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2015-2016学年江西省玉山一中高二下学期第一次月考数学理(平行班)试卷


2015-2016 学年江西省玉山一中高二下学期第一次月考数学理(平行班) 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

B. 24 C. 36 D. 48 8.曲线 y ? e , y ? e
x
?1

?x

和直线 x ? 1 围成的图形面积是(
?1 ?1

>

?1

?1 ? i? 1. ? ? 的值等于( ?1 ? i?

2

A. e ? e B. e ? e C. e ? e ? 2 D. e ? e ? 2 9.若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为( A.1 C.i ) B. 必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 D.-i
?



) B. 2 C.
5

A.-1 B.1 2.“x= 2 ”是“(x-2)(x-3)= 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

2 2

D. 3 )

a? ?? ? ? 10.已知 a ? 2 ? cos? x ? ?dx ,则二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为( 0 x? 6? ? ?
A.10 B.-10 C.80 ) D.-80 11.设 a, b, c ? (??,0) ,则 a ? A.都不大于 ? 2

1? ,第二组含两个数 ?3,5? ,第三组 3.有一个奇数列 1,3,5, 7,9, ??? ,现在进行如下分组:第一组含一个数 ?
含三个数 ?7,9,11?, 第四组含四个数 {13, 现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数 n 的 15, 17, 19}, ??? , 关系为( A.等于 n 2
3 2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( c a b
B.都不小于 ? 2

) B.等于 n 3
2

C.至少有一个不大于 ? 2 D. 至少有一个不小于 ? 2 9 2 12. 已知 (x ? 2) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a9 x 9 ,则 (a1 ? 3a3 ? 5a5 ? 7a7 ? 9a9 ) 2 ? (2a2 ? 4a4 ? 6a6 ? 8a8 ) 2 的值为( ) A.39 B.310 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f ( x) ? 3sin 2 (2 x ? C.311 D.312

C.等于 n 4

D.等于 (n ? 1)n ) D.不存在

4.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则点( a ,b)为( A. (3,﹣3) 5.函数 y ? B. (﹣4,11) C. (3,﹣3)或(﹣4,11) ) C. ?1,?? ? D. ?0,1?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B. ?0, ? ? ?

. ) ? 5 ,则 f '( ) 的值为 3 6 3 2 14.若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3?(a ? 2) x ? 1? 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是______. n 15.用数学归纳法证明: (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? n) ? 2 ? 1? 3 ????? (2n ? 1) 时,从“ k 到 k ? 1 ”左边需增加的 代数式是__________.

?

?

A. ?? 1,1?

6.设函 f ( x) 在定数义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为(
y y y y y



?x ? y ? 0 ? 16.已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 ? 0 ,复数 z ? x ? yi ( i 是虚数单位),则 | z ? 1 ? 2i | 的最大值与最小值的乘 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
积为__________.

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

三、解答題(除 17 题 10 分,其它每小题 12 分,共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y ? x ? 3 相切,求实数 a, b, c 值.
2

A

B

C

D

图1

7.有 5 盆不同菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊 花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花的不同摆放种数是( ) A. 12
高二(理)数学(9—17 班)试卷 第一次考试 共 2 页第 1 页

21. (本题满分 12 分)在各项为正的数列 ?a n ? 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? 18. (本题满分 12 分) (1)求定积分 ? 1 | x 2 ? 2 | dx 的值; ?2 (2)若复数 z1 (1)求 a1 , a 2 , a3 ; (2)由⑴猜想数列 ?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

1? 1 ? ? an ? ? , ? 2? an ? ?

? a ? 2i(a ? R), z2 ? 3 ? 4i, 且

z1 为纯虚数,求 | z1 | . z2
22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? ln( x ? a ) ? 3b 在 x ? 0 处取得极值 0.
2

(I)求实数 a 、 b 的值;

19. (本题满分 12 分)已知 p : x ? 2 x ? 8 ? 0 , q : ( x ? m)( x ? m ? 1) ? 0(m ?
2

1 ) ,且 ?p 是 ?q 的充分 2

5 x ? m 在区间[0,2]上恰有 2 个不同的实数解,求实数 m 的取值范围; 2 1 1 1 n ?1 (III)证明:对任意的正整数 n>1,不等式 1+ + + ?? ?+ > ln 都成立. 2 3 n ?1 2
(II)若关于 x 的方程 f ( x) ?

