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泰州市2015届高三第二次模拟考试高三数学试卷(word)


泰州市 2015 届高三第二次模拟考试 数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人:张 俊 朱占奎 张圣官 龚才权 丁连根 审题人:丁凤桂 石志群 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. (参考公式:柱体体积公式为 V ? Sh ) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答

题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.若复数 (a ? 2) ? i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a = ▲ . ▲ .

2.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A U B ? {1, 2,3, 4} ,则 A I B ?

3.某高中共有 1200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样 的方法从中抽取 48 人,那么高二年级被抽取的人数为 ▲ .

x2 y 2 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 4.已知双曲线 x ,则 m ? 4 m 2
5.执行右边的伪代码后,输出的结果是 ▲ . ▲





i ?1 x?4

While

i <10

x ? x ? 2i i ?i?3
. End While Print x 第 5 题图

6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 12π ,则该圆柱的高为

7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆中投掷一点,若此 点到圆心的距离大于

1 1 ,则周末看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则周末 2 4
▲ ▲ . .

打篮球;否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是 8.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? 9.已知函数 y ? ▲

x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值集合为


?x ? y ? 4 ≤ 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ≥ 0 ,则 z ? x ? y ? 3 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ≥ 0 ?
高三数学试卷第 1 页 共4页





11.设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ?

π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 3 6 uuur uuu r 轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ? ▲ .

12.若斜率互为相反数且相交于点 P(1,1) 的两条直线被圆 O : x2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长之

比为

6 ,则这两条直线的斜率之积为 2



. ▲

13. 若函数 f ( x) ? x2 x ? a 在区间 [0, 2] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是



14. 在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? AC ? 6, AD ? 4 ,若 ?ABC 的外心恰在线段

BD 上,则 BC ?





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2

(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值. 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在平面互相垂直, AE ? BE ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点. (1)求证: MN ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 ADE .
A D E

M B N C

17.(本题满分 14 分)
高三数学试卷第 2 页 共4页

如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m .在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决 定以 A 为圆心, 1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一条 公路 PQ ,点在公路 l 、 m 上(点 P 、Q 分别在点 O 的正东、正北) ,且要求 PQ 与圆 A 相 切. (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长;


Q
(2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.

A l m
18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

O

P



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,与 x 轴 a 2 b2

平行的直线与椭圆 E 交于 B 、C 两点,过 B 、C 两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线 相交于点 D .已知椭圆 E 的离心率为

5 4 5 ,右焦点到右准线的距离为 . 3 5

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值.

y D O x

A B C

高三数学试卷第 3 页

共4页

19.(本题满分 16 分) 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列,且满足 a1b1 ? a2b2 ? L ? an bn ? cn Sn ,

?

?

?

n ? N? ,其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?cn ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?)N? ,求证:对任意 nk ? (n ≥ 的 n ≥ 2, n ? N? ,数列 {
?

?

?

?

bn } 单调递减. an

20.(本题满分 16 分)
x 已知 f ( x) ? e ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 .

(1)当 a ? e 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: (3)求证: e
2 x ?2

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a ; a

? ex?1 ln x ? x ≥ 0 .

高三数学试卷第 4 页

共4页

泰州市 2015 届高三第二次模拟考试 数学试题(附加题)
(考试时间:30 分钟 满分:40 分)
21.( [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前 两题记分. A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 D , CA 是过圆心 O 的割线且交圆 O 于 B 点,过 B 作 圆 O 的切线交 CD 于点 E , DE ?

1 EC . 2
D E C

求证: (1) CA ? 3CB ; (2) CA ? 3CD .

A

O

B

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

? 0 1? ?0 2 ? ,矩阵 B ? ? ? ? ,直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的变 ? a 0? ?b 0 ?

换得到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)求直线 l 2 的方程.

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若直线 l 的极

?? ? 坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 . 4? ?
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上任一点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. 16 9

高三数学试卷第 5 页

共4页

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
2 已知不等式 a ? b ? 2c ≤| x ?1| 对于满足条件 a ? b ? c ? 1 的任意实数 a, b, c 恒成立,
2 2 2

求实数 x 的取值范围.

