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概率


条件概率与独立事件
刘琴琴

教学目标:
一:掌握应用条件概率

二:判断事件的独立性
三:独立重复试验与二项分布

一、条件概率
1.条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事 件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件 概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率. 2

.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所 构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积) .记作D=A∩B或D=AB 3.条件概率计算公式 : P ( AB )
P (B | A) ? , P ( A ) ? 0. P ( A)

P (B | A) ?

P ( AB ) P ( A)

, P ( A ) ? 0.

P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间,求A∩B发生 的概率:
P (B | A ) ? 在 A 发生的条件下 B 包含的样本点数 在 A 发生的条件下样本点数
AB 包含的样本点数 A 包含的样本点数 AB 包含的样本点数 A 包含的样本点数 / 总数 / 总数

?

?

?

P(AB) P(A)

若 P ( A ) ? 0,则 P ( AB ) ? P ( B | A ) ? P ( A ) (乘法公式); 0 ? P ( B | A ) ? 1.

例1、10个产品中有7个正品、3个次品,从中不 放回地抽取两个,已知第一个取到次品,求第二 个又取到次品的概率. 解:设 A = {第一个取到次品},

B = {第二个取到次品},
? P ( AB ) ?
P(A) ? 3 10

C C
.

2 3 2 10

?

1 15

.

P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9
答:第二个又取到次品的概率为2/9.

例2.盒中有球如表. 任取一球 玻璃 红 蓝 总计 2 4 6 木质 3 7 10 总计 5 11 16

若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率. A:取得是蓝球,B:取得是玻璃球
P (B | A) ?
P ( AB ) P(A)
? 4 16 11 16 ? 4 11

变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
P ( A | B ) ? P ( AB ) ?
P (B )
4 16 6 16 ? 4 6

例3.设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规 定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得一 等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品 的概率.



设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则
70 100 ? 0 .7

P (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, ( B ) ?

(2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以
? B ? A ? AB ? B 70 P (B A) ? ? 0 .7 3 6 8 95

方法2:
P (B A) ?

?

P( AB) P ( A)

?

70 100 95 100

? 0 .7 3 6 8

B
5

70

95

A

答:略

例4.把一副不含大小王的扑克牌的52张随机均分 给赵、钱、孙、李四家,A={赵家得到6张梅花}, B={孙家得到3张梅花}, (1)求P(B|A);(2)求P(AB).
解:依题可知 P ( B | A ) ?
又 P ( A) ? C C
13 6 7 39

C C
7

3

10 32

C
C
13 52

13 39

?0.278;

? 0 . 043 .

? P ( AB ) ? P ( A ) P ( B | A ) ? 0 . 012 .

练习:某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到

25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁
的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示“活到25岁” (即≥25) 则 P ( A ) ? 0 .7 , P ( B ) ? 0 .5 6 所求概率为
P (B A) ? P( AB) P ( A) ? P(B) P ( A) ? 0 .8

?

0.56

0.7

B
5

A

? 条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.
? 由此得:

P(A?B|C) = P(A|C) + P(B|C) ? P(AB|C);
若 A 与 B 是两个互斥事件,则

P(A?B|C) = P(A|C) + P(B|C) ; P( A|B) = 1? P(A|B).
A

? P(?|B) = 1 ;

P(B|?) ?1 ;

? P(A|?) = P(A) ;

P(A|A) = 1.

1.中国福利彩票,是由01、02、03、…、30、 31这31个数字组成的,买彩票时可以在这31个 数字中任意选择其中的7个,如果与计算机随机 摇出的7个数字都一样(不考虑顺序),则获一 等奖。
(1)如果在甲中一等奖后乙去买彩票,则也中 一等奖的概率为多少? 1
P ? C 31
7

(2)如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票,则 乙中一等奖的概率为多少? 1
P ? C 31
7

2.一个袋子中有5个白球和3个黑球,从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A,第2次取出的球是白球叫做事件B。 (1)若第1次取出的球不放回去,求事件B发生 的概率; 4 如果事件A发生,则 P ( B ) ?
7

如果事件A不发生,则P(B)= 7 (2)若第1次取出的球仍放回去,求事件B发 生的概率。 如果事件A发生,则P(B)=
5 8

5


5 8

如果事件A不发生,则P(B)=

3.A:表示取出的牌是“Q”;B:表示取出的牌是红桃。
P(B) ?
13 52 ? 1 4
1

P ( AB ) ?
52 ? 1 ? 1 13 4

1 52

P ( A) ?

4 52

?

1 13

P(A | B) ?

P ( AB ) P(B)

? P ( A)

P ( A | B ) ? P ( A)
B发生时A发生的条件概率

P ( AB ) P(B)
A发生的概率

? P ( A)

P ( AB ) ? P ( A ) P ( B )

则称A,B相互独立

相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
说明(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件,关
键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是 否影响,若两种状况下概率不变,则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件;相 互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的 概率没影响.

