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3-2-2含参数一元二次不等式的解法


第三章 不等式

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第三章 不等式

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第三章 不等式

通过对含参数一元二次不等式的解法讨论.训练发展分 析解决问题的能力.
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第三章 不等式

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第三章 不等式

1 . ax2 + bx + c > 0( 或< 0) .当 a≠0 时为一元二次不等

式.当a=0,b≠0时为一元一次不等式.故二次项系数中含
字母的须注意讨论. 2.含参数的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的讨 论(a≠0): 首先看△,若△<0(或△=0),结合开口方向(a的正负) 即可写出解集.若△>0.既要看开口方向,又要看两根的大 小,综合考察后结合图象写出解集.
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第三章 不等式

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第三章 不等式

重点:含参数一次二次不等式的讨论.

难点:不等式的实际应用和分类讨论思想.

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第三章 不等式

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第三章 不等式

[例1] 解关于x的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0. [分析] 解. 在上述不等式中含有参数 m,因此需要先判断 参数m对方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解的影响,然后求
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第三章 不等式

[解析]

解法一:∵方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解

为x1=m,x2=m+1,且知m<m+1.
∴二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上, 且与x轴有两个交点. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 解法二:注意到 m2 + m = m(m + 1) ,及 m + (m + 1) = 2m
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+1,
可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0, ∵m<m+1,∴m<x<m+1. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

第三章 不等式

解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0. [解析] 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
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函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
(1)当a<-1时,原不等式解集为(a,-1); (2)当a=-1时,原不等式解集为?; (3)当a>-1时,原不等式解集为(-1,a).

第三章 不等式

[点评]

含参数的一元二次不等式在求解时,除了按照

一般不等式的方法求解外,还要注意参数对方程根的影响,
若两根的大小关系不能确定时,要进行分类讨论.
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第三章 不等式

合作探究

已知集合 A = {x|x2 + 3x - 18 > 0} , B = {x|x2 - (k + 1)x -
2k2+2k≤0},若A∩B≠?,则实数k的取值范围是________.
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[答案]

3 k<-2 或 k>2.

第三章 不等式

[解析]

解法 1:由 x2+3x-18>0 得,
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(x+6)(x-3)>0, ∴x>3,或 x<-6.∴A={x|x<-6,或 x>3}. 由 x2-(k+1)x-2k2+2k≤0 得, (x-2k)(x+k-1)≤0, ∵方程(x-2k)(x+k-1)=0 的两根 x1=2k,x2=1-k, 1 令 2k=1-k 得:k= . 3

第三章 不等式

1 (1)当 k=3时,不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 的解集为 B 2 ={x|x=3},不满足 A∩B≠?. 1 (2)当 k>3时,2k>1-k,不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 的解集 B={x|1-k≤x≤2k}, 欲使 A∩B≠?应有 1-k<- 6 或 2k>3. 3 3 ∴k>7 或 k> ,即 k> . 2 2
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第三章 不等式

1 (3)当 k< 时,2k<1-k,不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 3 的解集 B={x|2k≤x≤1-k}, 欲使 A∩B≠?,须 2k<-6 或 1-k>3, ∴k<-3 或 k<-2. ∴k<-2. 综合(1)、(2)、(3)可知,使 A∩B≠?的 k 的取值范围是 3 k<-2 或 k>2.
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第三章 不等式

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第三章 不等式

[例2]

假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担,

其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点,即 8%),计划收购m万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x 个百分点,预计收购量可增加2x个百分点,要使此项税收在 税率降低后不低于原计划的78%,试确定x的取值范围. [分析] 先求出税率降低以前的收税额和税率降低以后 的收税额,再依题设条件列出不等式求解.
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第三章 不等式

[解析]

税率降低后是(8-x)%,收购量为m(1+2x%)万

担 , 税 收 为 120m(1 + 2x%)(8 - x)% 万 元 , 原 来 的 税 收 为
120m·8%万元. 根据题意可得 120m(1+2x%)(8-x)%≥120m·8%·78% 即x2+42x-88≤0,
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解之得-44≤x≤2,又x>0,∴0<x≤2,
∴x的取值范围是(0,2].