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了 5 名幸运之星.这 5 名幸运之星可获得 A 、 B 两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪 一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点) ,抛掷点数小 A B 3 3 于 的获得 奖品,抛掷点数不小于 的获得 奖品. (1)求这 5 名幸运之星中获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数的概率; (2)设 X 、 Y 分别为获得 A 、 B 两种奖品的人数,并记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分 布列及数学期望.

23.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? ( x ? x ? 1) ( n ? N ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式;
2 n
?

(1) 若 f ( x ) g ( x) ? g ( x ) 恒成立, 求 g (1) 和 g (?1) 的值; 并写出一个满足条件的 g ( x) 的
2 3

表达式,无需证明; (2)求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? L ? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .

泰州市 2015 届高三第二次模拟考试
高三数学试卷第 6 页 共4页

数学参考答案
一、填空题 1. 2 ; 6. 3 ; 2. {4} ; 7. 3. 16 ; 8. 64 ; 4. 2 ; 9. {1} ; 5. 28 ; 10. [1, 7] ;

3 ; 16

11. ?

8 ; 9

12. ?9 或 ?

1 ; 9

13. (??,0] U[3, ??) ;

14. 3 6 .

二、解答题 15. 解:(1) 因为 a / / b ,所以 ?

1 3 ? 2sin ? ? ? 2cos ? , 2 2

……………3 分

即 ? sin ? ? 3 cos? ,所以 tan ? ? ? 3 , 又 0 ? ? ? π ,所以 ? ? (2)因为 a ? b ? b ,所以 (a ? b)2 ? b2 ,化简得 a ? 2a ? b ? 0 ,
2

2 π .………7分 3

又 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) ,则 a 2 ? 1 , a ? b ? ? cos? ? 3sin ? , 2 2
1 π 1 ,则 sin(? ? ) ? ? ? 0 , 2 6 4
……………10 分

所以 3 sin ? ? cos ? ? ?

又 0 ? ? ? π , cos(? ? ) ?

π 6

15 , 4

所以 sin ? ? sin[(? ? ) ?

π 6

π π π π π 15 ? 3 ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ? . 6 6 6 6 6 8
……………14 分

16. 证: (1)取 BE 中点 F ,连接 CF , MF , 又∵ M 是 AE 中点,∴ MF / / AB, MF ? 又∵ N 是矩形 ABCD 边 CD 中点, ∴ MF / / NC , MF ? NC ,∴四边形 MNCF 是平行四边形, ……………4 分

1 AB , 2

∴ MN / / CF ,又 MN ? 面 BCE , CF ? 面 BCE ,∴ MN ∥平面 BCE .…7分
高三数学试卷第 7 页 共4页

(2)∵平面 ABCD ? 平面 ABE , BC ? AB ,∴ BC ? 平面 ABE ,…………9 分 ∵ AE ? 平面 ABE ,∴ BC ? AE , …………10 分 又 AE ? BE , BC I BE ? B ,∴ AE ? 平面 BCE , 而 AE ? 平面 ADE ,∴平面 BCE ? 平面 ADE . ……………14 分 17. 解:以 O 为原点,直线 l 、 m 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系. 设 PQ 与 圆 A 相 切 于 点 B , 连 结 AB , 以 1 百 米 为 单 位 长 度 , 则 圆 A 的 方 程 为

x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,
Q



(1)由题意可设直线 PQ 的方程为

x y ? ?1, 2 q
B A l m

即 qx ? 2 y ? 2q ? 0 , (q ? 2) , 因为 PQ 与圆 A 相切,所以 解得 q ?

2 ? 2q q ?2
2 2

? 1 ,……………3 分

O

P



8 8 ,故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 百米. ……………5 分 3 3

(2)设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ? 1, q ? 2) , p q
p ? pq q2 ? p2 ? 1 ,化简得 p 2 ?