不必要条件,求实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 12 分)某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年假的次数进行的调查统计结果 如下表所示: 休假次数 人数 根据上表信息解答以下问题: (1)从该单位任选两名职工,用? 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f ( x) ? x ? ?x ? 1 (4 , 6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ;
2

0 5

1

2

3 15
在区间

10

20

(2)从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E? .
高二(理)数学(9—17 班)试卷 第一次考试 共 2 页第 2 页

………………………………………………………………装……………………订…………………线……………………………………………………………………………

玉山一中 2015-2016 学年度第二学期高二第一次考试

数学(理)答题卷(9-17 班)
考试时间:120 分钟
题 号 得 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.________ 14._______ 15.______ 16._______ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 二 17

座位号

考试号_____________

满分:150 分
18 19

命题人:钟永安 审题人:单丽燕
三 20 21 22 总 分

12

班级____________

三、解答題(除 17 题 10 分,其它每小题 12 分,共 70 分) 17. (本题满分10分)

学校

姓名___________

18. (本题满分 12 分)



3第

19. (本题满分 12 分)

20. (本题满分 12 分)

21. (本题满分 12 分)



4第

22. (本题满分 12 分)



5第

高二理科数学试卷 9-17 参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 D 6 D 7 B 8 D 9 B 10 D 11 C 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、

?3 3

14、 a ? ?1, 或 a ? 2

15、 2(2k ? 1)

16、

5 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,其他题 12 分,共 70 分) 17、解: 因为抛物线过点 P, 所以 a ? b ? c ? 1 , 又 y ? 2ax ? b,? y
/ / x?2

① ②

? 4a ? b,? 4a ? b ? 1.


又抛物线过点 Q,? 4a ? 2b ? c ? ?1, 由①②③解得, a ? 3, b ? ?11, c ? 9. 18、 解: (1)∫﹣21|x2﹣2|dx= = 故定积分是 + =

+

(2)

=

=

=

∵这个复数是一个纯虚数, ∴3a﹣8=0, ∴a= ∴|z1|= =

故复数的模长是 19. 解:设 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 的解集为 A ? ?? 2,4? ,

( x ? m )( x ? m ? 1 ) ? 0( m ?

1 ) 的解集为 B ? ?1 ? m , m? , 2 ? ?p 是 ?q 充分不必要条件, ? p 是 q 的必要不充分条件, ?1 ? m ? ?2 1 , 又m ? , ?B A, ?? 2 ?m ? 4 1 ? ? m ? 3 . --------------------12 分 2



6第

20、解:(1) 函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有 ?
2

? f (4) ? 0 ? f (6) ? 0

即: ?

?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ,解得: ?? ? 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0
…………3 分

所以,? ? 4 或? ? 5 当 ? ? 4 时, P 1 ?

2 1 1 1 1 C20 ? C10 C15 C20 C15 68 12 ,当 时, ? P ? ? ? ?5 2 2 2 C50 245 C50 49

? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式
所以 P ? P 1?P 2 ?

68 12 128 ? ? 245 49 245

…………6 分

( 2 ) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别是

0,1, 2,3 ,
于 是

…………7 分

P ?? ? 0 ? ?

2 2 2 C52 ? C10 ? C 20 ? C 15 2 ? 2 C50 7



P(? ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 C5 C10 ? C10 C20 ? C15 C20 22 ? 2 C50 49



P(? ? 2) ?

1 1 1 1 1 1 C5 C20 ? C10 C15 C5 C15 10 3 , ? P ( ? ? 3) ? ? 2 2 C50 49 C50 49

…………10 分

从而 ? 的分布列:

?
P

0

1

2

3

2 7

22 49

10 49

3 49
…………12

2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49

21、易求得 a1 ? 1, a 2 ?

2 ? 1, a3 ? 3 ? 2
n ? n ? 1( n ? N * )

⑵猜想 a n ?

