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2015-2016学年江西省赣州市高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江西省赣州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.在等差数列{an}中,已知首项 a1=1,公差 d=3,若 an=301 时,则 n 等于( ) A.96 B.99 C.100 D.101 2.若不论 m 取何实数,直线 l:mx+y﹣

1+2m=0 恒过一定点,则该定点的坐标为( ) A. B. C. (﹣2,1) (2,﹣1) (﹣2,﹣1) D. (2,1) 3.对于实数 a,b,c,下列命题正确的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 C.若 a<b<0,则 B.若 a<b<0,则 a2>ab>b2 D.若 a<b<0,则 )

4.已知﹣1,a,b,c,﹣4 成等比数列,则实数 b 为( A.4 B.﹣2 C.±2 D.2

5.不等式 x2﹣ax﹣6a2<0(a<0)的解集为( ) A. B. C. (﹣∞,﹣2a)∪(3a,+∞) (﹣∞,3a)∪(﹣2a,+∞) (﹣2a,3a) D. (3a,﹣2a) 6.过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A.2x+y﹣5=0 B.2x+y﹣7=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.x﹣2y﹣7=0 7.设 a>1,b>0,若 a+b=2,则 + 的最小值为( )

A.2 B.6 C.4 D.3+2 8.设向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则| ﹣t |(t∈R)的最小值为( A.2 B. C.1 D.



9.已知不等式组

表示的平面区域的面积等于 3,则 a 的值为(



A.﹣1 B. 10.定义 “均倒数”为 A. B.

C.2

D. 为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n 项的

,又 C. D.

,则

=(



11.已知 , , 是平面内的非零向量,且 , 不共线,则关于 x 的方程 x2+ x+ =0 的 解的情况是( ) A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.至多有两个实数解 D.可能有无数个实数解 12. 已知圆的方程为 x2+y2﹣8x+15=0, 若直线 y=kx+2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是( )
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A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= b= . ,且 A、B、C 三点共线(该 ,sinB= ,C= ,则

14.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

直线不过原点 O) ,则 S200= . 15.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x﹣3y﹣1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y≤3 表示的平面区域内,则 m= . 2 16. 已知关于 x 的不等式 ax +3ax+a﹣2<0 的解集为 R, 则实数 a 的取值范围 . 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.已知直线 l 过点(2,1)和点(4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,求圆 C 的方程. 18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,b+c=8,求△ABC 的面积. 19. 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业. 根 据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计 为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an, bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 20.△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,A、B、C 成等差数列,且 . (1)求 ac 的值; (2)若 sinA、sinB、sinC 也成等差数列,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 21.已知一非零向量列{
﹣1

}满足:

=(1,

) ,且

=(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn

+yn﹣1) (n≥2) . |}是等比数列; , (n≥2)的夹角 θn 为定值.

(1)求证:{| (2)求证:

22.已知曲线 C 的方程为:ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0(a≠0,a 为常数) . (1)判断曲线 C 的形状;

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(2)设曲线 C 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B(A、B 不同于原点 O) ,试判断△AOB 的面 积 S 是否为定值?并证明你的判断; (3)设直线 l:y=﹣2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M、N,且|OM|=|ON|,求曲线 C 的 方程.

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2015-2016 学年江西省赣州市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.在等差数列{an}中,已知首项 a1=1,公差 d=3,若 an=301 时,则 n 等于( ) A.96 B.99 C.100 D.101 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解:∵首项 a1=1,公差 d=3,an=301, ∴301=1+3(n﹣1) ,解得 n=101. 故选:D. 2.若不论 m 取何实数,直线 l:mx+y﹣1+2m=0 恒过一定点,则该定点的坐标为( A. B. C. (﹣2,1) (2,﹣1) (﹣2,﹣1) D. (2,1) )

【考点】恒过定点的直线. 【分析】将直线的方程整理成直线系的标准形式,求两定直线的交点,此点即为直线恒过的 定点. 【解答】解:直线 l:mx+y﹣1+2m=0 可化为 m(x+2)+(y﹣1)=0 由题意,可得 ,

∴ ∴直线 l:mx+y﹣1+2m=0 恒过一定点(﹣2,1) 故选 A. 3.对于实数 a,b,c,下列命题正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc C.若 a<b<0,则
2 2

) B.若 a<b<0,则 a >ab>b2
2

D.若 a<b<0,则

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果. 【解答】解:A,当 c=0 时,有 ac2=bc2 故错. B 若 a<b<0,则 a2﹣ab=a(a﹣b)>0,a2>ab; ab﹣b2=b(a﹣b)>0,ab>b2,∴a2> ab>b2 故对 C 若 a<b<0,取 a=﹣2,b=﹣1,可知 ,故错. ,故错

D 若 a<b<0,取 a=﹣2,b=﹣1,可知 故选 B.