因为 PQ 与圆 A 相切,所以

q , q?2
……8 分

则 PQ ? p ? q ?
2 2 2

q ? q2 , q?2

令 f (q) ?

q ? q 2 (q ? 2) , q?2

则 f ?(q) ? 2q ?

2 2(q ? 1)(q 2 ? 3q ? 1) (q ? 2) ,……………10 分 ? (q ? 2)2 (q ? 2)2

当2? q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 (2, ) 上单调递减; 2 2

高三数学试卷第 8 页

共4页

当q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 ( , ??) 上单调递增, 2 2 3? 5 时取得最小值, 2 3? 5 百米. 2
……………13 分

所以 f ( q ) 在 q ?

故当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为

答: (1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

8 百米; (2)当公路 PQ 长最短时, OQ 的 3
……………14 分

长为

3? 5 百米. 2 c 5 a2 4 5 , , ? ?c ? a 3 c 5
2 2

18. 解: (1)由题意得

……………2 分

解得 a ? 3, c ? 5 ,所以 b ? a ? c ? 2 ,所以椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 4
……………4 分

(2)设 B( x0 , y0 ), C( ?x0 , y0 ) ,显然直线 AB, AC, BD, CD 的斜率都存在,设为

k1 , k2 , k3 , k4 ,则 k1 ?

y0 y0 x ?3 x ?3 , k3 ? ? 0 , , k2 ? , k4 ? 0 x0 ? 3 ? x0 ? 3 y0 y0 x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 , y ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 ,…7 分 y0 y0

所以直线 BD, CD 的方程为: y ? ?

消去 y 得 ?

x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 ,化简得 x ? 3 , y0 y0
……………10 分
2 x0 ? 3 x0 ?9 (3 ? x0 ) ? y0 ? ? y0 , y0 y0

故点 D 在定直线 x ? 3 上运动. (3)由(2)得点 D 的纵坐标为 yD ?



x ?3 x y 9y 2 (3 ? x0 ) ? y ? ? 1, 所以 x0 ? 9 ? ? , 则 yD ? 0 0 ? y0 9 4 4
2 0 2 0 2 0

?

9 2 y0 4 ? y ??5 y , 0 0 y0 4

高三数学试卷第 9 页

共4页

所以点 D 到直线 BC 的距离 h 为 yD ? y0 ? ?

5 9 y0 ? y0 ? y0 ,……………12 分 4 4

将 y ? y0 代入

y2 x2 y 2 ? ? 1 得 x ? ?3 1 ? 0 , 9 4 4
2 y0 1 1 9 ? BC ? h ? ? 6 1 ? ? y0 2 2 4 4

所以 ?BCD 面积 S?BCD

……………14 分

?

y 1 27 27 1? ? y0 ≤ ? 2 4 2 2

2 0

1?

2 y0 y2 ? 0 2 2 4 4 ? 27 ,当且仅当 1 ? y0 ? y0 ,即 y ? ? 2 时等 0 2 4 4 4

号成立,故 y0 ? ? 2 时, ?BCD 面积的最大值为

27 . 4

……………16 分 ……………1 分

19.解: (1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1, 因为数列 an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? 则由 Sncn ? a1b1 ? a2b2 ?

?

? an , Sn ? na1 , ? bn ,

? anbn 及 cn ? 2n ? 1得 n(2n ?1) ? b1 ? b2 ?

当 n ≥ 2 时, (n ?1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ?

? bn?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 , ………3 分
…………4 分

当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3(n ? N? ) . (2)因为 a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ? cn Sn , ? an?1bn?1 ,两式相减得 Sncn ? Sn?1cn?1 ? anbn ,

当 n ≥ 2 时, Sn?1cn?1 ? a1b1 ? a2b2 ?