(3)如果A、B是相互独立事件,则A与B、A与B、
A与B也都相互独立.

相互独立事件同时发生的概念 相互独立的两个事件A、B,又同时发生,此时记这样 的为A?B(或AB),也叫作积事件. 相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发 生的概率的积。则有
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

说明(1)使用时,注意使用的前提条件; (2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论 依据,即P(A· B)=P(A) · P(B)是A、B相互独立的充 要条件.

推广:如果事件A1,A2,…An相互独立,那么 这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生 的概率的积。即: P(A1·2· An)=P(A1)· 2)· P(An) A …· P(A …· 概率的和与积的互补公式 对于n个随机事件A1,A2,…An,有 P(A1+A2+…+An)=1-P(A1·2· An) A …·

例1:制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床 的正品率是0.95,从它们制造的产品中各任抽一件, (1)两件都是正品的概率是多少? (2)恰有一件是正品的概率是多少?
解:设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品; B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品,则A与 B是独立事件 ⑴P(A· B)=P(A)· P(B)=0.9×0.95=0.855

⑵P(A· B)+P(A· B)=P(A)· P(B)+P(A)· P(B) =0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95 =0.14 另解:1-P(A· B)-P(A· B)=1-0.855–(1–0.95)· (1-0.9) =0.14 答:两件都是正品的概率是0.855;恰有一件是正品 概率是0.14.

例2:有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.8和0.7,在两 批种子中各取一粒,A=由甲批中取出一个能发芽的种 子,B=由乙批中抽出一个能发芽的种子,问⑴是否互相 独立?⑵两粒种子都能发芽的概率?⑶至少有一粒种子 发芽的概率?⑷恰好有一粒种子发芽的概率? 解:⑴A、B两事件不互斥,是互相独立事件 ⑵∵A· B=两粒种子都能发芽
∴P(A· B)=P(A)· P(B)=0.8×0.7=0.56 ⑶1–P(A· B)=1-P(A)· =1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94 P(B) ⑷P(A· B)+P(A· B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38

答:两粒种子都能发芽的概率是0.56;至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94;恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38

练习1、有4名学生参加体育达标测验,4人各自合格的

概率分别是1/3,1/4,1/5,1/6,求以下的概率:
(1)四人中至少有二人合格的概率;

(2)四人中恰好只有二人合格的概率。

练习2.某公司购进光盘甲、乙、丙三件,每件100盒, 其中每件里面都有1盒盗版光盘。这个公司从这3件光

盘里面各取1盒光盘卖给了王二,求:
(1)王二恰好买到1盒盗版光盘的概率;

(2)王二至少买到1盒盗版光盘的概率.

练习3、甲乙两射手独立射击同一目标,若他们各射击 一次,命中目标的概率分别为0.9和0.8, 求(1)两人都击中目标的概率;

(2)恰有1人击中的概率;
(3)目标被击中的概率.

练习4、一线路中并联3个自控的常开开关,只要其中1 个能闭合,线路就能正常工作,假定在某段时间内每 个开关能够闭合的概率都是0.7,计算这段时间内各线 路正常工作的概率.

练习5、甲厂生产的脱粒机,每台连续使用不少于10年 的概率是2/5,乙厂生产的柴油机,每台连续使用不少于 10年的概率是3/5,将一台脱粒机与一台柴油机配套使用, 求下列各事件的概率:
(2)B(只有脱粒机的连续使用期不少于10年); (3)C(至少有一台机器的连续使用期不少于10年).

(1)A(脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年);

二项分布: 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
P ( X ? k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

X服从二项分布

X ? B (n, p )

(1)n,p,k分别表示什么意义? (2)这个公式和前面学习的哪部分内容 有类似之处?
恰为 [( 1 ? P ) ?
P]
n

展开式中的第 k ? 1 项 T k ? 1

? C n (1 ? P )
k

n?k

P

k

2.对二项分布的理解

(1)二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分 布的角度进一步阐述,与对n次独立重复试验恰有k 次发生的概率相呼应,是概率论中最重要的分布之 一. n k (2)二项式[(1-p)+p] 的展开式中,第 k+1 项为 Tk+1=Cn(1 - -p)n kpk,那么 P(X=k)就是二项式[(1-p)+p]n 展开式中的 第 k+1 项, 所以公式 P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k(k=0, 2…, 1, n n)称为二项分布式. (3)当 n=1 时,二项分布就是两点分布.

题型一

独立重复试验的概率

【例】 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 3 ,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了 5 次,求: 5 (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率; (2)其中恰有 3 次击中目标的概率; (3)其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的 概率.

[思路探索] 利用独立重复试验解决,要注意“恰有k次发生”
和“指定的k次发生”的差异.