证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ? 1 ,命题成立 ②假设 n ? k 时, a k ?

k ? k ? 1 成立,
1 1 1 1 (a k ?1 ? ) ? (a k ? ) 2 a k ?1 2 ak
7第

则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?



?

1 1 1 1 1 1 (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (a k ?1 ? )? k , 2 a k ?1 2 2 a k ?1 k ? k ?1
2

所以, a k ?1 ? 2 k a k ?1 ? 1 ? 0 , ? a k ?1 ? 即 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知, n ? N * 时, a n ?

k ?1 ? k .

n ? n ?1 .
? f ?(0) ? 0 1 , ∵当 x ? 0 时, f (x) 取得极值∴ ? , 解得 a ? 1, b ? 0 x?a ? f (0) ? 0

22.解: (Ⅰ) 由题设可知 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 经检验 a ? 1, b ? 0 符合题意。

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? x2 ? x ? ln( x ? 1) , 则 方 程 f ( x) ? 令 ? ( x) ? x 2 ? ln( x ? 1) ?

5 3 x ? m 即 为 x 2 ? ln( x ? 1) ? x ? m ? 0 2 2

3 ∵ x ? m , 则 方 程 ? ( x) ? 0 在 区 间 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 。 2 1 3 (4 x ? 5)( x ? 1) ? ?( x) ? 2 x ? ? ? ∴当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减,当 x ? (1, 2) x ?1 2 2( x ? 1) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (1, 2) 上单调递增

?? (0) ? ?m≥0 ? 1 1 ? 依题意有 ??(1)=- ? ln 2 ? m ? 0 ,∴ ? ? ln 2 ? m≤1 ? ln 3 2 2 ? ? ?? (2) ? 1 ? ln 3 ? m≥0

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) 的定义域为 (?1, ??) ,且 f ?( x) ? 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减, 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

x(2 x ? 3) x ?1

∴ f (0) 为 f ( x) 在 (?1, ??) 上的最小值,∴ f ( x)≥f (0) ,而 f (0) ? 0 ,故 x 2 ? x≥ ln( x ? 1) ,其中当 x ? 0 时 等 号 成 立 , 对 任 意 的 正 整 数 n(n ? 1) , 取 x ?
1 1 ? 2 (n ? 1) n(n ? 1) n
1 1 1 1 ? 0 , 得 2 ? ? ln( ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln n , 而 n n n n





1 1 ? ? ln(n ? 1) ? ln n n(n ? 1) n

,



1 ? ln(n ? 1) ? ln n n ?1

∴1 ?

1 1 1 n ?1 ? ??? ? (ln 3 ? ln 2) ? (ln 4 ? ln 3) ? ?[ln( n ? 1) ? ln n] ? ln(n ? 1) ? ln 2 ? ln 2 3 n ?1 2

高二理科数学试卷 9-17 参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
页 8第

题号 答案

1 A

2 A

3 B

4 B

5 D

6 D

7 B

8 D

9 B

10 D

11 C

12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、

?3 3

14、 a ? ?1, 或 a ? 2

15、 2(2k ? 1)

16、

5 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,其他题 12 分,共 70 分) 17、解: 因为抛物线过点 P, 所以 a ? b ? c ? 1 , ① 又 y / ? 2ax ? b,? y /
x ?2

? 4a ? b,? 4a ? b ? 1.




又抛物线过点 Q,? 4a ? 2b ? c ? ?1,

, c ? 9. 由①②③解得, a ? 3, b ? ?11
18、 解: (1)∫﹣21|x2﹣2|dx= = 故定积分是 + = +

(2)

=

=

=

∵这个复数是一个纯虚数, ∴3a﹣8=0, ∴a= ∴|z1|= =

故复数的模长是 19. 解:设 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 的解集为 A ? ?? 2,4? ,

( x ? m )( x ? m ? 1 ) ? 0( m ?