即 (Sn?1 ? an )cn ? Sn?1cn?1 ? anbn , Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? ?ncn ? ?nbn , 又 S n ?1 ? 即

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , …………6 分 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ≥ 3) ,…8 分 所以当 n ≥ 3 时, 2 2 3 所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 2
高三数学试卷第 10 页 共 4 页

又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 ,

(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 故数列 ?bn ? 是公差为 d 等差数列. …………10 分 2
当 n ? 2 时,由 b2 ? (3)由(2)得:当 n ≥ 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn?k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 Sn?1d ? an ? kd ,即 Sn?1 ? kan , 所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an , 当 n ≥ 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ? 1)an?1 ,

k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ≥ 2 时, an ? a2 ( k
即 an ?

……………………12 分

bn ? cn?k ? cn ? kd ? c1 ? (n ?1)k ? k 2 ? k ? (n ?1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,…………13 分
另外由已知条件得 (a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) , 所以 a2 ? 1 ,因而 an ? ( 令 dn ?

k ? 1 n?2 ) , k
……………………14 分

bn d b a (n ? k ? 1)k ,则 n ?1 ? n ?1 n ? , dn an ?1bn (n ? k )(k ? 1) an

因为 (n ? k ? 1)k ? (n ? k )(k ? 1) ? ?n ? 0 ,所以

d n?1 ? 1 ,所以对任意的 n ≥ 2, n ? N? , dn
……………16 分

数列 {

bn } 单调递减. an

20. 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,
x (1)当 a ? e 时, f ( x) ? e ? eln x ? e , f ?( x ) ? e ?
x

e , x

…………2 分

而 f ?( x ) ? e ?
x

e 在 (0, ??) 上单调递增,又 f ?(1) ? 0 , x
高三数学试卷第 11 页 共4页

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时 , f ?( x) ? f ? (1)? 0 , 则 f ( x ) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x ) 有 极 小 值

f (1) ? 0 ,没有极大值.
(2)先证明:当 f ( x) ≥ 0 恒成立时,有 0 ? a ≤ e 成立. 若0 ? x≤

…………4 分

1 ,则 f ( x) ? ex ? a(ln x ? 1) ≥ 0 显然成立; e
x x

1 e x (ln x ? 1 ? ) 1 e e x , 若 x ? ,由 f ( x) ≥ 0 得 a ≤ ,令 ? ( x) ? ,则 ? ?( x ) ? 2 (ln x ? 1) e ln x ? 1 ln x ? 1
1 1 1 1 1 ( x ? ) ,由 g ?( x) ? ? 2 ? 0 得 g ( x) 在 ( , ??) 上单调递增, x e x x e 1 1 又因为 g (1) ? 0 ,所以 ? ?( x ) 在 ( ,1) 上为负,在 (1, ?? ) 上为正,因此 ? ( x) 在 ( ,1) 上递 e e
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 减,在 (1, ??) 上递增,所以 ? ( x)min ? ? (1) ? e ,从而 0 ? a ≤ e . 因而函数 y ? f ( x) 若有两个零点,则 a ? e ,所以 f (1) ? e ? a ? 0 , 由 f (a) ? e ? a ln a ? a(a ? e)得 f ?(a) ? e ? ln a ? 2 ,则
a a

…………7 分

f ??(a) ? ea ?

1 1 1 ? ea ? ? e ? ? 0 , a e e

a e 2 所以 f ?(a) ? e ? ln a ? 2 在 (e, ??) 上单调递增, 所以 f ?(a) ? f ?(e) ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0 ,

所以 f (a) ? e ? a ln a ? a 在 (e, ??) 上单调递增,所以
a

f (a) ? f (e) ? ee ? 2e ? e2 ? 2e ? 0 ,则 f (1) f (a) ? 0 ,所以1 ? x2 ? a ,
由 a ? e 得 f ( ) ? e a ? a ln

1 a

1

1 1 1 1 ? a ? e a ? a ln a ? a ? e a ? a ln e ? a ? e a ? 0 ,则 a

1 1 1 f (1) f ( ) ? 0 ,所以 ? x1 ? 1 ,综上得 ? x1 ? 1 ? x2 ? a . a a a

…………10 分

x (3)由(2)知:当 a ? e 时, f ( x) ≥ 0 恒成立,所以 f ( x) ? e ? e ln x ? e ≥ 0 ,

高三数学试卷第 12 页 共 4 页

所以 g ( x) ? ex ? e ln x ≥ e , 设 h( x ) ?

