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2.1指数函数2.2 对数函数2.3幂函数知识归纳


2.1 指数函数
主要内容:
x 1. 定义: y 【定义域为 R】 ? aa 0 且 a ? 1 ?? ?

?1 ? x x 2. 对 三 个 指 数 函 数 y? 的图象的认 2 , y? y? 1 0 ? ?, ? ? 2
识。 3. 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,

1); 函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 ax ? 0; ( 2 )无论 a 取任何正数, x?0时,
y ? 1;

x

? 则 ax ? 1 ?x ? 0, (3)当 a? 时, ? 1 ? 则 ax ? 1 ?x ? 0, 坐标都大于 1,在第二象限内的纵坐标
x x (3)y? 在第一象限内的纵 2 , y? 1 0

? 1? 都小于 1, y ? ? ? 的图象正好相反; ? 2?

x

? 则 ax ? 1 ?x ? 0, 当0 时, ? ? a ? 1 ? 则 ax ? 1 ?x ? 0,

x x (4)y? 的图象自左到右逐 (4)当 a? 时, y ? a x 是增函数, 2 , y? 1 0 1

? 1? 渐上升, y ? ? ? 的图象逐渐下降。 ? 2?
4. 指数方程的题型与解法: 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型
af ?x? ?b
f( x ) ? ( x ) a ? a
f? x ?

x

当0 时, y ? a x 是减函数。 ? a ? 1

解法

x l o g 取以 a 为底的对数 f? ?? ab
x ? x 取以 a 为底的对数 f? ?? ? ?

a ? b

? x ? ?

取同底的对数化为
fx · l g a ? ? x · l g b ? ? ? ?

F ax ? 0

? ?

换元令 t ? ax 转化为 t 的代数方程

1

2

2.2 对数函数
主要内容: 1. 定义:指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数 y? ? ( 0 , ? ? )叫做对数函数。 l o g a xx 2. 当 N 为零的负数时对数不存在。
l o g aN 3. 对数恒等式: a ?N

4. 对数的性质: ① 负数和零没有对数; 5. 对数的运算法则:

② 1 的对数是零;

③ 底数的对数等于 1。

? ①l o g M N ? l o g M ? l o g N M , N ? R ? ? a a a

?

?

M ? o g ? l o g M ? l o g N M , N ? R ②l a a a N
n ? ③l o g Nn ? l o g N N ? R a a

?

?

??

?

?

1 ? n o g ?l o g NNR ? ④l a N a n ? l o g , y ? l o g , 6. 对三个对数函数 y 2x 1x
2

?

?

y ? lgx 的图象的认识。

7. 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0); 函数性质 (1)定义域:R+,值或:R; (2) x?1 时, y ? 0 。即 l ; o g ?0 a1

(3)y? , y ? lgx 当 x? 时,图 (3) 当 a? 时,若 x? ,则 y ? 0 ,若 1 1 1 l o g 2x 象在 x 轴上方,当 0 时,图象在 x ? x ? 0 ,则 y ? 0 ; 0 ? x ? 1 轴下方, y ? log 1 x 与上述情况刚好相
2

反;

当0 时,若 x?0,则 y ? 0 ,若 ? a ? 1 时,则 y ? 0 ; 0 ? x ? 1

? l o g x , y ? l g x 1 (4) y 从左向右图象 (4) a? 时, y? 是增函数; l o g 2 ax
是上升,而 y ? log 1 x 从左向右图象是 0 ? a ? 1 时, y? 是减函数。 l o g ax
2

下降。
3

8. 对数换底公式: l o gN l o g ? a bN l o g ab

LN ? l o g ( 其 中 e? 2 . 7 1 8 2 8 … ) 称 为 N 的 自 然 对 数 n eN LN ? l o g 称 为 常 数 对 数 g 1 0N
由换底公式可得:
l g N l g N L N ? ? ? 2 . 3 0 3 l g N n l g e 0 . 4 3 4 3

由换底公式推出一些常用的结论:
1 (1) l o g b ? 或 l o g b · l o g a ? 1 a a b l o g a b

(2) log a n b m ?

m log a b n

n o g l o g (3) l nb ? ab a

m n 9. 对数方程的题型与解法
(4) logan am ? 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 对数式转化为指数式 f ?x ? ?ab
x ? x 转化为 f? ?? ? ?(必须验根)

l o g x b ?? a f? l o g fx ? l o g ? x ?? ?? a a
F(log a x ) ? 0

换元令 t ?l 转化为代数方程 o g ax

4

2.3 幂函数
主要内容:
1. 定义(基础知识): 一般地,函数 y=xa 【其中 x 是自变量,a 是常数】 2. 常见集中幂函数图像(重点):

3. 幂函数的性质(重难点): 1、所有的幂函数在(0,+ ? )都有定义,并且图象都过点(1,1); 2、 在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(指大图低); 在(1,+ ? )上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴(指大图低)。 3、幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,值域是否出现在 第二、第三象限内,要看函数的奇偶性,幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限 内,如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。 4、幂函数的定义域的求法可分五种情况: (1) ? 为 0; (2) ? 为正整数; (3) ? 为负整数; (4) ? 为正分数; (5) ? 为负分数。

5

5、幂函数 y ? x ? (? ? R) 的图象主要分为以下几类: (1) (2) (3) (4) (5) 当 ? =0 时,图象是过(1,1)点平行于 x 轴但抠去(0,1)点的一条“断”直线; 当 ? 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限及原点。 当 ? 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第三象限及原点。 当 ? 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。 当 ? 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。

6、当 ? >0 时,幂函数 y ? x ? 图象一些性质: (1) 图象都通过点(1,1),(0,0); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; (3) 在第一象限内, ? >1 时,图象是向下凸的;0< ? <1 时,图象是向上凸的。 7、当 ? <0 时,幂函数 y ? x ? 图象一些性质: (1) 图象都通过点(1,1); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图象是向下凸的。

6


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