第三章 不等式

某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆,本年度 为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本, 若每辆投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提 高比例为0.75 x,同时预计年销售量增加的比例为0.6 x.已 知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1) 写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2) 为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本 增加的比例x应在什么范围内?

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第三章 不等式

[解析]

(1)投入成本增加比例为 x, 则投入成本为 1×(1

+x), 出厂价为 1.2×(1+0.75x), 年销量为 1 000×(1+0.6x), ∴y=[1.2×(1+0.75x)-(1+x)]×1 000(1+0.6x), 即 y=-60x2+20x+200(0<x<1) (2) 欲 保 证 本 年 度 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加 当 且 仅 当
? ?y-?1.2-1?×1 ? ? ?0<x<1
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000>0



1 ∴0<x<3 .

第三章 不等式

合作探究

一个体户生产某种风衣,月销售x(件)与售价p(元/件)之
间 的 关 系 为 p = 160 - 2x , 生 产 x 件 的 成 本 总 数 R = 500 + 30x(元), (1)该厂的月产量为________时,月获得的利润不少于 1 300元? (2) 当月产量为 ________ 时,可获得最大利润,最大利 润是________? [答案] (1)20至45件之间,(2)32或33件,1612元
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第三章 不等式

[解析] +30x)

(1)设该厂月获利为 y,则 y=(160-2x)x-(500

=-2x2+130x-500,由题意 y≥1 300, ∴20≤x≤45, ∴当月产量在 20 至 45 件之间时,月获利不少于 1 300 元. 65 2 (2)由(1)知 y=-2(x- 2 ) +1612.5,∵x 为正整数,∴ 当 x=32 或 33 时,y 取最大值为 1612 .

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第三章 不等式

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第三章 不等式

[例3] 不等式ax2-x-2>0在a∈[1,2]上恒成立,求x的 取值范围.

[解析] 设f(a)=x2·a-(x+2),
∴ ax2 - x - 2 > 0 即 f(a) > 0. 当 x = 0 时 , - 2 > 0 不 成 立.∴x≠0 ∴x2>0, ∴函数f(a)为增函数.

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∴要使f(a)>0在a∈[1,2]上恒成立,
只需[f(a)]min>0,即f(1)>0, ∴x2-x-2>0,∴x<-1或x>2.

第三章 不等式

[点评]

本例中的不等式中含有两个字母 a和x,并未指

定“未知数”是 x. 不能因为平时习惯用 x 表示未知数就认定
只能是关于x的不等式而导致解决问题的复杂性.强调解题 中思维的迁移性和敏捷性及处理问题的灵活性.
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第三章 不等式

[例4]

实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=

0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内.
[解析] (1)设方程的两根为 x1,x2,则由题意可得:

?△=m2-10m+9≥0, ? ?x1+x2=3-m>0, ?x · ? 1 x2=m>0. 解得 m 的取值范围是(0,1].

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第三章 不等式

(2)(由对应的函数的几何意义解之) 设 f(x)=x2+(m-3)x+m,由题意得 ?△=m2-10m+9≥0 ? ?f?0?=m>0 ? 3-m ?0< 2 <2 ? ?f?2?=3m-2>0. 2 解得3<m≤1.
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第三章 不等式

合作探究

实数m取何值时,含参数的二次方程ax2+bx+c=0
1°有实根;无实根;有两个等实根. 2°有两正根;两负根;一正一负根. 3°有零根. 4°有两个大于n的根;有两个小于k的根;一根大于k另
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一根小于k.

第三章 不等式

一般讨论方法通常考虑以下几个方面.①求根公式.②

判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间端点处的函数值.
方法有三类: ( 一) 判别式、韦达定理法; ( 二) 判别式、 对称轴、构造函数法;(三)求根公式法. 以下几类是常见问题:(在a≠0条件下) (1) 方程 ax2 + bx + c = 0 有实根,有两不等实根,无实
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根.主要考虑判别式Δ.

第三章 不等式

?Δ≥0 ? 2 (2)方程 ax +bx+c=0 有两正根??x1+x2>0 ?x x >0 ? 1 2 ?a>0 ? ?- b >0 ? 2a ?f?0?>0 ? ?△≥0 ?a<0 ? ?- b >0 或? 2a ?f?0?<0 ? ?△≥0

?
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.

