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高二数学第13次考试数学(理)周测试题


高二上学期期末考试数学(理)(周测试题)
一、选择题: 1.给出命题 p: “若 AB ? BC ? 0 ,则△ABC 为锐角三角形” ;命题 q: “实数 a,b,c 满足 b =ac, 则 a,b,c 成等比数列” ,那么下列结论正确的是( A.p∧q 与 p∨q 均为真 C.p∧q 与 p∨q 均为假
2
2

)

B.p∧q 为真,p∨q 为假 D.p∧q 为假,p∨q 为真

2.不等式 ax ? bx ? 4 ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 ?,则 ab 的值为( A. -2 B. -3 C. -4 D.

?

) -5

3.在 ?ABC 中, tan A 是等差数列 ?an ? 的公差,且 a3 ? ?4,a7 ? 4 , tan B 是等比数列 的公比,且 b3 ?

1 , b6 ? 9 ,则此三角形是( 3
B. 锐角三角形

) C. 等腰三角形 D. 直角三角形

A. 钝角三角形

4.已知向量 a ? (1,1,0),b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( A. 1 B.



1 5

C.

3 5

D.

7 5
)

5.数列 {a n } 的通项公式为 a n ? A. 25 B. 576

1 n ? n ?1

, 若 {a n } 前 n 项和为 24, 则 n 为( C. 624 D. 625

6.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别 是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( A. arccos )

15 5

B.

? 4

C. arccos

10 5

D.

? 2

?x ? 0 ? 7.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫 ?y ? x ? 2 ?
过 A 中的那部分区域的面积为 ( )
第 1 页 共 9 页

A.

3 4
x2 2m 2 ? y2 n2

B.
x2

1
y2 2n 2

C.

7 4

D. 5

8.椭圆 A.

? 1 与双曲线

m2

?

? 1 有公共焦点,则椭圆的离心率是(



2 2
2

B.

15 3
2

C.

6 4
2

D.

30 6

9. ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin B sinC ? sin C ,则 A 等于( A. 135 B。 120 C。



45

D。 60 )

10. {an}是递增数列,且 an ? n 2 ? ?n(n ? N ? ) 则实数 ? 的取值范围是( A. (?
7 ,+∞) 2
x2 a2 ?

B. (0,+∞)
y2 b2

C. (-2,+∞)

D. (-3,+∞)

11.已知双曲线

? 1 的离心率 e ? [ 2 ,2] .双曲线的两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线

的角记为 ? ,则 ? 的取值范围是(
?? ? ? A. ? , ? ?6 2? ?? ? ? B. ? , ? ?3 2?


? ? 2? ? C. ? , ? ?2 3 ? ? 2? ? D. ? , ? ? ? 3 ?

12.已知 a , b ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的实根 x1 和 x 2 满足-1≤ x1 ≤1,1≤ x 2 ≤2,则在平面 直角坐标系 aob 中,点( a , b )所表示的区域内的点 P 到曲线 (a ? 3) 2 ? (b ? 2) 2 ? 1 上的点 Q 的距离|PQ|的 最小值为( A.3 2 -1 二、填空题: 13.在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1C ? BC1 ? O ,若 AO ? x AB? y AD? z AA1 ,则
? ? ? ?

) B.2 2 -1 C.3 2 +1 D.2 2 +1

x ? y ? z 等于



14. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ?

a1 (3n ? 1) (对于所有 n ? 1, n ? N ? ) ,且 a4 ? 54 , 2

a1 ?


2

15.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y ? x 上移动,则线段 AB 中点到 y 轴的最小距离 是 。
第 2 页 共 9 页

16.设 M 是△ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 ,∠BAC=30?,定义 f(M)=(m,n,p), 其中 m、n、p 分别是△MBC、△MCA、△MAB 的面积,若 f(M)=( ,x,y),则 ? 的最小值为 .
?

?

?

1 2

1 x

4 y

三、解答题:本大题共 6 题,共 74 分。 17.(本小题满分 12 分)在停机坪 A 处的南偏西 20 方向上 有一个观察站 C。有一天,观察站 C 发现在 A 处的南偏东 A D C

40 方向与 C 距离 31 千米的 B 处有一龙卷风正以
B 2 分钟后 C 测得龙卷风到达 AB 连线上与 C 相距 21 千米的 D 处(如图) ,若 C 发出警报后 A 处飞机要经过 3 分钟才能飞离 A 地,问龙卷风到达 A 处时,A 处飞机能否飞离 A 地?
10千米 / 分钟 的速度向 A 处袭来,便立刻向 A 处发出警报,

?

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (??,??) 上 的 增 函 数 , 若 不 等 式
f (1 ? ax ? x 2 ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A, B 两
2

点。 (Ⅰ)求证: “若直线 l 经过点 T (3,0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题; (Ⅱ)写出⑴中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 20.(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面四边形 ABCD 是正方形,侧棱
? ?

