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三角函数对称轴与周期


三角函数与平面向量
第一讲
一、选择题 1.(2010·全国Ⅰ)记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°= A. C. 1-k2 k k 1-k2 B.- D.- 1-k2 k k 1-k2 1-k2 ,而 tan 100° k ( )

三角函数的图象及性质

解析:∵cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°= 1-k2,∴tan 80°= =-tan 80°=- 答案:B 1-k2 ,故选 B. k

5π 5π 2.(2010·浙江第二次五校 联考)已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin 6 ,cos 6 ?,则角 α ? ? 的最小正值为 5π A. 6 2π B. 3 5π C. 3 11π D. 6 ( )

5π 1 5π 3 解析:∵sin = ,cos =- , 6 2 6 2

?cos α=2, ∴? 3 ?sin α=- 2 ,
π ∴α=- +2kπ,k∈Z. 3 ∵α>0,∴αmin= 答案:C 5π .故选 C. 3

1

3.(2009·海南、宁夏卷)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 7π f?12?= ? ? A.0 B.1 ( )

C.2

1 D. 2

2 5π π 2π 解析:由图象知最小正周期 T= ? 4 -4?= , ? 3 3? π π T T π ∵f?4?=0,∴f?4+2?=0,又 = , ? ? ? ? 2 3 7π π π π T ∴f?12?=f?4+3?=f?4+2?=0. ? ? ? ? ? ? 答案:A

[来源:学科网 ZXXK]

4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

l l l 解析: AP =l,当 0≤l≤π,d=2sin ,当 π<l≤2π,d=2·sin?π-2?=2sin ,∴d= ? ? 2 2 l 2sin , 0≤l≤2π. 2 答案:C π 4π 5.(2010·辽宁)设 ω>0,函数 y=sin?ωx+3?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重 ? ? 3 合,则 ω 的最小值是 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2 D.3 ( )

4π π 右移 个单位 解析:y=sin?ωx+3?+2― ― ― y1 ― 3― → ? ?

4π π =sin?ω?x- 3 ?+3?+2, ? ?

?

?

[来源:学_科_网][来源:学|科|网 Z|X|X|K]

π 4π 即 y1=sin?ωx+3- 3 ω?+2, ? ? 又 y 与 y1 的图象重合 ,

4π 则- ω=2kπ(k∈Z), 3 3 ∴ω=- k,又 ω>0,k∈Z, 2 3 ∴k=-1 时 ω 取最小值为 .故选 C. 2 答案:C 二、填空题 6.已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________. 解析:f(x)=sin2x-sin xcos x 1 1 = (1-cos 2x)- sin 2x 2 2 =- π 1 2 ? sin?2x+4?+ , ? 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

2π ∴T= =π. 2 答案:π 7.(2009·海南)y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图,则 φ=________.

3π 5π 2π 5π 4 解析:T=2?2π- 4 ?= ,即 w = 则 ω= ; ? ? 2 2 5 3π 3π 3π 3π 9π 当 x= 时,ωx+φ= ,即 +φ= ,解得:φ= . 4 2 5 2 10 9π 答案: 10 2 2 8.函数 f(x)= 3 cos x+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 5 5 2 π 2 2 解析:f(x)= 3cos x+sin x=2sin?5x+3?, ? ? 5 5 2π T 5π ∴周期为 T= =5π,则相邻的对称轴间的距离为 = . 2 2 2 5 5π 答案: 2 9.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是________.

解析:数形结合法:f(x)=
?3sin x, ? ? ? ?-sin x,

x∈[0,π], x∈(π,2π].

由图象知 1<k<3. 答案:1<k<3 三、解答题 1 2 10.(2010·苏北四市二模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ?2,cos θ?在角 α 的终边上, ? ? 1 → → 点 Q(sin2θ,-1)在角 β 的终边上,且OP·OQ=- .,(1)求 2 (1)求 cos 2θ 的值; (2)求 sin(α+β)的值. 1 1 1 1 1 → → 解: (1)因为OP·OQ=- ,所以 sin2θ-cos2θ=- ,,即 (1-cos 2θ)-cos2θ=- , 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 所以 cos2θ= ,,所以 cos 2θ=2cos2θ-1= .,(2)因为 cos2θ= ,所以 sin2θ= ,所以点 P?2,3?,点 ? ? 3 3 3 3 1 Q?3,-1?. ? ? 1 2 又点 P?2,3?在角 α 的终边上,所以 ? ? 4 3 sin α= ,cos α= . 5 5 -3 10 10 同理 sin β= ,cos β= , 10 10 所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 4 10 3 ? 3 10? 10 = × + × =- . 5 10 5 ?- 10 ? 10 11.(2010·广东)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 取得最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f?3α+12?= ,求 sin α. ? ? 5 π 时 12

2π 解:(1)T= . 3 π (2)由题设可知 A=4 且 sin?3×12+φ?=1, ? ? π π π 则 φ+ = +2kπ,得 φ= +2kπ(k∈Z). 4 4 2 π π ∵0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)=4sin?3x+4?. ? ? 4 2 π π 12 (3)∵f?3α+12?=4sin?2α+2?=4cos 2α= , ? ? ? ? 5 1 1 3 ∴cos 2α= ,∴sin2α= (1-cos 2α)= , 5 2 5 ∴sin α=± 5 . 5
[来源:学科网 ZXXK]

π 12.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函 4 数 y=f(x)+g(x)的图象在(0,π) 内所有交点的坐标. 2π π 解:(1)由图知 A=2,T=π,于是 ω= =2,将 y=2sin 2x 的图象向左平移 ,得 T 12 y=2sin(2x+φ)的图象. π π π 于是 φ=2· = ,∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? 12 6 π π (2)依题意得 g(x)=2sin?2?x-4?+6? ? ? ? ? π =-2cos?2x+6?. ? ? π π 故 y=f(x)+g(x)=2sin?2x+6?-2cos?2x+6? ? ? ? ? π =2 2sin?2x-12?. ? ?

?y= 6 ? π? 3 ? 由? ?2x- π ? 得 sin?2x-12?= 2 . ? 12? ?y=2 2sin?
π 2π π π ∴2x- = +2kπ 或 2x- = +2kπ(k∈Z) 12 3 12 3

5π 3π ∴x= +kπ 或 x= +kπ 24 8 ∵x∈(0,π) 5π 3π ∴x= 或 x= 24 8 5π 3π ∴交点坐标为?24, 6?,? 8 , 6?. ? ? ? ?



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