…………11 分

x 1? x ( x ? 0) ,则 h?( x ) ? x , x e e

当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, 所以 h( x) ? 因而

x 1 x 1 ( x ? 0) 的最大值为 h(1) ? ,即 x ≤ , x e e e e
…………14 分

x e
x?2

≤e,
x

所以 g ( x) ? e ? e ln x ≥ e ≥

x e
x?2

,所以 e

2 x ?2

? ex?1 ln x ? x ≥ 0 .

………16 分

附加题参考答案
21.A.证: (1)∵ CD 是圆 O 的切线,∴ CD ? CA ? CB ,
2

连结 OD ,则 OD ? CD , ∵ BE 是圆 O 的切线,∴ BE ? DE , 又 DE ?
A O

D

E C

B

1 1 1 EC ,∴ BE ? EC ,∴ ?C ? 30 ,则 OD ? OC , 2 2 2 而 OB ? OD ,∴ CB ? BO ? OD ? OA ,∴ CA ? 3CB , …………5 分 1 1 2 (2)由 CA ? 3CB 得 CB ? CA ,代入 CD2 ? CA ? CB 得 CD ? CA ? CA , 3 3
故 CA ? 3CD . 21.B. 解: (1) BA ? ? ……10 分

0 2 ? ? 0 1 ? ? ? 2a 0 ? ?b 0 ? ?? ?a 0? ? ? ? 0 b? ? ?

设 P ( x, y ) 是 l1 上的任意一点,其在BA作用下对应的点为 ( x?, y?) , 得 l1 变换到 l3 的变换公式

ax ?xy????2by

,则 …………5 分

1 2ax ? by ? 4 ? 0 即为直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 ,则得 a ? , b ? ?1 . 2
高三数学试卷第 13 页 共 4 页

(2) B ? ?

0 2 ? ,同理可得 l 的方程为 2 y ? x ? 4 ? 0 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .………10 分 2 ? ?1 0 ? ? ?

?? 2 2 ? ? sin ? ? ? cos? ? 3 2 , 21.C. 解: (1) 直线 l 的极坐标方程 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 , 则 4? 2 2 ?
即 ? sin ? ? ? cos? ? 6 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ;…………5 分 (2) P 为椭圆 C : 线 l 的距离 d ?

x2 y 2 ? ? 1 上一点,设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,其中 ? ??0 ,2?? ,则 P 到直 16 9

4 3 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | | 5cos(? ? ? ) ? 6 | ? ,其中 cos ? ? , sin ? ? , 5 5 2 2
2 . 2
2 2 2

∴当 cos(? ? ? ) ? ?1 时,d 的最小值为
2

…………10 分

21.D. 解: 因为 (a ? b ? 2c) ≤ (1 ?1 ? 2)(a ? b ? c ) ? 4 , 所以 a ? b ? 2c ≤ 2 ,
2
2

…………5 分

又 a ? b ? 2c ≤| x -1| 对任意实数 a, b, c 恒成立, 故 | x ?1|≥ (a ? b ? 2c)max ? 2 , 解得 x ≤ ? 3或x ≥ 3 . 22. 解:这 5 名幸运之星中,每人获得 A 奖品的概率为 …………10 分

2 1 4 2 ? , B 奖品的概率为 ? . 6 3 6 3

(1)要获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数,则 A 奖品的人数可能为 3, 4, 5 ,则

1 5 17 . …………4 分 3 81 40 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 (2) ? 的可能取值为 1,3,5 ,且 P(? ? 1) ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ( ) ? , 3 3 3 3 81 1 2 10 1 1 2 4 P(? ? 3) ? C54 ( ) 4 ( ) ? C5 ( )( ) ? , 3 3 3 3 27 2 11 5 1 5 P(? ? 5) ? C50 ( )5 ? C5 ( ) ? , …………8 分 3 3 81
则所求概率为 P ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ?
3 3 2 4 4 5

1 3

2 3

1 3

2 3

所以 ? 的分布列是:

?