第三章 不等式

?△≥0 ? 2 方程 ax +bx+c=0 有两负根??x1+x2<0 ?x x >0 ? 1 2 ? ? - b <0 ? 2a ??△≥0 ? ? ?af?0?<0
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.

方程 ax2+bx+c=0 有一正一负两实根
? ?△>0 ?? ? ?x1x2<0

?a· f(0)<0.

第三章 不等式

(3)方程 ax2+bx+c=0 有零根?c=0. *(4)方程 ax2+bx+c=0 有两个大于 n 的根(解法类似于 有两正根). ?△≥0 ? ???x1-n?+?x2-n?>0 ??x -n?· ?x2-n?>0 ? 1 ? ?△≥0 ? b ??-2a>n ? ? ?af?n?>0
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.

第三章 不等式

方程 ax2+bx+c=0 有两个小于 k 的根(解法类似于有 两负根情形). ?△≥0 ? ???x1-k?+?x2-k?<0 ??x -k?· ?x2-k?>0 ? 1 ? ?△≥0 ? b ??-2a<k ? ? ?af?k?<0
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.

第三章 不等式

方程 ax2+bx+c=0 一根大于 k.另一根小于 k(解法类似 于一正一负根的情形).
? ?△>0 ?? ? ??x1-k??x2-k?<0

?af(k)<0.

*(5)方程 ax2+bx+c=0 两根都在(m、n)内. ?△≥0 ? ?m<- b <n 2a ?? ?af?m?>0 ? ?af?n?>0

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.

第三章 不等式

*(6)方程 ax2+bx+c=0 一根在(m、n)内,另一根在(n、 p)内 ?af?m?>0 ? ??af?n?<0 ?af?p?>0 ?
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方程 ax2+bx+c=0 一根在(m,n)内,另一根在(p,q) ? ?af?m?>0 ?af?n?<0 内?? ?af?p?<0 ? ?af?q?>0

.

第三章 不等式

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第三章 不等式

一、选择题

1.设集合S={x||x|<5},T={x|(x+7)(x-3)<0},则S∩T
=( ) A.{x|-7<x<-5} C.{x|-5<x<3} [答案] C B.{x|3<x<5} D.{x|-7<x<5}
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[解析] ∵S={x|-5<x<5},T={x|-7<x<3},
∴S∩T={x|-5<x<3},故选C.

第三章 不等式

2.(2009·山东)在R上定义运算⊙;a⊙b=ab+2a+b,

则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为(
A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) [答案] B [解析] 由定义得x(x-2)+2x+x-2<0, B.(-2,1) D.(-1,2)

)

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即x2+x-2<0,
∴-2<x<1.故选B.

第三章 不等式
2 ? ?x -4x+6,x≥0, f(x)=? ? ?x+6,x<0,

3. 设函数 的解集是(

则不等式 f(x)>f(1)

) B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
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A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

第三章 不等式

[答案] A

[解析] ∵f(1)=3,∴当x≥0时,由f(x)>f(1)得
x2-4x+6>3,∴x>3或x<1. 又x≥0,∴x∈[0,1)∪(3,+∞). 当x<0时,由f(x)>f(1)得x+6>3,∴x>-3, ∴x∈(-3,0).
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综上可得x∈(-3,1)∪(3,+∞),故选A.

第三章 不等式

4.(2009· 辽宁)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递 增,则满足
?1? f(2x-1)<f?3?的 ? ?

x 的取值范围是(
?1 2? B.?3,3? ? ? ? 1 2? D.?2,3? ? ?

)

? 1 2? A.?3,3? ? ? ? 1 2? C.?2,3? ? ?

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第三章 不等式

[答案] A

[解析]

1 1 1 由题意得|2x-1|< ?- <2x-1< 3 3 3

2 4 1 2 ? <2x< ? <x< ,∴选 A. 3 3 3 3

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第三章 不等式

二、填空题

5.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实
数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 __________. [答案] 1≤m<19 [解析] ①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1,
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若m =-5 ,则函数化为 y =24x +3.对任意实数 x 不可能
恒大于0. 若m=1,则y=3>0恒成立.