? ?p 是 ?q 充分不必要条件, ? p 是 q 的必要不充分条件, ?1 ? m ? ?2 1 ? B A , ?? , 又m ? , 2 ?m ? 4 1 ? ? m ? 3 . --------------------12 分 2
20、解:(1) 函数 f ? x ? ? x ??x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有 ?
2

1 ) 的解集为 B ? ?1 ? m,m? , 2

? f (4) ? 0 ? f (6) ? 0

即: ?

?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ?? ? ,解得: 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0
9第



所以,? ? 4 或? ? 5 当 ? ? 4 时, P 1 ?

…………3 分

2 1 1 1 1 C20 ? C10 C15 C20 C15 68 12 ,当 时, ? ? 5 ? P ? ? 2 2 2 C50 245 C50 49

? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式
所以 P ? P 1?P 2 ?

68 12 128 ? ? 245 49 245

…………6 分

( 2 ) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别是 , 0,1, 2, 3 …………7 分





P ?? ? 0 ? ?

C52 ? C ?12C 0? C 2 22 ? 2 C50 7

2 0



1 P (? 5 ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 C5 C10 ? C10 C20 ? C15 C20 22 ? 2 C50 49



1 1 1 1 1 1 C5 C20 ? C10 C15 C5 C 10 3 P(? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? 2 15 ? 2 C50 49 C50 49

…………10 分

从而 ? 的分布列:

?
P

0

1

2

3

2 7

22 49

10 49

3 49
…………12

2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49
21、易求得 a1 ? 1, a2 ?

2 ? 1, a3 ? 3 ? 2 n ? n ? 1(n ? N * )

⑵猜想 an ?

证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ? 1 ,命题成立 ②假设 n ? k 时, ak ?

k ? k ? 1 成立,
1 1 1 1 (ak ?1 ? ) ? (a k ? ) 2 ak ?1 2 ak

则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

?

1 1 1 1 1 1 )? k , (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (a k ?1 ? 2 a k ?1 2 a k ?1 2 k ? k ?1

2 所以, ak ?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 , ? ak ?1 ?

k ?1 ? k .

即 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知, n ? N 时, an ?
*

n ? n ?1 .
10 第



22.解: (Ⅰ) 由题设可知 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 经检验 a ? 1, b ? 0 符合题意。

? f ?(0) ? 0 1 , ∵当 x ? 0 时, f (x) 取得极值∴ ? , 解得 a ? 1, b ? 0 x?a ? f (0) ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) ,则方程 f ( x) ?

5 3 x ? m 即为 x2 ? ln( x ? 1) ? x ? m ? 0 2 2

3 令 ? ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) ? x ? m ,则方程 ? ( x) ? 0 在区间恰有两个不同的实数根。 ∵ 2 1 3 (4 x ? 5)( x ? 1) ? ?( x) ? 2 x ? ? ? ∴当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减,当 x ? (1, 2) x ?1 2 2( x ? 1) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (1, 2) 上单调递增
?? (0) ? ?m≥0 ? 1 1 ? 依题意有 ??(1)=- ? ln 2 ? m ? 0 ,∴ ? ? ln 2 ? m≤ 1 ? ln 3 2 2 ? ?? (2) ? 1 ? ln 3 ? m≥0 ?

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) 的定义域为 ( ?1, ?? ) ,且 f ?( x) ? 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 ( ?1, 0) 上单调递减, 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

x(2 x ? 3) x ?1

∴ f (0) 为 f ( x) 在 ( ?1, ?? ) 上的最小值,∴ f ( x)≥f (0) ,而 f (0) ? 0 ,故 x2 ? x≥ln( x ?1) ,其中当 x ? 0 时等号成立,对任意的正整数 n(n ? 1) ,取 x ?

1 1 1 1 ? 0 ,得 2 ? ? ln( ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln n ,而 n n n n 1 1 1 1 1 ? 2 ( n ? 1) ,∴ ? ? ln(n ? 1) ? ln n ,∴ ? ln(n ? 1) ? ln n n( n ? 1) n n(n ? 1) n n ?1 n ?1 1 1 1 ? ??? ? (ln3 ? ln 2) ? (ln 4 ? ln3) ? ?[ln(n ? 1) ? ln n] ? ln(n ? 1) ? ln 2 ? ln 2 2 3 n ?1

∴1?



11 第


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