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4.已知﹣1,a,b,c,﹣4 成等比数列,则实数 b 为( A.4 B.﹣2 C.±2 D.2



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的性质求得 b=±2,验证 b=2 不合题意,从而求得 b=﹣2. 【解答】解:∵﹣1,a,b,c,﹣4 成等比数列, ∴b2=(﹣1)×(﹣4)=4, 则 b=±2, 当 b=2 时,a2=(﹣1)×2=﹣2,不合题意,舍去. ∴b=﹣2. 故选:B. 5.不等式 x2﹣ax﹣6a2<0(a<0)的解集为( ) A. B. (﹣∞,﹣2a)∪(3a,+∞) (﹣∞,3a)∪(﹣2a,+∞) D. (3a,﹣2a)

C. (﹣2a,3a)

【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】利用因式分解法解不等式即可. 【解答】解 x2﹣ax﹣6a2<0(a<0)等价于(x+2a) (x﹣3a)<0,解得 3a<x<﹣2a, 故不等式的解集为(3a,﹣2a) , D 故选: . 6.过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线的方程为( A.2x+y﹣5=0 B.2x+y﹣7=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.x﹣2y﹣7=0 【考点】圆的切线方程. 【分析】由题意画出图形,可得点(3,1)在圆(x﹣1)2+y2=r2 上,求出圆心与切点连线 的斜率,再由直线方程的点斜式得答案. 【解答】解:如图, )

∵过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=r2 的切线有且只有一条, ∴点(3,1)在圆(x﹣1)2+y2=r2 上, 连接圆心与切点连线的斜率为 k= ,

∴切线的斜率为﹣2, 则圆的切线方程为 y﹣1=﹣2(x﹣3) ,即 2x+y﹣7=0. 故选:B.

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7.设 a>1,b>0,若 a+b=2,则 A.2 B.6 C.4 D.3+2

+ 的最小值为(



【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. , 【解答】解:∵a+b=2, ∴a﹣1+b=1, ∴ + =( + )?(a﹣1+b)=1+2+ + =3+2

=3+2 , 当且仅当 a= 故 a+b=2,则 故选:D.

,b=2﹣

时取等号, ,

+ 的最小值为 3+2

8.设向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则| ﹣t |(t∈R)的最小值为( A.2 B. C.1 D.



【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【分析】由题意易得向量的夹角,进而由二次函数可得| ﹣t |2 的最小值,开方可得. 【解答】解:设向量 , 的夹角为 θ, ∵| |=| |=| + |=1, ∴ 解得 cosθ= ∴| ﹣t |2= =t2+t+1=(t+ )2+ , 当 t= 时,上式取到最小值 , =1+1+2×1×1×cosθ=1, ,∴θ= , +t2

∴| ﹣t |的最小值为 故选:D

9.已知不等式组

表示的平面区域的面积等于 3,则 a 的值为(



A.﹣1 B.

C.2

D.

【考点】简单线性规划.
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【分析】作出不等式组对应的区域,利用的平面区域的面积等于 3,建立条件关系即可得到 结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: ∵ax﹣y+2=0 过定点 A(0,2) , ∴ax﹣y+2≥0 表示直线 ax﹣y+2=0 的下方, ∴a>0,则由图象可知 C(2,0) , 由 ,解得 ,

即 B(2,2+2a) , 则△ABC 的面积 S= 故 a= , 故选:D. ,

10.定义 “均倒数”为 A. B. ,又 C.

为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n 项的 ,则 D. =( )

【考点】类比推理. 【分析】由已知得 a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, 即可求得通项 an,最后利用裂项法,即可求和. 【解答】解:由已知得 ,

∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当 n=1 时也成立, ∴an=4n﹣1, ∴ ∴
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∴ = .

=

+ (

) +…+ (

=1﹣ )

故选 C. 11.已知 , , 是平面内的非零向量,且 , 不共线,则关于 x 的方程 x2+ x+ =0 的 解的情况是( ) A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.至多有两个实数解 D.可能有无数个实数解 【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】 原方程即 =﹣ x2﹣ x, 由于 , , 是平面内的非零向量, 且 , 不共线, 可视为“基底”,根据平面向量基本定理知,有且仅有一对实数 λ1、λ2,使得 λ1=﹣x2 且 λ2= ﹣x,即可判断出结论. 【解答】解:原方程即 =﹣ x2﹣ x,由于 , , 是平面内的非零向量,且 , 不共线, 可视为“基底”, 根据平面向量基本定理知,有且仅有一对实数 λ1、λ2,使得 λ1=﹣x2 且 λ2=﹣x, 即当 λ1=﹣λ22 时方程有一解,否则当 λ1≠﹣λ22 时方程无解, 故关于实数 x 的方程 x2+ x+ =0 的解的情况是至多有一个解. 故选:B. 12. 已知圆的方程为 x2+y2﹣8x+15=0, 若直线 y=kx+2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是( ) A. B. C. D.