PD ? 底面 ABCD , PD ? DC, E 是 PC 的中点。
(Ⅰ)证明: PA // 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ? 平面 DEF ?并证明你的结论。

第 3 页 共 9 页

P

E

D

C

A

B

21. (本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 同时满足下列三个条件: ① a1 ? a6 ? 33; ② a3 a4 ? 32 ; ③三个数 4a2 ,2a3 , a4 依次成等差数列。 (Ⅰ)试求数列 {an } 的通项公式;

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; an S ?S (Ⅲ)设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,证明 n 2 n ? 2 ? 1 。 S n?1
(Ⅱ)记 bn ? 22 、 ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 点 P ( 4 , 4 ) , 圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与 椭 圆 E :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1) ,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 a 2 b2

C 相切.
(Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程 (Ⅱ) 设 Q 为椭圆 E 上的一个动点, 求 AP ? AQ 的取值范围.

y

P

A F2

F1
第 4 页 共 9 页

O

C Q

x

数学周测(理)参考答案

而在 ?ABC 中,由余弦定理得, ( x ? 20) 2 ? y 2 ? 2( x ? 20) y cos60? ? 312 ,
2 2 即 x ? y ? xy ? 40x ? 20y ? 561 ②②—①得 y ? 2 x ? 6 ,代入①得 x ? 6 x ? 135 ? 0 ,得
2

x ? 15(km) 即龙卷风由 D 到 A 至少需要经过 1.5 分钟才能到达 A 处,即发出警报后龙卷风至少
要经过 3.5 分钟才能到达 A 处,故当龙卷风到达 A 处时飞机能飞离 A 地??? 18 题:因为 f ( x) 是增函数,且 f (1 ? ax ? x 2 ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立, 所以 1 ? ax ? x ? 2 ? a 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,即 x ? ax ? 1 ? a ? 0 对于任意 x ? ?0,1? 恒
2 2

成立 ① 当?

令 g ( x) ? x ? ax ? 1 ? a, x ? ?0,1?,
2

a ? 0 即 a ? 0 时, g ( x) min ? g (0) ? 1 ? a ? 0 得 0 ? a ? 1 ; 2
a a a2 ? 1 即 ? 2 ? a ? 0 时, g ( x) min ? g (? ) ? ? ? a ?1 ? 0 得 ? 2 ? a ? 0 2 2 4

② 当0 ? ?

第 5 页 共 9 页

? y ? k ( x ? 3) 6k 2 ? 2 2 2 2 2 x ? x ? , x1 x2 ? 9 , ,所以 。所以 k x ? ( 6 k ? 2 ) x ? 9 k ? 0 ? 2 1 2 k2 ? y ? 2x
所以 OA? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? k ( x1 ? 3)k ( x 2 ? 3)
? ?

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 9(1 ? k 2 ) ? 3k 2
综上所述,若直线 l 经过点 T (3,0) ,那么 OA ? OB ? 3
? ?

6k 2 ? 2 ? 9k 2 ? 3 , k2

2 (Ⅱ)逆命题:直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 3 ,

?

?

则该直线过点 T (3,0) 该命题是假命题 列举一反例即可。例如:在抛物线 y ? 2 x 上取点 A(2,2) ,
2

第 6 页 共 9 页

因为 PA? n1 ? 0, 所以 PA ? n1 ,又 PA ? 平面 BDE,所以 PA // 平面 BDE (Ⅱ) 因为 n2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量。 设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? , 则 cos? ? cos ? n1 , n 2 ??
? ?
? ?

?

?

?

?

n1 ? n2 n1 ? n2
?

?

?

?

?

?

3 3 ,故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为 3 3
? ?

(Ⅲ)因为 PB ? (2,2,?2), DE ? (0,1,1) ,所以 PB? DE ? 0, 所以 PB ? DE . 假设棱 PB 上存在点 F 使 PB ? 面DEF ,设 PF ? ? PB(0 ? ? ? 1) , 则 PF ? (2? ,2? ,?2? ), DF ? DP? PF ? (2? ,2? ,2 ? 2? ) ,
2 2 由 PF ? DF ? 0 ,得 4? ? 4? ? 2? (2 ? 2? ) ? 0 ,
? ?

?

?

?

?

?

?

?

所以 ? ?

1 1 1 ? ?0,1? ,此时 PF ? PB ,即在棱 PB 上存在点 F,且 PF ? PB , 3 3 3

使得 PB ? 面DEF

第 7 页 共 9 页

?a ? 32 ?a1 (1 ? q 5 ) ? 33 ? ?a1 ? 1 ? 1 或? 21 题答案: (Ⅰ)由 ? 得? 1 , 2 5 q?2 ?q? ? a1 q ? 32 ? 2 ? ?
所以 an ? 2
n ?1

?1? 或an ? 32 ? ? ? ? 2?

n ?1

当 an ? 2 n?1 时, 4a2 ? a4 ? 16,4a3 ? 16,所以 4a2 ,2a3 , a4 成等差数列; 当 a n ? 32 ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

时 , 4a2 ? a4 ? 4a3

舍 去 。 所 以 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为

an ? 2 n?1

第 8 页 共 9 页

椭 圆 E 的方程为:
x y ? ? 1 . ????????????????????????6 分 18 2
2 2

(Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1

, ??????????????????? 9

AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .
分 ∵
x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , 18 2

而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 分

???????????????? 11

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

第 9 页 共 9 页


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