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7.3 (1)等比数列


资源信息表3
标 题: 关键词: 7.3 (1)等比数列 等比数列、等比中项 教学目标 1.理解等比数列和等比中项的概念; 2.能正确计算公比及相关的项,知道等比中项的 基本特征; 描 述: 3.通过学习等比数列和等比中项,培养观察、类 比分析能力. 教学重点与难点 等比数列和等比中项的概念; 等比数列的递推公式. 高中二 年级 >第一 语 种: 学期>7.3(1) 媒体格式: 教学设计.doc 学习者: 教育类 资源类型: 文本类素材 型: 作 者: 常一耕 单 位: 地 址: Email: 学 科: 汉语 学生 高中教育>高中二 年级 上海市真如中学

7.3(1)等比数列
上海市真如中学 常一耕

一、教学内容分析 本小节的重点是等比数列和等比中项的概念,理解的关键 是发现相邻项之间的关系. 本小节的难点是等比数列的递推公式.突破难点的关键是 掌握相邻两项或三项之间运算关系.
二、教学目标设计

理解等比数列和等比中项的概念; 能正确计算公比及相关 的项;通过对等比数列的学习,培养观察、类比分析能力. 三、教学重点及难点 重点:等比数列和等比中项的概念; 难点:等比数列递推关系. 四、教学流程设计

实例引入 等比数列、 等 比中项概念 特征 分析

递推关系

运用与深化(例题解析、巩固练习)

课堂小结并布置作业

五、教学过程设计

一、复习回顾
思考并回答下列问题 什么叫等差数列、等差中项?递推关系式是什么?

二、讲授新课
1、等比数列 (1)等比数列的概念引入 研究下面 3 个数列的递推公式及其特点(课本 P19) 1,2,4,8,…; 5,25,125,625,…; 1,- , ,- ,…;
2 4 8 1 1 1

① ② ③

解答:数列①②③的递推公式分别是: 数列①: ?
? ? a n ? 2 a n ?1 a1 ? 1

?n

? 2?

, ,

数列②: ?
?
? ? ?

? a n ? 5 a n ?1 a1 ? 5
1

?n

? 2?

数列③: ? a ?

n

? ?

a n ?1 2 a1 ? 1

?n

? 2?



[说明]启发学生观察并发现如下结论:这三个递推公式都可以 写成
an a n ?1 ? q ? n ? 2 , q 为非零常数

? 的形式,得出相邻两项之间的

关系. (2)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 比等于同一个常数,这样的数列叫做等比数列,这个常数叫做 等比数列的公比,公比通常用小写字母 q 表示. 2、等比中项 (1)等比中项的概念 与等差中项的概念类似,如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫 做 a 与 b 的等比中项. 等比中项的性质:

(1) 如果三个数成等比数列, 那么等比中项的平方等于另两 项的积. (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列 的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项. 3、概念深化 以 a 为等比中项的三个数可表示为 等比中项的立方. 4、例题解析 例 1.在数列 ?a ? 中, 如果数列 ?a ? 为等比数列,a
n n
1

a q

, a , aq

, 显然它们的积是

? ?100, a2 ? ?50



求公比 q 及 a ,并用计算器计算 a 、 a .
3 5 8

解: q

?

1 2

, a =-25, a =-6.25, a =-0.78125
3 5 8

[说明]①启发学生利用等比数列的定义, 即相邻两项的关系解 决问题.②让学生回味计算过程,为研究通项公式作铺垫. 例 2.求 9 与 25 的等比中项 G. 解:G= ? 15 . 例 3.在 2 与 9 之间插入两个数,使前三个数依次成等差数列, 后三个成等比数列,试求出这个数列. 解:设插入的两个数依次为 a 与 b ,则有

?2 ? b ? 2a ? 2 ? b ? 9a



解得 a 与 b 分别为

1 4

,?

3 2

或 4,6,
1 4 ,? 3 2

所以这个数列的各项为 2,

,9 或 2,4,6,9

例 4.有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和为 37,第二个数与第三个数的和 为 36,求这四个数.(补充) 解:设前三个数分别为 a ? d , a , a ? d ,则第四个数为
? ?a ? d ? ?a ? d ? ? 37 ? a ? a ? a ? d ? 36 ?
2

?a

? d a

?

2



由 解得 a

? 16 或 a ?

81 4

,d

? 4或 d ? ?

9 2


99 4 , 81 4 , 63 4 , 49 4

所求的四个数是 12,16,20,25 或

.

[说明] 合理利用等差中项与等比中项的性质,可使本题求四 个量转化为求两个量.

三、巩固练习
练习 7.3(1)

四、课堂小结
等比数列与等比中项的概念,探究它们的递推关系,利用 定义进行正确的计算.

五、课后作业
书面作业: 习题7.3 A 组 5、7 B组 1、3



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