【考点】直线与圆相交的性质. 【分析】圆 C 的圆心为 C(4,0) ,半径 r=1,从而得到点 C 到直线 y=kx+2 的距离小于或等 2 k 于 ,由此能求出 的最小值. 【解答】解:∵圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0, ∴整理得: (x﹣4)2+y2=1,∴圆心为 C(4,0) ,半径 r=1. 又∵直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴点 C 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 2, ∴ ≤2,

化简得:3k2+4k≤0,解之得﹣ ≤k≤0,∴k 的最小值是﹣ . 故选:A. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

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13.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 1 . 【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【分析】由 sinB= ,可得 B= 【解答】解:∵sinB= , ∴B= 当 B= 或 B= 时,a= ,C= ,A= , 或 B= ,结合 a= ,C=

,sinB= ,C=

,则 b=

及正弦定理可求 b

由正弦定理可得, 则 b=1 当 B= 时,C= ,与三角形的内角和为 π 矛盾

故答案为:1

14.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 直线不过原点 O) ,则 S200= 100 . 【考点】等差数列的前 n 项和;数列递推式;三点共线. 【分析】因为 =100.

,且 A、B、C 三点共线(该

,且 A、B、C 共线,所以 a1+a200=1,所以

【解答】解:A、B、C 三点共线的充要条件是:对平面内任意一点 O, 都有 因为 所以 a1+a200=1, 所以 故答案为:100. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x﹣3y﹣1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y≤3 表示的平面区域内,则 m= ﹣4 . 【考点】简单线性规划. 【分析】先根据点 P 在不等式 2x+y≤3 表示的平面区域内,建立不等式关系求出 m>1,然 后结合点到直线的距离公式建立方程进行求解即可. 【解答】解:∵点 P 在不等式 2x+y≤3 表示的平面区域内,
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. ,且 A、B、C 共线,

=100.

∴点 P 的坐标满足 2x+y≤3,即 2m+1≤3,得 m≤1, ∵点 P(m,1)到直线 4x﹣3y﹣1=0 的距离为 4, ∴d= =4,

即|m﹣1|=5,则 m﹣1=5 或 m﹣1=﹣5, 则 m=6(舍)或 m=﹣4, 故答案为:﹣4 16. 0] . 已知关于 x 的不等式 ax2+3ax+a﹣2<0 的解集为 R, 则实数 a 的取值范围 (﹣ , 【考点】函数恒成立问题. 【分析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论. 【解答】解:若 a=0,不等式等价为﹣2<0,满足条件, 若 a≠0,则要使不等式恒成立, 则 ,









综上: (﹣ ,0], 故答案为: (﹣ ,0]

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.已知直线 l 过点(2,1)和点(4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,求圆 C 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)由两点式,可得直线 l 的方程; (Ⅱ)利用圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,确定圆心坐标与半径,即 可求圆 C 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)由两点式,可得 ,即 x﹣y﹣1=0;

(Ⅱ)∵圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点, ∴圆心的纵坐标为 3, ∴横坐标为﹣2,半径为 2 ∴圆 C 的方程为(x+2)2+(y﹣3)2=4. 18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB=
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b.

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,b+c=8,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1) 由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式, 化简解出 sinA= , 再由△ABC

是锐角三角形,即可算出角 A 的大小; (2)由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 的式子,结合题意化简得 b2+c2﹣bc=16,与联解 b+c=8 得到 bc 的值,再根据三角形的面积公式加以计算,可得△ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵△ABC 中, , ∴根据正弦定理,得 ∵锐角△ABC 中,sinB>0, ∴等式两边约去 sinB,得 sinA= ∵A 是锐角△ABC 的内角,∴A= (2)∵a=4,A= , , ; ,

∴由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA,得 16=b2+c2﹣2bccos 化简得 b2+c2﹣bc=16, ∵b+c=8,平方得 b2+c2+2bc=64, ∴两式相减,得 3bc=48,可得 bc=16. 因此,△ABC 的面积 S= bcsinA= ×16×sin =4 .

19. 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业. 根 据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计 为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an, bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)依次写出第 1 年投入量,第 2 年投入量,等等,第 n 年投入量,从而求出 n 年内的总投入量 an, 再由第 1 年旅游业收入为 400 万元, 第 2 年旅游业收入为 400× (1+ ) 万元,归纳出第 n 年旅游业收入为 400×(1+ )n﹣1 万元.从而得出 n 年内的旅游业总收 入 bn. (2)先设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由 bn﹣an>0,解得 n 的取值范围 即可.

