x


△x 1 ? △x ?△x = △x( 1 ? △x ? 1 ? △x) ?1 = , 1 ? △x ? 1 ? △x △y ?1 ? lim ∴ f '(1) ? lim △x ?0 △x △x ?0 1 ? △x ? 1 ? △x
1 =- . 2 Δy f?x+Δx?-f?x? (2) = Δx Δx

?

1 ? (1 ? △x) △x 1 ? △x (1 ? 1 ? △x )

1 1 ? = x ? 2 ? △x x ? 2 △x
?x+2?-?x+2+Δx? Δx?x+2??x+2+Δx? -1 = , ?x+2??x+2+Δx? = ∴ f '( x) ? lim 1 =- . ?x+2?2 变式迁移 1 解 ∵Δy= ?x0+Δx?2+1- x2 0+1 ?x0+Δx?2+1-x2 - 1 0 = ?x0+Δx?2+1+ x2 0+1 2 2x0Δx+?Δx? = , ?x0+Δx?2+1+ x2 0+1 2x0+Δx Δy ∴ = . Δx ?x0+Δx?2+1+ x2 0+1

△y ?1 ? lim △x ?0 △x △x ?0 ( x ? 2)( x ? 2 ? △x)

2 x0 ? △x △y ? 2 △x ( x0 ? △x)2 ? 1 ? x0 ?1 △y 2 x ? △x ∴y'= lim ? lim △x ?0 △x △x ?0 ( x ? △x)2 ? 1 ? x 2 ? 1
∴ 2x x = 2 . 2 2 x +1 x +1 例 2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及 其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征, =

紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形. 1 解 (1)∵y=(1- x)?1+ ? x? ? =
? 1 - x= x 2 ? x 2 , x 1 1

∴y′= ( x ) '? ( x ) '

?

1 2

1 2

1 ?3 1 ?1 x 2 ? x 2. 2 2 ln x ?ln x?′x-x′ln x ? (2)y′=? ? x ?′= x2 1 ?x ? ln x 1 ? ln x = x . ? 2 x x2
=?

(3)y′=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1). sinx ? ?sinx?′cosx-sinx?cosx?′ (4)y′=? ?cos x?′= cos2x cosxcosx-sinx?-sinx? 1 = = 2 . cos2x cos x 变式迁移 2 解 (1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsin x+x2cosx. (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3· ex+3xex-2xln2 =(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. ?lnx?′?x2+1?-lnx?x2+1?′ (3)y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-lnx· 2x 2 x x +1-2x2lnx = = . ?x2+1?2 x?x2+1?2 例 3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为: 分解复合关系 → 分解复合关系 → 分层求导 (2)由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键 是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函 数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 解 (1)y′=[(1+sin x)2]′ =2(1+sin x)· (1+sin x)′ =2(1+sin x)· cos x =2cosx+sin2x. (2)y′= ? (1 ? x )
2

? ?

?

1 2

? ?′ ?

? (1 ? x ) ?(1 ? x 2 ) '
2

?

3 2

? ? x(1 ? x 2 )

?

3 2

??

x (1 ? x ) 1 ? x 2
2

(3)y′=(ln x2+1)′ 1 = 2 · ( x2+1)′ x +1

1 1 1 2 · (x2+1)- · (x +1)′ 2 2 x +1 x = 2 . x +1 =
2

(4) y ' ? ( xe1?cos x ) ' ? e1?cos x ? x(e1?cos x ) ' ? e1?cos x ? x[e1?cos x ?(1 ? cos x) '] ? e1?cos x ? xe1?cos x ? sin x ? (1 ? x sin x)e1?cos x .
变式迁移 3 解 (1)设 u=1-3x,y=u 4. - 则 yx′=yu′· ux′=-4u 5· (-3) 12 = . ?1-3x?5 π (2)设 y=u2,u=sinv,v=2x+ , 3 则 yx′=yu′· uv′· vx′=2u· cosv· 2 π π ? cos?2x+ ? =4sin? 3? ?2x+3?· ? 2 π ? =2sin? ?4x+ 3 ?.


(3)y′=(x 1+x2)′ =x′· 1+x2+x( 1+x2)′ 1+2x2 x2 = 1+x2+ = . 1+x2 1+x2 例 4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的 差异;过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的 切线,必以点 P 为切点. (2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可. (3)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决. 解 (1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? 则切线的斜率 k=y′|x ?x0,3x0+3?, 3 3 2 =x0=x0. 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? ?3x0+3?=x0(x-x0), 2 3 4 即 y=x2 0x- x0+ . 3 3 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3 3 2 3 2 2 即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0),则 切线的斜率为 k=x2 1, 0=1,解得 x0=±

5? 故切点为? ?1,3?,(-1,1). 5 故所求切线方程为 y- =x-1 和 y-1=x+1, 3 即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0. 变式迁移 4 解 f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为 y=2x. 2 2 (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有 y0=x3 0-3x0+2x0,k=f′(x0)=3x0-6x0 +2,① y0 又 k= =x2 -3x0+2,② x0 0 3 1 由①②得 x0= ,k=- . 2 4 1 ∴所求曲线的切线方程为 y=- x. 4 3 2 综上,曲线 f(x)=x -3x +2x 过原点的切线方程为 1 y=2x 或 y=- x. 4 课后练习区 1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.1 秒或 2 秒末 7. 2 8.12x+3y+8=0 2ex ?2ex?′?1-x?-2ex?1-x?′ 9.解 (1)∵f′(x)=?1-x?′= ? ? ?1-x?2 x 2?2-x?e = ,∴f′(2)=0.………………………………………………………………(6 分) ?1-x?2 3 (2)∵f′(x)=(x- )′-x′+(lnx)′ 2 3 5 1 3 =- x- -1+ ,∴f′(1)=- .……………………………………………………(12 分) 2 2 x 2 10.解 设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米, 则 s=5- 25-9t2, 当下端移开 1.4m 时, ……………………………………………………………………(3 分) 1.4 7 t0= = ,……………………………………………………………………………(5 分) 3 15 1 1 又 s′=- (25-9t2)- · (-9· 2t) 2 2 1 =9t· , …………………………………………………………………………(10 分) 25-9t2 7 1 所以 s′(t0)=9× · 15 7 ?2 25-9×? ?15? =0.875 (m/s). 故所求的梯子上端下滑的速度为 0.875m/s.…………………………………………… (12 分) a 11.解 (1)因为 f′(x)=x- (x>0),……………………………………………………(2 x 分) 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,

2-aln2=2+b, ? ? 所以? a ……………………………………………………………(5 分) ? ?2-2=1, 解得 a=2, b=-2ln2.……………………………………………………………………(7 分) (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数, a 则 f′(x)=x- ≥0 在(1,+∞)上恒成立,……………………………………………(10 x 分) 即 a≤x 在(1,+∞)上恒成立. 所以有 a≤1.????????????????????????????? (14 分)
2


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