1

3

5

高三数学试卷第 14 页 共 4 页

P

40 81

10 27

11 81

故随机变量 ? 的数学期望 E? ? 1 ?

40 10 11 185 ?5 ? ? 3? ? . 81 27 81 81

…………10 分

23.解: (1)令 x ? 1 ,则 f (1) g (1) ? g (1) ,即 g (1) ? [ f (1) ? 1] ? 0 , 因为 f (1) ?1 ? 3n ?1 ? 0 ,所以 g (1) ? 0 ;
2 3 令 x ? ?1 ,则 f ? ?(?1) ? ? g (?1) ? g ? ?( ?1) ? ? ,即 f (1) g (?1) ? g (?1) ,

即 g (?1) ? [ f (1) ? 1] ? 0 ,因为 f (1) ?1 ? 3 ?1 ? 0 ,所以 g (?1) ? 0 ;…………3 分
n

例如 g ( x) ? a( x ?1) (n ? N ) (其中 a 为非零常数) .
2 n

?

……………4 分

(2)当 n ? 1 时, f ( x) ? x2 ? x ? 1 ? (1 ? x2 ) ? x ,故存在常数 a0 ? 1 , a1 ? 1 , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2 ) ? a1x .
?

……………5 分

假设当 n ? k ( k ? N )时,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, ak , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ? L ? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk ,即

( x2 ? x ?1)k ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ? L ? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk .
则当 n ? k ? 1 时,

f ( x) ? ( x2 ? x ? 1)k ?1 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)k
2k 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ? ( x 2 ? x ? 1) ? ? ? a0 (1 ? x ) ? a1 ( x ? x ) ? L ? ak ?1 ( x ? x ) ? ak x ? ?

? (a0 ? a1x ? L ? ak ?1xk ?1 ? ak xk ? ak ?1xk ?1 ? L ? a1x2k ?1 ? a0 x2k ) ?(a0 x ? a1x2 ? L ? ak ?1xk ? ak xk ?1 ? ak ?1xk ?2 ? L ? a1x2k ? a0 x2k ?1 ) ?(a0 x2 ? a1x3 ? L ? ak ?1xk ?1 ? ak xk ?2 ? ak ?1xk ?3 ? L ? a1x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ) ? a0 ? (a1 ? a0 ) x ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2 ? (a3 ? a2 ? a1 ) x3 ? L ? (ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ) xk ?1 ?
高三数学试卷第 15 页 共 4 页

?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ? (ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ?2 ? L ? ?(a3 ? a2 ? a1 ) x2k ?1 ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2k ? (a1 ? a0 ) x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ? a0 ( x ? x2k ?2 ) ? (a1 ? a0 )( x ? x2k ?1 ) ? (a2 ? a1 ? a0 )( x2 ? x2k ) ? L ?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 )( xk ? xk ?2 ) ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ;
令 a0 ' ? a0 , a1 ' ? a0 ? a1 , am ' ? am?2 ? am?1 ? am ( 2 ≤ m ≤ k ) , ak ?1 ' ? 2ak ?1 ? ak ; 故存在与 x 无关的常数 a0 ' , a1 ' , a2 ' ,…, ak ' , ak ?1 ' ;使得

f ( x) ? a0 '(1 ? x2k ?2 ) ? a1 '( x ? x2k ?1 ) ? a2 '( x2 ? x2k ) ? L ? ak '( xk ? xk ?2 ) ? ak ?1 ' xk ?1 .
综上所述,对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? L ? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn . …………10 分 (其他解法酌情给分)

高三数学试卷第 16 页 共 4 页


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