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【解答】解: (1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1﹣ )万元,第 n 年投 入为 800×(1﹣ )n﹣1 万元. 所以,n 年内的总投入为 an=800+800×(1﹣ )+…+800×(1﹣ )n﹣1= =4000×[1﹣( )n]; 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ )万元, 第 n 年旅游业收入为 400×(1+ )n﹣1 万元. 所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )n﹣1= =1600×[( )n﹣1]. (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn﹣an>0, 即 1600×[( )n﹣1]﹣4000×[1﹣( )n]>0. 化简得 5×( )n+2×( )n﹣7>0, 设 x=( )n,代入上式得 5x2﹣7x+2>0, 解此不等式,得 即( )n< , 由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入. 20.△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,A、B、C 成等差数列,且 . (1)求 ac 的值; (2)若 sinA、sinB、sinC 也成等差数列,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【分析】 (1)由 A、B、C 成等差数列,利用等差数列的性质求出 B 的度数,已知等式利用 平面向量的数量积运算法则计算,将 cosB 的值代入求出 ac 的值即可; ,x>1(舍去) .

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(2)由 sinA、sinB、sinC 也成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,再利用正弦定 理与余弦定理化简得到结果,即可作出判断. 【解答】解: (1)∵A、B、C 成等差数列, ∴2B=A+C, ∵A+B+C=π, ∴B= , ? =ac?cosB= ac=18,

已知等式整理得:

解得:ac=36①; (2)∵sinA、sinB、sinC 也成等差数列, ∴2sinB=sinA+sinC, 在△ABC 中,利用正弦定理化简得:2b=a+c, 由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2ac?cosB,即( 整理得:a2+c2=72②, 联立①②,解得:a=c=6, ∵B= , )2=a2+c2﹣36,

∴△ABC 为等边三角形.

21.已知一非零向量列{
﹣1

}满足:

=(1,

) ,且

=(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn

+yn﹣1) (n≥2) . |}是等比数列; , (n≥2)的夹角 θn 为定值.

(1)求证:{| (2)求证:

【考点】等差数列的通项公式;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1) 由 = yn) = (xn﹣1﹣yn﹣1, xn﹣1+yn﹣1( (xn, )n≥2) . 可得 xn= = . yn= (xn﹣1+yn﹣1) , , 代入 = ,即可得出 cosθn= =xnxn﹣1+ynyn ,

yn= (xn﹣1+yn﹣1) ,即可证明 xn= (2) 由 (1) 可得: =

﹣1



【解答】证明: (1)∵ ∴xn= ∴ =

=(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1) (n≥2) . ,yn= (xn﹣1+yn﹣1) , ,
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∴ ∴{|

=



|}是等比数列,公比为 ,首项为 2. ,yn= (xn﹣1+yn﹣1) , xn﹣1+ (xn﹣1+yn﹣1)yn﹣ ,

(2)由(1)可得:xn= ∴
1=

=xnxn﹣1+ynyn﹣1= =

∴cosθn= ∴θn=0 为定值.

=

=1,

22.已知曲线 C 的方程为:ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0(a≠0,a 为常数) . (1)判断曲线 C 的形状; (2)设曲线 C 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B(A、B 不同于原点 O) ,试判断△AOB 的面 S 积 是否为定值?并证明你的判断; (3)设直线 l:y=﹣2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M、N,且|OM|=|ON|,求曲线 C 的 方程. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (1)把方程化为圆的标准方程,可得结论; (2)求出 A,B 的坐标,即可得出△AOB 的面积 S 为定值; (3)由圆 C 过坐标原点,且|OM|=|ON|,可得圆心(a, )在 MN 的垂直平分线上,从 而求出 a,再判断 a=﹣2 不合题意即可. 【解答】解: (1)将曲线 C 的方程化为 ﹣﹣

可知曲线 C 是以点(a, )为圆心,以

为半径的圆.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)△AOB 的面积 S 为定值.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 证明如下: 在曲线 C 的方程中令 y=0 得 ax(x﹣2a)=0,得点 A(2a,0) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 在曲线 C 的方程中令 x=0 得 y(ay﹣4)=0,得点 B(0, ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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∴S= |OA||OB|= |2a|| |=4(为定值) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (3)∵圆 C 过坐标原点,且|OM|=|ON|, ∴圆心(a, )在 MN 的垂直平分线上,∴ = ,∴a=±2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 a=﹣2 时,圆心坐标为(﹣2,﹣1) ,圆的半径为 圆心到直线 l:y=﹣2x+4 的距离 d= =

, > ,

直线 l 与圆 C 相离, 不合题意舍去,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴a=2,这时曲线 C 的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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2016 年 8 月 20 日

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