解 (1)该射手射击了 5 次,其中只在第一、三、五次击中目标, 是在确定的情况下击中目标 3 次,也就是在第二、四次没有击中 目标,所以只有一种情况,又因为各次射击的结果互不影响,故 3 ? 3? 3 ? 3? 3 108 所求概率为 P= × ?1- ?× ×?1- ?× = ; 5 ? 5? 5 ? 5? 5 3 125 (2)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次击中目标.根据排列组合知 3 识,5 次当中选 3 次,共有 C5种情况,因为各次射击的结果互不 影响,所以符合 n 次独立重复试验概率模型.故所求概率为 P= ?3 ?3 ? 3?2 216 3 C5×? ? ×?1- ? = ; 5? 5? 625 ? ? (3)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次 没有击中目标,应用排列组合知识,把 3 次连续击中目标看成一 个整体可得共有 C1种情况. 3 ?3 ?3 ? 3?2 324 1 故所求概率为 P=C3·? ? ·?1- ? = . 5? 3 125 ?5 ? ?

规律方法

解答独立重复试验中的概率问题

要注意以下几点: (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试

验;
(2)要注意分析所研究的事件的含义,并根据题意划分为 若干个互斥事件的并.

(3)要善于分析规律,恰当应用排列、组合数简化运算.

题型二

二项分布的应用

3 【例2】 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4,某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只 拨打一次,求他们中成功咨询的人数 X 的分布列.

[规范解答] 所以

? 3? 由题意可知:X~B?3, ?, 4? ? ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

(1 分) (3 分) (5 分) (7 分)

k 3 k 1 3-k P(X=k)=C3? ? ? ? (k=0,1,2,3).

3 1 P(X=0)=C0? ?0? ?3= 3

1 , 64 ?4 ? ?4 ? ?1 ?2 9 1 3 ? ? = , P(X=1)=C3· · 4 ?4? 64

? ? ? ?

1 27 23 2 ? ? · = , P(X=2)=C3 4 64 ? ? 27 33 3 P(X=3)=C3? ? = . 64 ?4 ? 所以分布列为
?4 ?

? ?

(8 分) (10 分)

X

0
1 64

1
9 64

2
27 64

3
27 64

P

(12分)

【题后反思】 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在 实际问题中建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次 独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中 某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分 布,否则就不服从二项分布.

【变式2】 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假设在 2 各个交通岗遇到红灯的事件为相互独立的,并且概率都是 , 5 设 ξ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 ξ 的分布列.
解 由题意
? 2? ξ~B?3, ?,则 5? ? ? ?? ? ?5 ??5 ? ? ? ?5 ?

2033 P(ξ=0)=C0? ? ? ? = 3

2 3 P(ξ=1)=C1? ?? ?2= 3 23 P(ξ=3)=C3? ? = 3

54 , 125

27 , 5? ?5? 125 ? ? ? ? ? 36 22 23 P(ξ=2)=C3? ? ? ?= , 5? ?5? 125 ?

? ? ? ?

8 . 125

所以随机变量 ξ 的分布列为

ξ

0
27 125

1
54 125

2
36 125

3
8 125

P

练习1

某气象站天气预报的准确率为80%,计


(1)5次预报中恰有4次准确的概率;

(2)5次预报中至少有4次准确的概率.
[思路点拨] 因为每次预报的准确率都是80%,

所以可以利用n次独立重复试验来解.

练习2:某射手射击一次命中目标的概率是 0.8,求这名射手在10次射击中 (1)恰有8次击中目标的概率; 解:设X为击中目标的次数,则 X ? B (1 0, 0 .8)
P ( X ? 8) ? C 1 0 ? 0 .8 ? (1 ? 0 .8)
8 8 10 ?8

? 0 .3 0

(2)至少有8次击中目标的概率; 解: P ( X ? 8) ? P ( X ? 8) ? P ( X ? 9 ) ? P ( X ? 1 0 ) ? 0 .6 8 (3)仅在第8次击中目标的概率。 解:
P ? (1 ? 0 .8) ? 0 .8 ? (1 ? 0 .8) ? 0 .0 0 0 0 0 0 4
7 2

例1:设诸葛亮解出题目的概率是0.9,三个臭皮匠各自独 立解出的概率都是0.6,皮匠中至少一人解出题目即胜 出比赛,诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大?
解:设皮匠中解出题目的人数为X,则X的分布列:
解出的人数x 概率P
0

0
C 3 ? 0 .6 ? 0 .4
0 3

1
C 3 ? 0 .6 ? 0 .4
1 1 2
2

2
C 3 ? 0 .6 ? 0 .4
2 1
3

3
C 3 ? 0 .6 ? 0 .4
3 0

至少一人解出的概率为: 解1:(直接法) P ( x ? 1) ? P ( x ? 1) ? P ( x ? 2) ? P ( x ? 3) ? 0.936 解2:(间接法) P ( x ? 1) ? 1 ? P ( x ? 0 )
? 1 ? 0 .4 ? 0 .9 3 6
3

因为 0 .9 3 6 ? 0 .9,所以臭皮匠胜出的可能性较大

小结
条件概率
事件的独立性

独立重复试验与二项分布


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