第三章 不等式

②当 m2+4m-5≠0 时,据题意
2 ? ?m +4m-5>0 应有? 2 2 ? 16 ? 1 - m ? - 12 ? m +4m-5?<0 ?



? ?m<-5或m>1 ∴? ? ?1<m<19

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,∴1<m<19.

综上可知,1≤m<19.

第三章 不等式

[点评] ax
2

y=ax +bx+c>0

2

? ?a>0 恒成立(a≠0)?? ?Δ<0 ?

;y=
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? ?a<0 +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?

.请再练习下题:

若函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域为 R, 则 k 的取 值范围是________.

[答案]

0≤k≤1

第三章 不等式

[解析]

由题意 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立.当 k=0
? ?k>0 时? 2 ? △= 36 k -4k?k+8?≤0 ?

时满足,当 k≠0



∴0<k≤1,综上得 0≤k≤1.

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第三章 不等式

6 .不等式[(a -1)x + 1](x - 1) <0的解集为 {x|x <1 或x >

2},则a=________.
1 [答案] 2 [解析] 由题意 x=2 是方程(a-1)x+1=0

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1 的根,且 a-1<0,∴a=2.

第三章 不等式

7.已知不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|α<x<β},

其中0<α<β,则不等式cx2+bx+a<0的解集为________

[答案]

1 1 {x|x>α或 x<β}

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第三章 不等式

[解析]

∵不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α<x<
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β},∴a<0 且 α,β 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, b c ∴α+β=-a,αβ=a,∴b=-a(α+β),c=aαβ, ∴不等式 cx2+bx+a<0 化为: aαβx2-a(α+β)x+a<0

第三章 不等式

即:αβx2-(α+β)x+1>0 ∴(αx-1)(βx-1)>0, 1 1 1 1 ∵0<α<β,∴ > >0,∴x< 或 x> . α β β α 1 1 ∴不等式 cx +bx+a<0 的解集为{x|x> 或 x< }. α β
2
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第三章 不等式

8.方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+

2ax-2a=0中,至少有一个方程有实根,则a的取值范围是
________.

[答案]

3 a≤-2或 a≥-1

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第三章 不等式

[解析]
2

假设三个方程都无实根, 则都有判别式 Δ<0,
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3 1 由 Δ1=16a -4(-4a+3)<0 得- <a< ;由 Δ2=(a-1)2- 2 2 1 4a <0 得,3a +2a-1>0,∴a<-1 或 a>3;由 Δ3=4a2+
2 2

3 3 8a<0 得, -2<a<0, 取交集得- <a<-1, ∴a≤- 或 a≥ 2 2 -1.

第三章 不等式

三、解答题

9.为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方
案.方案①先降价 x% ,再降价 x% , (x > 0) ;方案②一次性 降价2x%,问哪套方案降价幅度大? [解析] 设原价为1个单位,t=x%,t∈(0,1), 实行方案①后的价格为(1-t)2,
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实行方案②后的价格为(1-2t),
(1-t)2-(1-2t)=t2>0,即(1-t)2>(1-2t), 所以方案②降价幅度大.

第三章 不等式

10.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
[解析] (1)a=0 时,原不等式化为 x-2<0,∴x<2.
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∴原不等式解集为{x|x<2}. 2 (2)当 a<0 时,原不等式化为(x-2)· (x- )<0.方程(x a 2 2 2 -2)(x-a)=0 的两根为 2,a,又 2>a,∴原不等式解集 2 为{x| <x<2}. a

第三章 不等式

2 (3)当 a>0 时,原不等式化为(x-2)· (x-a)>0.方程(x 2 2 -2)(x-a)=0 的两根为 2,a. 2 当 0<a<1 时a>2,原不等式的解集为 2 {x|x>a或 x<2}. 当 a = 1 时,原不等式化为 (x - 2)2 > 0 ,解集为 {x ∈ R|x≠2}.
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第三章 不等式

2 当 a>1 时,2> >0,原不等式解集为 a 2 {x|x>2 或 x<a}. 综上所述,不等式解集为:a=0 时,{x∈R|x<2};a= 2 1 时,{x∈R|x≠2};a<0 时,{x|a<x<2};0<a<1 时,{x|x 2 2 >a或 x<2};a>1 时,{x|x>2 或 x<a}.
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第三章 不等式

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